信息光学常用函数

1、Chapter 1 线性系统分析几个常用的非初等函数几个常用的非初等函数 函数函数二维傅里叶变换二维傅里叶变换；卷积与相关卷积与相关；傅里叶变换的基本性质和有关定理傅里叶变换的基本性质和有关定理；线性系统分析线性系统分析; ; 二维光场分析二维光场分析本部分是整个课程的数学基础，其中有关数学本部分是整个课程的数学基础，其中有关数学公式的理解和众多定理的灵活运用将是难点公式的理解和众多定理的灵活运用将是难点1.1 几个常用函数几个常用函数希望有关数学概念和运算的引入能密切结合光学现希望有关数学概念和运算的引入能密切结合光学现象，这样有利于大家能较快地运用这些数学工具来象，这样有利于大家能较快地运

2、用这些数学工具来处理光学问题处理光学问题。1.1.1 矩形函数矩形函数(1)一维定义一维定义图像图像中心在x=x0，宽度为a，高度为1宽度宽度中心中心高度高度1.1.1 矩形函数矩形函数(1)一维定义一维定义图像图像当自变量当自变量x代表代表时间时间变量时，光学中可以用它来描写照相机快门变量时，光学中可以用它来描写照相机快门当自变量当自变量x代表代表空间空间变量时，无限大不透明屏上的单缝的透过率变量时，无限大不透明屏上的单缝的透过率应用应用截取作用1.1.1 矩形函数矩形函数(2)二维定义二维定义二维矩形函数可以用来描述不透明屏上矩形孔的透过系数；二维矩形函数可以用来描述不透明屏上矩形孔的透过

3、系数；快门; 单缝, 矩孔,区域限定图像图像00 xxyyrectrectab1.1.2 sinc函数函数定义定义sinc(x)图像图像在xx0处有极大值为1,主瓣宽度为2|a|x0=0，a=1极大值1主瓣宽度为2单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数函数000sin()sin()xxxxacxxaa)(sinc: ,)sin()(sinc:0axxxxx标准型原型xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0 x0特点:最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0 x曲线下面积: S=1，偶函数0点位置:x=n (n=1, 2, 3)等间隔两

4、个一级0点之间的主瓣宽度=2单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数函数 2sinIcxSinc函数的重要性函数的重要性:数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数xsinc2(x)01-11sinc (x)二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)sin2(x) (x)2附: sinc2函数sinc2(x)=sinc(x)21.1.3 三角函数三角函数定义定义图像图像a=11,0,xxaxaa其 他二维三角函数可以用来表示矩形光瞳非相干成像系统的光学传递

5、函数二维三角函数可以用来表示矩形光瞳非相干成像系统的光学传递函数中心在x0处底边宽2|a| ，高1，面积为a的三角形它和矩形函数的关系?1.1.4 符号函数符号函数定义定义图像图像10sgn0,0-1,0 xxxx，E.G：某孔径的一半嵌有：某孔径的一半嵌有位相板，可用位相板，可用sgn函数描述此孔径的复函数描述此孔径的复振幅透过率振幅透过率应用应用改变正负。代表“”相移器、反相器1.1.5 阶跃函数阶跃函数定义定义图像图像 1,00,0 xstep xx阶跃函数与符号函数的关系？作用作用开关作用，无穷大半平面屏与 Step函数的关系:Sgn(x)=2 Step (x)-11.1.6 圆域函数

6、圆域函数(柱函数柱函数)定义定义图像图像直角坐标系柱坐标系描写无限大不透明屏上圆孔的透过率函数描写无限大不透明屏上圆孔的透过率函数22221,0,xyxyacirca 其他1,0,rarcircraa底半径底半径高斯函数高斯函数Gaus(0) = 1S = 1是非常平滑的函数,即各阶导数均连续Gaus(x)0 x可代表单模激光束的光强分布可代表单模激光束的光强分布定义定义图像图像 2Gausexpxx 22GausGausexpxyxy二维：注注 意意以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理实际问题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子。例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm,

7、则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝. 练习: 画出rect(x), 10rect(10 x), sinc(x), 10sinc(10 x) 的示意图. 1.2 函数函数用来描述物理量在空间或时间上高度集中高度集中的物理模型的数学工具如：单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等. 1.2.1 1.2.1 函数的定义函数的定义(1)(1)类似普通函数形式的定义0,0,0,0,1,xyx yxyx ydxdy说明 函数的定义表明在一个很小很小的范围内它不为函

8、数的定义表明在一个很小很小的范围内它不为0，而它，而它在在这个范围内的形状却没有规定。在在这个范围内的形状却没有规定。积分限不一定为（积分限不一定为（-，+）,只要把只要把 函数不为函数不为0的关键点包的关键点包括在内即可。括在内即可。 函数是奇异函数，本身没有确定的值，但作为被积函数中函数是奇异函数，本身没有确定的值，但作为被积函数中的一个乘积因子，其积分结果具有明确的值。的一个乘积因子，其积分结果具有明确的值。0 x (x)110 x (x,y)y -函数的图示:10 x (x,y)y(x0,y0)1.2.1 1.2.1 函数的定义函数的定义(2)(2)普通函数序列极限形式的定义任意满足条

