信号与系统分析基础----周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数

1、13.23.2周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数2主要内容主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系 频谱图频谱图3一三角函数形式的傅里叶级数一三角函数形式的傅里叶级数 tntn11sin,cos 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,. 0sincos2211 TTtmtn nmnmTtmtnTT, 0,2coscos2211 nmnmTtmtnTT, 0,2sinsin2211 由积分可知由积分可知1.1.三角函数集三角函数集4

2、1112 , , TTtf 基基波波角角频频率率为为周周期期为为周周期期信信号号在满足狄氏条件时，可展成在满足狄氏条件时，可展成: : 1 sincos)(1110 nnntnbtnaatf 直流分量直流分量: TttttfTa00d)(10余弦分量的幅度余弦分量的幅度 TttnttntfTa00dcos)(21 正弦分量的幅度正弦分量的幅度 TttnttntfTb00dsin)(21 称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2 2级数形式级数形式5狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）条件）条件条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有

3、在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；限个；条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；数目应是有限个；条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积在一周期内，信号绝对可积, ,即即010|( )|tTtf t dt等于有限值（等于有限值（T T1 1为周期）。为周期）。6在一周期内，信号是在一周期内，信号是绝对可积的绝对可积的(T1为周期为周期) TttfTd1 100d)(Tttttf TTtnnttfTtetfTFd1d11j狄利克雷（狄利克雷（DirichletDirichlet）条件）条件3:3:说明说明 这一条件

4、这一条件保证了每一系数保证了每一系数Fn都是有限值都是有限值，因为，因为: : nF7例例 1 1求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 tAtAtf112sin2sin0 2/2/ )(111TtTtTAtf 直流直流基波基波谐波谐波t tfA A21T21T 112T 8其他形式其他形式00ac 22nnnba

5、c nnnab1tg nnnca cos nnncb sin 余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnab1tg nnnda sin nnndb cos 110sin)(nnntnddtf22nnnbad 2 cos)(110 nnntncctf (3)9关系曲线称为关系曲线称为幅度频谱图幅度频谱图关系曲线称为关系曲线称为相位频谱图相位频谱图可画出可画出频谱图频谱图周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性离散性，谐波性，收敛性 nc n幅度频率特性和相位频率特性幅度频率特性和相位频率特性11:n 基基波波各各次次谐谐波波周周期期信信号号可可分分解解为为直直流流，（）和和（

6、基基波波角角频频率率的的整整数数倍倍）的的线线性性组组合合10二指数函数形式的傅里叶级数二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集 2, 1,0 1j netn 2 2级数形式级数形式3 3系数系数 111110jj0j1dd)()(TtntnTtnteetetfnF 4 )()(1j1tnnenFtf 5 d)(1110j TtntetfT 利用利用复变函数的正交特性复变函数的正交特性nF 也可写为也可写为11两复变函数在区间两复变函数在区间(t1,t2)内相互正交的条件是内相互正交的条件是 0d)()(d)()(21211221 ttttttftfttftfjitgt

7、gttgtgjittji 0)(),(d)()(21*iiittiiKtgtgttgtg )(),(d)()(21*则此复变函数集为则此复变函数集为正交函数集正交函数集。若在区间若在区间(t1,t2)内，复变函数集内，复变函数集),.,2 , 1)(nrtgr满足关系满足关系 求系数求系数表示表示用用),(),2 , 1 , 0( ,)(tfnrtgr 的的共共轭轭为为)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 复变函数的正交特性复变函数的正交特性12说明说明 变变换换对对。式式是是一一对对、唯唯一一确确定定，则则如如给给出出)5()4()(1tf

8、nF 的的线线性性组组合合。区区间间上上的的指指数数信信号号周周期期信信号号可可分分解解为为tne1j, 4 )()(1j1tnnenFtf 5 d)(1110j1 TtntetfTnF 13三两种系数之间的关系及频谱图三两种系数之间的关系及频谱图 TtntetfTnF0j1d)(1)(1 110011( )cosdj( )sindTTf tnttf tnttTT 12nnajb TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nenFnF j11)( 是是复复数数)(),(11 nFnF 14nnncbanF2121)(221 相频特性相频特性

9、nnnab1tg 幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性 的的奇奇函函数数关关于于的的偶偶函函数数关关于于取取正正值值）的的奇奇函函数数（实实际际关关于于取取正正值值）的的偶偶函函数数（实实际际关关于于 )( 11nnFnbnann151 13 nc0c1c3cO1 13 n O 频谱图频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线曲线或或 nnFc曲线曲线 n16请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。例例 2 210 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 化为余弦形式化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图

