高考数学二十二个必考问题讲解Word版

1、必考问题5函数、导数、不等式的综合问题(2012·山东)已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)xf(x)，其中f(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x0，g(x)1e2.解(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.又e

2、x0，所以x(0,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(3)因为g(x)xf(x)，所以g(x)(1xxln x)，x(0，)，由(2)得，h(x)1xxln x，求导得h(x)ln x2(ln xln e2)所以当x(0，e2)时，h(x)0，函数h(x)单调递增；当x(e2，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减所以当x(0，)时，h(x)h(e2)1e2.又当x(0，)时，01，所以当x(0，)时，h(x)1e2，即g(x)1e2.综上所述结论成立导数与函数、方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，

3、是命题的热点，而且不断丰富创新2 / 15题型以解答题的形式为主，综合考查学生分析问题、解决问题的能力应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.常考查：确定零点，图象交点及方程解的个数问题；应用零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或范围该类试题一般以含参数的高次式、分式、指数式或对数式结构的函数、方程呈现主要考查学生转化与化归、数形结合思想，以及运用所学知识解决问题的能力【例1】 已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直

4、线yb与函数yf(x)的图象有3个交点，求b的取值范围审题视点 听课记录审题视点 (1)由f(3)0求a；(2)由f(x)0或f(x)0，求函数f(x)的单调区间；(3)求f(x)的极值，结合图象可确定b的取值范围解f(x)的定义域：(1，)(1)f(x)2x10，又f(3)6100，a16.经检验此时x3为f(x)极值点，故a16.(2)f(x)2x10.当1<x<1或x>3时，f(x)>0；当1<x<3时，f(x)<0.f(x)单调增区间为：(1,1)，(3，)，单调减区间为(1,3)(3)由(2)知，f(x)在(1,1)内单调增加，在(1,3)内

5、单调减少，在(3，)上单调增加，且当x1或x3时，f(x)0.所以f(x)的极大值为f(1)16ln 29，极小值为f(3)32ln 221.因为f(16)>16210×16>16ln 29f(1)，f(e21)<321121<f(3)，所以在f(x)的三个单调区间(1,1)，(1,3)，(3，)直线yb与yf(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)因此b的取值范围为(32ln 221,16ln 29) 对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决

6、此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解【突破训练1】 (2012·聊城二模)设函数f(x)(1x)22ln (1x)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)x2xa在0,2上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域为(1，)，因为f(x)(1x)22ln(1x)，所以f(x)2，由f(x)0，得x0；由f(x)0，得1x0，所以，f(x)的递增区间是(0，)，递减区间是(1,0)(2)方程f(x)x2xa，即xa12ln(1x)0，

7、记g(x)xa12ln(1x)(x1)，则g(x)1，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得1x1.所以g(x)在0,1上单调递减，在1,2上单调递增为使f(x)x2xa在0,2上恰有两个相异的实根，只须g(x)0在0,1)和(1,2上各有一个实根，于是有即解得22ln 2a32ln 3，故实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3通常考查高次式、分式或指数式、对数式、绝对值不等式在某个区间上恒成立，求参数的取值范围，试题涉及到的不等式常含有一个或两个参数【例2】 (2011·湖北)设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2，其中xR，a，b为常数已知曲线yf(x)与y

8、g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a，b的值，并写出切线l的方程；(2)若方程f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1x2，且对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，求实数m的取值范围审题视点 听课记录审题视点 (1)基础；(2)根据已知条件f(x)g(x)mx有三个互不相同的实根0、x1、x2可列一方程，由判断式可得m的范围，再将已知条件：对任意xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立，转化为f(x)g(x)mxm恒成立，从而求f(x)g(x)mx的最大值解(1)a2，b5，切线l的方程为xy20.(2)由(1)得，f(x)x34x