9、件的函数序列,lim,nnx ygx y,1,lim,0,0,0,nnngx y dxdygx yxy222222,limexp,lim,limsinsinnnnx ynnxyx yn rect nx rect nyx ync nxc ny常用的常用的序列函数表现形式表现形式 0 x (x)11.2.1 1.2.1 函数的定义函数的定义(3)(3)广义函数形式的定义不同形式不同形式的函数，只要它在的函数，只要它在积分中的作用积分中的作用与上式与上式相同相同，就，就可认为它们可认为它们与与 函数相同函数相同 ,0,0 x yx y dxdy1.2.1 1.2.1 函数的定义函数的定义(3)(3)

10、 函数的图形表示 函数的物理意义函数的物理意义: :PF后焦面上照度：, 0,0,0, 0,0,xyA x yxyA x y dxdycount表示一种脉冲状态的物理量。表示一种脉冲状态的物理量。如：平行光通过透镜后焦面上的照度分布如：平行光通过透镜后焦面上的照度分布1.2.2 1.2.2 函数的性质函数的性质0,000,fx yxx yydxdyfxy 1,|ax ayx yab筛选性质坐标缩放性质函数f(x,y)在(x0，y0)点连续a,b为实常数可分离变量性与普通函数乘积的性质 , x yxy0,0000,0,f x yx x y yf x yx x y y奇偶性奇偶性？抽样特性抽样特性

11、1.2.2 函数的性质函数的性质与普通函数乘积的性质0,0000,0,f x yx x y yf x yx x y y抽样特性抽样特性说明一个连续函数与一个连续函数与 函数的乘积，其结果只能抽取该函数在函数的乘积，其结果只能抽取该函数在 函函数所在点处的函数值。数所在点处的函数值。推论 0,0,f x yx yx yx x y yx yx y无定义练习：计算sinc(x) (x) 2. sinc(x) (x-0.5) 1. 3. sinc(x) (x-1) 4. (3x+5) (x+3) 1.2.3 1.2.3 梳状梳状函数（函数（抽样抽样函数）函数） ncomb xxn一维梳状函数定义间隔为

12、1的 函数的无穷序列一维梳状函数图像可见：可见：1.描写光栅透过率时，梳状函数是十分有用的。描写光栅透过率时，梳状函数是十分有用的。b函数用于对连续函数进行定点抽样，使其离散化，以函数用于对连续函数进行定点抽样，使其离散化，以便于计算和处理。便于计算和处理。表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列1.2.3 梳状函数（抽样函数）梳状函数（抽样函数） ncomb xxn一维梳状函数定义表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列)(comb1)( 1)( xnxnxnn间隔为的脉冲系列:一维梳状函数图像间隔为1的 函数的无穷序列0comb()?xxb画图？1.2.3 梳状函数梳状函数（抽

13、样函数）（抽样函数） ncomb xxn一维梳状函数定义梳状函数性质：比例变化特性可以利用梳状函数对普通函数做等间隔抽样，因此又称抽可以利用梳状函数对普通函数做等间隔抽样，因此又称抽样函数，是十分有用的样函数，是十分有用的1nncomb axxaa周期性 comb xmcomb x奇偶性 comb xcombx周期抽样特性 ncomb x f xf nxn利用梳状函数与普通函数的乘积:)-( )()( )()(comb1)(nnnxnfnxxfxxff(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样:1.2.3 梳状函数（抽样函数）梳状函数（抽样函数）

14、1.2.3 梳状函数梳状函数（抽样函数）（抽样函数） ncomb xxn一维梳状函数定义一维梳状函数图像1.2.3 梳状函数梳状函数（抽样函数）（抽样函数）二维梳状函数定义 ,comb x ycomb x comb yxy1.3 1.3 二维傅里叶变换二维傅里叶变换（2-D Fourier Transformation2-D Fourier Transformation）光学系统和电气系统一样，都是以信息为对象，研究信息的传递和变换，只是信息的形式不同。电气系统所处理的是以时间为变量的信息，而光学系统则是空间变量的信息。不管什么形式的信息它们都存在于信号之中。一个电信号可以用一个时间域的函数描

15、述，而一副透明的图片，则可以用各点的光强或光振幅透过率来描述。一般来说，这些信号都很复杂，直接处理比较困难。如果能把一个复杂信号分解许多简单分量，显然将大大简化信号的处理。1.3.1 傅里叶级数傅里叶级数一个一个周期函数周期函数 f(t)，周期，周期 ，且在一个周期内满足，且在一个周期内满足狄里赫利狄里赫利条件条件, 则可以把函数分解为：则可以把函数分解为：1v 011nnf ttCtCt ntnC即，可以将周期函数（信号）做上述分解处理，但必须解决两个问题： （1）选择合适的 ； （2） 很方便求出！ 利用数学上的“按正交函数展开”的方法，可以圆满解决上述问题。光学中常用的正交函数系光学中常