10、，已已知知 42coscos2sin1)(111 ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11 tttf三角形式的傅里叶级数的谱系数三角形式的傅里叶级数的谱系数 1 1c0c2c12 024. 211nc12 25. 0 15. 0 01 n 17化为指数形式化为指数形式 11111122jjjj44121( )1222jtjtttttf teeeeeej tttteeeeeetf11112j4j2j4jjj2121j211j2111)( tnnenF1j221)( 1)0( F 15. 0112. 1211jejF 15. 0112. 1211jejF 41212 jeF 4121

11、2 jeF 整理整理指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数18谱线谱线1)0(0 FF12. 1)(11 FF12. 1)(11 FF5 . 0)2(12 FF5 . 0)2(12 FF00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 5 . 001 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n 19三角形式与指数形式的频谱图对比三角形式与指数形式的频谱图对比1 1c0c2c12 024. 211nc12 5 . 001 1 12. 112 12. 15

12、 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012 25. 0 n 三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 25. 0 15. 0 01 n 20四总结四总结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系）两种频谱图的关系（4）引入负频率）引入负频率21(1)(1)周期信号周期信号f f( (t t) )的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf = 110)

13、cos(nnntncc 三角形式三角形式指数形式指数形式22 0001021)(acFncnFn (2)(2)两种频谱图的关系两种频谱图的关系)()( 11 nn 相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数 nnc，三三角角函函数数形形式式：单边频谱单边频谱 nnF，指数函数形式：指数函数形式：双边频谱双边频谱关系关系)()( 11nFnF函数指数形式的幅度谱为偶23(3)(3)三个性质三个性质 的谱线唯一的谱线唯一唯一性：唯一性：处处现在现在（离散性），频率只出（离散性），频率只出谐波性：谐波性：收敛性：收敛性：)(,11tfnnFn (4)引入负频率对对于于双双边边频频谱谱，负负频频率率)(1 n，

14、只只有有数数学学意意义义，而而无无物物理理意意义义。为为什什么么引引入入负负频频率率? ? 的实函数的性质不变。的实函数的性质不变。，才能保证，才能保证和和数，必须有共轭对数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指是实函数，分解成虚指)(11jjtfeetfnn 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性24周期单位冲激序列的频谱周期单位冲激序列的频谱 1 nFOT1 TtetTnFTTtjn1d12211tnnTeTttf1j1)()( 分析分析：狄氏条件是傅里叶级数存狄氏条件是傅里叶级数存在的在的充分条件充分条件。根据冲激信号的。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确

15、定值，定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数傅里叶级数存在存在。即。即为为整整数数nnTttnT )()( 满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽t0 tT TT 125主要讨论：主要讨论：频谱的特点频谱的特点，频谱结构频谱结构， 频带宽度频带宽度，能量分布能量分布。下面以下面以周期矩形脉冲周期矩形脉冲信号为例进行分析信号为例进行分析26一频谱结构一频谱结构)(tf2/ 2/ t1T1T E1TE周期为脉冲高度为脉宽为 指数函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数 频谱特点频谱特点272211221111d1 = tjntjnejnTEtEeT 221

16、111 jnjneeTjnE2sin2111 nTnE 22sin111 nnTE 1 1指数形式的谱系数指数形式的谱系数 2Sa11 nTE 2211111d)(1)(TTtjntetfTnF tjn1 28 2Sa111 nTEnF2 2频谱及其特点频谱及其特点 . 2, 1, , 0 n41nF 2 4 4 2 011()2nESaT图3-1 周期矩形脉冲的频谱（T1=4）29相邻谱线的间隔：相邻谱线的间隔：41nF 2 4 4 2 011()2nESaT14T112T零点的位置：零点的位置：12nk12nk 0 k第一个零点的位置：第一个零点的位置：12n(k=1)第一个零点时谱线的序

17、号：第一个零点时谱线的序号：12n112Tn303 3总结总结 非非周周期期信信号号。由由周周期期信信号号为为无无限限小小，时时，当当 tfTET1110 1112TT 谱谱线线间间隔隔幅幅度度 矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性，谐波性，收敛性离散性，谐波性，收敛性311.问题提出二频带宽度二频带宽度)(1 nF O1 12 1TE 2第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号的功率集中在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。 32在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的的信号来表示，此频率范围称为信号来表示，此频率