9、25x2，所以f(x)g(x)x33x22x.依题意，方程x(x23x2m)0有三个互不相同的实根0，x1，x2，故x1，x2是方程x23x2m0的两相异的实根，所以94(2m)0，即m.又对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立特别地，取xx1时，f(x1)g(x1)mx1m成立，得m0.由韦达定理，可得x1x230，对任意的xx1，x2，有xx20，xx10，x0，则f(x)g(x)mxx(xx1)(xx2)0，又f(x1)g(x1)mx10，所以函数f(x)g(x)mx在xx1，x2的最大值为0.于是当m0时，对任意的xx1，x2，f(x)g(x)m(x1)恒成立综上，m的

10、取值范围是. (1)利用导数方法证明不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口(2)利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型，体现了导数的工具性作用，将函数、不等式紧密结合起来，考查了学生综合解决问题的能力【突破训练2】 已知函数f(x)kx，g(x).(1)求函数g(x)的单调递增区间；(2)若不等式f(x)g(x)在区间(0，)上恒成立，求k的取值范围解(1)g(x)(x0)，g(x)，令g(x)0

11、，得0xe，故函数g(x)的单调递增区间为(0，e)(2)x(0，)，由kx，得k，令h(x)，则问题转化为k大于等于h(x)的最大值，又h(x)，令h(x)0时，x，当x在区间(0，)内变化时，h(x)、h(x)变化情况如下表：x(0，)(，)h(x)0h(x)由表知当x时，函数h(x)有最大值，且最大值为，因此k.通常是证明与已知函数有关的关于x(或关于其他变量n等)的不等式在某个范围内成立，求解需构造新函数，用到函数的单调性、极值(最值)，以及不等式的性质等知识完成证明【例3】 设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间

12、和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|对任意x0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由审题视点 听课记录审题视点 第(2)问重新构造函数h(x)g(x)g，利用导数研究这个函数的单调性第(3)问采用反证法，可先把|g(x)g(x0)|等价变形为ln xg(x0)ln x，x0，再在x(0，)上任取一个值验证矛盾解(1)由题设易知f(x)ln x，g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间；当x(1，)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间因

13、此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g，当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减，当0x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g；当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)满足条件的x0不存在证明如下：假设存在x00，使|g(x)g(x0)|对任意x0成立，即对任意x0，有ln xg(x0)ln x，(*)但对上述x0，取x1eg(x0)时，有ln x1g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不

14、存在x00，使|g(x)g(x0)|对任意x0成立另一种证法如下：假设存在x00，使|g(x)g(x0)|对任意的x0成立由(1)知，g(x)的最小值为g(1)1，又g(x)ln xln x，而x1时，ln x的值域为(0，)，x1时g(x)的值域为1，)，从而可取一个x11，使g(x1)g(x0)1.即g(x1)g(x0)1，故|g(x1)g(x0)|1，与假设矛盾不存在x10，使|g(x)g(x0)|对任意x0成立 本题有机地将函数、导数和不等式结合到一块，试题难度较大本题分三小问，第(1)问较容易；第(2)问可以用平时练习常用的方法解决：首先使用构造函数法构造函数，再用导数求出函数的最大

15、值或最小值，且这个最大值小于零，最小值大于零；第(3)问采用反证法，难度较大，难点在于不容易找到与题设矛盾的特例【突破训练3】 设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(l

16、n 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0.所以g(x)在R内单调递增于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)>0.即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.分析法在函数与导数题中的应用近年来，高考对函数与导数大部分是以压轴题的形式考查的，试题难度较大，命题角度新颖，需要考

17、生把生疏的问题通过分析转化为熟悉的问题，考查考生分析、解决问题的能力下面以2012年新课标全国卷为例对分析法在导数中的具体应用作一介绍【示例】 (2012·新课标全国)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值满分解答(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增；若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(5分)(2)由于a1，所以(xk)f(

18、x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于kx(x0)(8分)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0；当x(，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.(12分)老师叮咛：本题主要考查导数在解决函数单调性、函数的最值、函数的零点、不等式问题等方面的应用.其中，第(1)问求函数的导数，对字母a进行讨论，根据导函数值的正负得到函数的单调区间.第(2)问将原不等式转化为kg(x)的形式，利用导数法求出函数g(x)的值域，进而得到整数k的最大值.【试一试】 设函数f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解(1)a时，f(x)x(ex1)x2，f(