16、用的正交函数系：1）三角函数系；）三角函数系；2）复指数函数系。）复指数函数系。在这两个函数系上按上述方法展开得到的函数项级数，就是大家熟悉的傅里叶级数。它是Fourier和Euler分别在18世纪末和19世纪初提出的。1.3.1 1.3.1 傅里叶级数傅里叶级数 01cos2sin22nnnaf tanvtbnvt 000022cos22sin 2nnafttaftnvt tbftnvt tddd exp2nnf tCjnvt其中其中傅里叶系数傅里叶系数为为三角级数形式三角级数形式指数傅里叶级数形式指数傅里叶级数形式或者或者其中其中频谱函数频谱函数为为注意注意: 周期函数只有离散谱周期函数只

17、有离散谱 01exp2,0, 1, 2,nCf tjnvtt n d一个一个周期函数周期函数f(t)，周期，周期 ，且满足，且满足狄里赫利条件狄里赫利条件,则则1v1.3.2 1.3.2 傅里叶变换傅里叶变换(1),exp2d dFf x yjxyx y 非周期函数非周期函数f(x,y)，在整个无限，在整个无限xy平面上满足平面上满足狄里赫利条件狄里赫利条件和和绝绝对可积对可积条件，则二元函数条件，则二元函数f(x,y)的的二维傅里叶变换二维傅里叶变换为为狭义傅里叶变换狭义傅里叶变换直角坐标系内的二维傅里叶变换直角坐标系内的二维傅里叶变换二维傅里叶变换的核二维傅里叶变换的核二元函数二元函数F(

18、 ， )的二维的二维傅里叶逆变换傅里叶逆变换为为各连续频率成分的权重因子各连续频率成分的权重因子,exp2d df x yFjxy 傅里叶逆变换傅里叶逆变换f(x,y)和和 称为傅里叶变换对。称为傅里叶变换对。(x,y) 和和 称为一对共轭变量称为一对共轭变量, 在在不同范畴不同范畴(时空域或频域时空域或频域) 描述同一个物理对象描述同一个物理对象., ,F 1.3.2 傅里叶变换傅里叶变换(1),exp2Ff x yjxydxdy 狭义傅里叶变换狭义傅里叶变换直角坐标系内的二维直角坐标系内的二维傅里叶变换傅里叶变换F( ， )的二维的二维傅里叶逆变换傅里叶逆变换为为,exp 2f x yFj

19、xy d d ,f x y1 ,F ,F 称为 的频谱函数,一般为复函数：,jFAe ,f x y描述了各频率分量的相对幅值和相移描述了各频率分量的相对幅值和相移.振幅谱振幅谱 位相谱位相谱1.3.2 傅里叶变换傅里叶变换(1),exp2Ff x yjxydxdy 狭义傅里叶变换狭义傅里叶变换直角坐标系内的二维直角坐标系内的二维傅里叶变换傅里叶变换F( ， )的二维的二维傅里叶逆变换傅里叶逆变换为为,exp 2f x yFjxy d d , ,Ff x y 1, ,f x yF 即：即：1.3.2 1.3.2 傅里叶变换傅里叶变换(2)200,exp2cosGrg rjrd dr 200,ex

20、p2cosg rGjrdd 0022Grg r Jr dr极坐标系内的二维傅里叶变换极坐标系内的二维傅里叶变换正变换正变换逆变换逆变换当函数具有圆对称性时当函数具有圆对称性时傅里叶傅里叶-贝塞尔变换贝塞尔变换 0022g rGJr d 200expcos2jadJ a 贝塞尔函数关系式极坐标系内，圆对称函数的FT与逆FT形式相同rect( )xa/2/2/2/ 2rect( )exp(2 )exp(2 )1exp(2 )21sin()() sinc( )2 aaj aj aaaxjx dxajx dxjxjaeeaaj 傅里叶变换的存在条件的说明傅里叶变换的存在条件的说明: 作为时间或空间函数

21、而实际存在的物理量其傅里叶变换作为时间或空间函数而实际存在的物理量其傅里叶变换总是存在总是存在的的 各个领域的应用事实证明，实际的空间或时间函数物理量总具备傅里叶变换存在的基本条件。可以说，物理上的可能就是傅里叶变换存在的充分保证。 应用问题中遇到的一些应用问题中遇到的一些理想化的函数理想化的函数可以定义可以定义广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 但是，在分析光学系统时，为了描述方便，还往往引入一些理想化的函数（如余弦函数、阶跃函数、常数等），它们虽在光学上是常用的（当然在物理上也不能严格实现），但不满足上述存在条件，它们不存在普通的傅里叶变换。 为了能够继续用傅里叶变换方法讨论这些有用的函数，并

22、用它们来描述实际的物理图像，就有必要将前面做的傅里叶变换定义推广一下。1.3.3 1.3.3 广义傅里叶变换广义傅里叶变换极限意义下的傅里叶变换极限意义下的傅里叶变换 函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换设f(x) 无法确定其狭义的傅里叶变换，但可表示为且fn(x)的狭义傅里叶变换存在：而且当n趋于无穷大时, Fn()的极限也存在： 广义傅里叶变换计算举例广义傅里叶变换计算举例此式解决了常数的傅里叶变换问题此式解决了常数的傅里叶变换问题( )lim( )nnf xfx( )lim( )nnFF那么，可定义那么，可定义 ( )lim( )nnf xfx 1( ) 2 ( )( )1jxxx edx

23、( ) ( )nnFfx1. 描述位于x0处的点光源：2. 描述在x轴上等间隔（间隔为a）分布的点光源序列：0 xx1nxxancombaa 00f xxx0f x,exp2f x yjxydxdy ,exp 2Fjxy d d 0f xxx3. 0f xxxdx4. ,f x y5.1 ,F 6. rect(x)= 1 =x011f0F.T.1f01F.T.x1-1/21/2 sinc7.9. =8. x sgn(x)=10j10.常用函数常用函数 变型变型xf(x)xf(x- x0)x0 xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移平移(原点移至原点移至x0)折叠折叠与与f(x)

24、关于关于y轴轴镜像对称镜像对称取反取反与与f(x)关于关于x轴轴镜像对称镜像对称倍乘倍乘y方向幅度变方向幅度变化化比例缩放比例缩放a1, 在在x方向展宽方向展宽a倍倍a1, 在在x方向压缩方向压缩a倍倍xf(x)01x, 0 x10 其它例: f(x)=求 f(-2x+4)解： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折叠、压缩、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再压缩x0f-2(x-2)3/2最后平移cos(x), |x|/20 其它求 f(-x/2+ /4)练习：f(x)=常用函数常用函数 变型变型先折叠， 偶函数折叠后不变xf(x)0/2/2解： f(-x/2+/4)

25、= f- (x- /2)/2，包含折叠、扩展、平移再扩展, 最后平移xf(-x)0/2/2求 f (-x/2+/4)曲线下面积:dxxfS)(注意：在缩放前后的变化cos(x), |x|/20 其它f(x)=常用函数常用函数 变型变型1.4 1.4 卷积卷积( (convolution) )和和相关相关( (correlation) )( )( )( ) ()f xh xfh xd卷积与相关卷积与相关，是由积分定义的两个函数的相乘运算，从外形上看极为相似，然而它们所描述的物理过程却截然不同。卷积运算的特点卷积运算的特点是，它能使被卷积函数的某些细节被平滑掉，卷使被卷积函数的某些细节被平滑掉，卷

26、积结果的图形较为积结果的图形较为“光滑光滑”。在一定条件下光学系统的成像过程就是一个卷积过程。若函数f(x)表示一个物体的光强，那么卷积则使光能量扩散，使物象模糊。相关运算相关运算则通常用来描述两个函数图像的相似程度通常用来描述两个函数图像的相似程度。一个函数在和自身相关时（即自相关），当这两个相同的图形完全重叠在一起时就出现相关峰，此时相关值最大。如：( )( )( ) ()f xg xfg xd卷积概念的引入卷积概念的引入用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2f0 x) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。例题：例题：a卷积概念的引入卷积概念的引入探测

27、器输出的光功率分布：af ( )1/f0 x22)()(axaxdfxgdaxrectf)()(daxrectf)()(卷积运算设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述需用卷积运算来描述f()成像x 0 1f( 1)h(x- 1)2f( 2)h(x- 2)f(0)h(x)卷积概念的引入卷积概念的引入1.4 1.4 卷积和相关卷积和相关(1)(1) 一、卷积的定义卷积的定义一维定义一维定义 卷积运算卷积运算f(x)*h(x)定义了一

28、个新的函数定义了一个新的函数g(x)，它的值随，它的值随x变化而变化变化而变化卷积的几何解释卷积的几何解释:1. 在以在以 为横轴的图上画出为横轴的图上画出f( )和和h( )，将，将h( )反转得反转得h(- ) 2. h(- )平移平移x值值，得，得h(-( - x) =h(x- )3.将将f( )和和h(x- )相乘得一新函数相乘得一新函数f( ) h(x- ) ，此新函数图，此新函数图象与象与 轴轴之之包围的面积包围的面积便是函数便是函数f( x)*h(x)在在x点的函数值点的函数值4.对于对于不同的参量不同的参量x值值，相应的面积相应的面积就不相同，并且就不相同，并且是是x的的函数函

29、数这个函数就是这个函数就是g(x)=f( x)*h(x)()()()()(xhxfdxhfxg1.4 卷积和相关卷积和相关(1) 一、卷积的定义卷积的定义卷积的几何解释卷积的几何解释:1. 在以在以 为横轴的图上画出为横轴的图上画出f( )和和h( )，将，将h( )反转得反转得h(- ) 2. h(- )平移平移x值值,得得h(-( - x) =h(x- )3.将将f( )和和h(x- )相乘得一新函数相乘得一新函数f( ) h(x- ) ，此新函数图，此新函数图象与象与 轴轴之之包围的面积包围的面积便是函数便是函数f( x)*h(x)在在x点的函数值点的函数值4.对于对于不同的参量不同的参

30、量x值值，相应的面积相应的面积就不相同，并且就不相同，并且是是x的的函数函数这个函数就是这个函数就是g(x)=f( x)*h(x)卷积举例卷积举例翻转平移相乘积分h( )h(x- )f( ) h(x- )面积面积h(- )f( x)*h(x)()()()()(xhxfdxhfxgh()1/5 5 90f()1/3 4 60f()1/3 4 60h(-)1/5 -9 -50 xh(x-) x-9 x-5 4 60练习练习: 计算计算rect(x)*rect(x) 9 11 13 15 g(x) x 0 2/151. 画出函数f()和h();2.将h()折叠成h(-);3.将h(-)移位至给定的x

31、, h-( -x)= h(x -);4.二者相乘;5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).步骤:)()()()()(xhxfdxhfxgh( )h(x- )f( ) h(x- )面积面积h(- )1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（2 2）卷积运算的两个效应卷积运算的两个效应:二维定义二维定义: 如果如果f(x，y)和和h(x，y)描述的是两个描述的是两个真实的光学量真实的光学量，则则f(x，y)*h(x，y)总是存在总是存在的的(1)展宽效应展宽效应 假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为假如函数只在一个有限区间内不为零，这个区间可称为函数的宽度一般说来函数的宽度一般说来，

32、卷积函数的宽度等于被卷函数宽度之和卷积函数的宽度等于被卷函数宽度之和(2)平滑效应平滑效应 被卷函数经过卷积运算，其被卷函数经过卷积运算，其细微结构在一定程度上被消细微结构在一定程度上被消除除，函数函数本身起伏振荡变得平缓圆滑本身起伏振荡变得平缓圆滑.( , )( ,) (,)( , )( , )g x yfh xyd df x yh x y 1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（3 3）二、卷积的基本性质二、卷积的基本性质线性性质线性性质a，b为任意常数，可实可复为任意常数，可实可复交换率交换率平移不变性平移不变性结合率结合率坐标缩放性质坐标缩放性质若若f(x)*h(x)=g(x), 则则

33、上述性质可以直接推广到二维上述性质可以直接推广到二维1212( )( )( )( )( )( )( )af xbfxh xaf xh xbfxh x)(1)()(axgaaxhaxf)()()()()()(2121xhxhxfxhxhxf)()()()(xfxhxhxf)()()(2121xxxgxxhxxf1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（4 4） 函数函数f(x,y)与与 (x,y)的的卷积卷积2. 任意函数任意函数f(x,y)与与 (x-x0,y-y0)函数的卷积，是把函数函数的卷积，是把函数f(x,y)平移到脉冲所在位置平移到脉冲所在位置(x-x0,y-y0)1. 任意函数任意函

34、数f(x,y)与与 函数的卷积，得出函数函数的卷积，得出函数f(x,y)本身本身二、卷积的基本性质二、卷积的基本性质),(),(),(),(),(yxfddyxfyxyxf),(),(),(0000yyxxfyyxxyxf练习练习0-9. 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N.0-10. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入位相板，透过率怎样变化？ldxy练习练习: 0-10 (透过率透过率 = 输出输出/输入输入)*=ldxyt (x, y)2/circ22lyx (x+d/2) + (x-d/2 ) =*

35、位相板: 输出 = 输入 exp(j ), 即: 透过率= exp(j ) = -1 (x+d/2 - (x-d/2)t (x, y)2/circ22lyx=*若右边园孔上加 位相板, 则x0dlxyy利用卷积性质求卷积的例子利用卷积性质求卷积的例子练习练习0-11 ：求图示两个函数的卷积：求图示两个函数的卷积f(x) * h(x) 若要求写出解析运算式:f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式h(x) = ? +? 写成(x)的平移式利用卷积的线性性质利用函数的卷积性质利用卷积的平移性质*=f(x)xAa-a0h(x)ka-ax0？1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（5 5）

36、 互相关的定义互相关的定义讨论光学系统传递函数时非常有用的公式讨论光学系统传递函数时非常有用的公式参变量参变量x，y，积分变量，积分变量 ， 均为均为实数而函数实数而函数 f(x,y) 和和 h(x,y) 可实可可实可复，但复，但要求函数是绝对可积函数要求函数是绝对可积函数三、相关三、相关 ),(),(),(),(),(yxgyxfddyxgfyxRfg ),(),(),(),(),(yxgyxfddgyxfyxRfg平移共厄相乘积分互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度( ) ()( )( )fg xdf xg x或( )() ( )(

37、)( )fgRxfx gdf xg x一维：一维：二维：二维：1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（5 5） 互相关的定义互相关的定义讨论光学系统传递函数时非常有用的公式讨论光学系统传递函数时非常有用的公式三、相关三、相关平移共厄相乘积分互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度 自相关的定义自相关的定义 ),(),(),(),(),(yxfyxfddfyxfyxRff自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度( )() ( )( )( )ffRxfx fdf xf x一维：一维：二维：二维： ),(),()

38、,(),(),(yxgyxfddgyxfyxRfg( )() ( )( )( )fgRxfx gdf xg x1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（5 5） 互相关互相关 互相关和自相关的卷积表达式互相关和自相关的卷积表达式三、相关三、相关-( - ),-( - )( ,)fxygd d ),(),(),(),(),(yxgyxfddgyxfyxRfg=(- ,- ) ( - , - )= (- ,- )* ( , )fg xyd dfx y g x y ( , )( , )( , )(,)( , )fgR x yf x yg x yfx yg x y ( , )( , )( , )(,)(

39、 , )ffRx yf x yf x yfxyf x y 平移共厄相乘积分= 令= 令1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（6 6） 互（自）相关的两个重要性质互（自）相关的两个重要性质1.互相关运算互相关运算不不具有交换性具有交换性自相关函数具有自相关函数具有厄米对称性厄米对称性(实实部为偶函数，虚部为奇函数部为偶函数，虚部为奇函数),(),(yxRyxRfggf),(),(yxRyxRffff当当f(x,y)为实函数时？为实函数时？( , )( , )gffgRx yRx y 互相关和自相关的卷积表达式互相关和自相关的卷积表达式( , )( , )( , )(,)( , )fgR x y

40、f x yg x yfx yg x y ( , )( , )( , )(,)( , )ffRx yf x yf x yfxyf x y 当且仅当当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的是厄米的 , 相相关才和卷积相同关才和卷积相同. 一般情况下一般情况下,相关运算与卷积运算的区别相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭要取复共轭;运算时运算时f(x)不需折叠不需折叠实函数的自相关为实偶函数实函数的自相关为实偶函数若若f(x)是实偶函数是实偶函数, 则则:Rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积其自相关就是自卷积1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（6 6）

41、 互（自）相关的两个重要性质互（自）相关的两个重要性质2.两个函数互相关的模的平方两个函数互相关的模的平方不大于不大于各自各自自相关自相关在原点处在原点处值的乘积值的乘积函数自相关的模不大于自相函数自相关的模不大于自相关在原点处的值关在原点处的值)0 ,0(),(ffffRyxR) 0 , 0 () 0 , 0 (),(2ggfffgRRyxR原点(0,0)处，自相关函数有最大值证明: 利用施瓦兹不等式 （阅读：P14-15）仅当f(-x,-y) =Kg(,)时等号成立1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（7 7）互相关的物理意义：互相关的物理意义：以以x，y 为自变量的互相关函数为自变量的

42、互相关函数Rfg(x,y)，描述描述f( -x, -y)和和g( , )两者之间的相关性。两者之间的相关性。对任一给定的对任一给定的x，y来说，来说， Rfg(x,y)的数值可的数值可以用来估计这种关联性的强弱。当以用来估计这种关联性的强弱。当f( -x, -y) k g( , )时，可时，可以合理地认为此时的以合理地认为此时的f( -x, -y)与与g( , )之间完全相关实际上，之间完全相关实际上，也正是这时也正是这时Rfg(x,y)有最大值有最大值自相关的物理意义：自相关的物理意义：以以x，y 为自变量的自相关函数为自变量的自相关函数Rff(x,y)， 描述函数描述函数f( -x, -y

43、) 与与f( , )之间的相关性（重叠程度）由于之间的相关性（重叠程度）由于f( -x, -y)是由是由f( , )通通过平移过平移x，y距离而形成的，它们之间的相关性，就距离而形成的，它们之间的相关性，就反映了函数反映了函数f( , )变化的快慢变化的快慢 互相关和自相关的物理意义互相关和自相关的物理意义)0 ,0(),(ffffRyxR) 0 , 0() 0 , 0(),(2ggfffgRRyxR1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（8 8）归一化互相关函数和自相关函数归一化互相关函数和自相关函数归一化归一化互相关函数互相关函数归一化归一化自相关函数自相关函数归一化互相归一化互相关和自相

44、关关和自相关函数的值域函数的值域212221),(),(),(),()0,0()0,0(),(),( ddgddfddgyxfRRyxRyxggfffgfg2(,)(,)( ,) ( ,) (0,0)(,)fffffxy fddRx yx yRfdd 1),(0yxfg1),(0yx1.4 1.4 卷积和相关（卷积和相关（9 9）有限功率函数的相关有限功率函数的相关有限功率函数有限功率函数的互相关的互相关有限功率函数有限功率函数有限功率函数有限功率函数的自相关的自相关函数非绝对可积，但满足下面的极限函数非绝对可积，但满足下面的极限当系统中能量传递的当系统中能量传递的平均功率为有限时，平均功率为

45、有限时，常用这类函数常用这类函数XXYYYXdxdyyxfXY2,),(41limXXYYYXdxdyyxgXY2,),(41lim),(),(),(),(41lim),(,gyxfddgyxfXYyxRXXYYYXfg ),(),(),(),(41lim),(,fyxfddfyxfXYyxRXXYYYXff 作业作业0-13. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即： Rff(x，y) = Rff(-x，-y)0-14. 已知函数 f(x) = rect (x/a), 求函数f(x) 的自相关，并画出图形。 卷积与相关在运算上有什么差异？注意不卷积与相关在运算上有什么差异？注意不要混

46、淆！要混淆！ 傅里叶变换的有关性质和基本定理，请注傅里叶变换的有关性质和基本定理，请注意预习意预习课后思考1.5 FT基本性质和定理基本性质和定理线性性质线性性质对称性质对称性质迭次迭次 FT定理定理相似性定理相似性定理翻转性质翻转性质平移定理平移定理共轭性质共轭性质体积对应关系体积对应关系(二维二维) 相关定理相关定理 卷积定理卷积定理 Parcevals 定理定理 广义广义 Parcevals 定理定理 积分定理积分定理 矩定理矩定理 导数定理导数定理1.5 1.5 FTFT基本性质和定理基本性质和定理X1.线性性质线性性质X3.对称性质对称性质X4.迭次迭次 FT定理定理X5.相似性定理

47、相似性定理当当a=-1,b=-1时？时？X2.翻转性质翻转性质( , )( , )( , )( , )af x ybg x yaFbG (,)(,)fxyF( , )(,)F x yf ( , )(,)f x yfxy1(,),f ax byFaba b 1.5 1.5 FTFT基本性质和定理基本性质和定理X6. 平移定理平移定理020()( )jxf xxFep 位移或时移：位移或时移：00200(,)( , )jxyf xxyyFe 说明：说明：函数函数f(x)在空间域或时间域的平移，相当于它的在空间域或时间域的平移，相当于它的F.T.变换乘以变换乘以一个位相因子，即只引起频谱的位相线性平

48、移，而不改变其一个位相因子，即只引起频谱的位相线性平移，而不改变其振幅谱。振幅谱。二维：二维：020( )()jxf x eFp 频移：频移：说明：说明：函数函数F()沿频率轴平移沿频率轴平移 ，相当于其原函数，相当于其原函数f(x)乘以位相因乘以位相因子子 。而在信息处理中，。而在信息处理中，f(x)与位相因子与位相因子 相乘，相乘，就相当于与频率为就相当于与频率为 的正弦或余弦函数相乘。如果的正弦或余弦函数相乘。如果 很大，很大，就使得就使得f(x)所描述的信号变成高频交流信号所描述的信号变成高频交流信号调制。调制。002jxe002jxe0举例！平移性质：原函数在空域中的平移，将导致频谱

49、函数在频域中的一平移性质：原函数在空域中的平移，将导致频谱函数在频域中的一个线性相移；反之，原函数在空域中的相移，会引起频个线性相移；反之，原函数在空域中的相移，会引起频谱函数在频域中的平移。谱函数在频域中的平移。1.5 1.5 FTFT基本性质和定理基本性质和定理X8. 共轭性质共轭性质X7. 体积对应关系（二维）体积对应关系（二维）*( , )(,)fx yF*(,)( , )fxyF 0,0( , )Ff x y dxdy 0,0( , )fFd d *( , )(,)FF 则其则其F.T.具具有厄米对称有厄米对称性性若若 f(x,y) 是是实函数实函数一维：面积对应关系1.5 1.5

50、FTFT基本性质和定理基本性质和定理D2. 相关定理相关定理D1. 卷积定理卷积定理 互相关定理互相关定理 自相关定理自相关定理f(x,y)=g(x,y)f(x,y)的能量谱密度的能量谱密度f(x,y) 和和 g(x,y)的互谱能量密度的互谱能量密度 举例举例作为练习自己证明。提示:利用卷积定理、相关定义和共轭函数的F.T.( , )* ( , )( , ) ( , )f x yg x yFG ( , ) ( , )( , )*( , )f x y g x yFG *( , )( , )( , ) ( , )f x yg x yFG 2( , )( , )( , )f x yf x yF 1.

51、5 1.5 FTFT基本性质和定理基本性质和定理D3. Parcevals 定理定理物理意义：能量守恒的体现，故也称能量积分定理物理意义：能量守恒的体现，故也称能量积分定理D4. 广义广义 Parcevals 定理定理D5. 积分定理积分定理22( , )( , )f x ydxdyFd d *( , )( , )( , )( , )f x y gx y dxdyFGd d 1 ( )0( )22xjfdFF ( , ) ( ,0,1,2,)mnx y f x y dxdym n 1.5 1.5 FTFT基本性质和定理基本性质和定理D7. 矩定理矩定理D6. 导数定理导数定理m+n order

52、 moment of f(x,y)一阶矩定理一阶矩定理(m+n=1)二阶矩定理二阶矩定理(m+n=2)零阶矩定理零阶矩定理(m+n=0)1,00,1,0, 02,0, 02jxfx ydxdyFjyfx ydxdyF (, ) ( , )22( , )mnm nfx yjjF (, ) ( , )( , )22mnmnm njjx y f x yF ( , )(0,0)f x y dxdyF (1,1)22(2,0)22(0,2)( , )(0,0)22( , )(0,0)2( , )(0,0)2jjxyf x y dxdyFjx f x y dxdyFjy f x y dxdyF 常用傅里叶

53、变换对常用傅里叶变换对, x y, 00,xxyy00exp2jxy , ab exp2jaxby0012 0cos 2x0012xxxx0cos 2x0012j 0sin 2x0012xxxxj0sin 2x11原函数原函数频谱函数频谱函数常用傅里叶变换对（续）常用傅里叶变换对（续） sinsincc, ab exp2jaxby原函数原函数频谱函数频谱函数 rect x rect y 22sinsincc xy11jj sgnsgnxy combcomb comb x comb y22exp 22expxy221222J 22circxy sinsinc xc y rectrect傅里叶变换

54、的计算方法傅里叶变换的计算方法用定义直接计算用定义直接计算: rect(x)，三角函数，高斯函数，三角函数，高斯函数， circ(r) ， .2. 用广义傅里叶变换的定义计算并求极限用广义傅里叶变换的定义计算并求极限: 1， (x)，comb（x），），sgn（x）.3. 用傅里叶变换的性质间接导出用傅里叶变换的性质间接导出: F.T.的积分定理的积分定理 F.T.的卷积定理的卷积定理Similarity theorem example (1)如果矩形脉冲变如果矩形脉冲变窄窄, 它的傅里叶变它的傅里叶变换就加宽，直到换就加宽，直到成为常数。成为常数。1faxFaaSimilarity theo

55、rem example (2)If a rectangular pulse is made broader, its FT becomes narrower until in the limit its FT become a delta function.1faxFaa卷积定理的证明卷积定理的证明( ) ()exp(2)fg xdjx dx左交换积分顺序:( )()exp(2)fg xjx dx d应用F.T.的平移性质( ) ( )exp(2)fGjd( )( )exp(2)Gfjd应用F.T.定义 GF=右f(x)* g(x)=F () . G()利用卷积定理的例子利用卷积定理的例子2.

56、tri(x)= rect(x)*rect(x)= rect(x) rect(x) = sinc() sinc() = sinc2() rect(x)x01/21/21rect(x)x01/21/21*tri(x)x0111 sinc2()01-11F.T.F.T.F.T. tri(x) = sinc2( )sinc()01-11sinc()01-11Parseval定理的证明定理的证明2( )( ) *( )( )exp( 2)*( )exp(2 )g xdxg x gx dxGjx dGjx ddx交换积分顺序,先对x求积分:( )*( )exp 2 () GGjx dx d d 利用复指函

57、数的F.T.( )*( ) ()GGd d 利用 函数的筛选性质( )*( )GGd思考题:dxxx22) () (sin:Parseval定理求积分利用作业P32-33：1.5；1.6（1）；1.7（2）；1.8comb(x)= )(comb1x 1= ()= rect(x)= sinc(x)= ();11 与 函数互为F.T.comb()comb( )sinc();rect() (x-a)= exp(j2ax)=exp(-j2 a) (-a)0cos(2)x001 ()()2 tri(x) = sinc2()1.6 1.6 线性系统分析线性系统分析（Linear system analys

58、isLinear system analysis）1.6.1 1.6.1 线性系统线性系统从数学角度，实现函数从数学角度，实现函数变换变换的运算过程称为的运算过程称为系统。系统。系统系统L光学透镜组、自由空间等光学透镜组、自由空间等f(x1,y1)g(x2 ,y2)输入输入输出输出系统系统一组事物相互关联在一起所构成的一个整体。一组事物相互关联在一起所构成的一个整体。物理系统：用来收集、传递获变换信息的装置。物理系统：用来收集、传递获变换信息的装置。（如某具体的（如某具体的电子线路、通信网络、光学成像装置电子线路、通信网络、光学成像装置）非物理系统：非物理系统：如管理系统、指挥系统如管理系统、

59、指挥系统考虑光学系统考虑光学系统激励函数激励函数响应函数响应函数2211(,)( ,)g xyf x y 光学系统是用来收集、传递或变换信息的系统。一个光学系统的理想成像，就是将物空间的物体信息完整、全面的传递、变换到像空间，在像面上形成不失真的物体像。显然该过程为线性的。但是实际上，物体的成像会产生失真，该过程是非线性的。不过，如果把所研究的问题看做线性的而不会引起明显的明显的误差、或者在某个小范围内满足线性性质小范围内满足线性性质，我们就可以将问题作为线性问题来处理。事实上，在科学技术的各个领域（包括光学领域）中，很多实际系统都可以简化为线性系统。当系统具有了线性性质的假设，就可以有既简单

60、又有物理意义的表示，同时也很容易到处输入和输出之间的有用关系式，甚至还可以用标准方法求得精确解。1.6.1 1.6.1 线性系统线性系统 线性系统系统a为任意常数为任意常数若一个系统同时具有叠加性和均匀性同时具有叠加性和均匀性时，则称此系统为线性系统线性系统系统中某个输入并不影响系统对其它输入的响应系统中某个输入并不影响系统对其它输入的响应叠加性叠加性系统能够保持对输入信号的缩放因子不变系统能够保持对输入信号的缩放因子不变均匀性均匀性111122211222( ,)( ,)( ,)( ,)f x yg x yf x yg x y 111211111211122222( ,)( ,)( ,)(