高考数学思想方法Word版

1、数学思想方法一瞥 2008年5月21日星期三 引言：高考对数学思想的考查是与数学知识的考查结合进行的.是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路. 教育部考试中心对全国高考数学考试大纲的说明中指出：“数学思想方法属方法范畴，但更多地带有思想，观点的属性，属于较高层次的提炼和概括.” 数学基本方法包括：待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等； 数学逻辑方法（或思维方法）包括：分析与综合.归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等； 数学思想包括：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思

2、想.有限与无限的思想，或然与必然的思想等.在数学学习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在学习中渗透数学思想，提升数学思想.1、 函数与方程的思想关键词：等式算两次原理 函数与方程的思想考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.”【例1】(体积法)在单位正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到截面A1BD的距离.【解】设A到截面A1BD距离为d，一方面，在三棱体AA1BD中， ；另一方面，

3、.1 / 14 , .这个解法是众所周知的“体积法”用两种不同的方法求同一个几何体的体积,从而得到一个等式，进而使问题得以解决.我们指出，“体积法”的关键在于建立等式（方程），它的实质就是“方程的思想”. 推广到一般情况，这种思想可表述为：对于一个适当的量，从两个方面去考虑它，然后综合起来，就得到一个等量关系式.这种思想的应用在教材中随处可见.下面举几个例子.【例2】（2007全国理16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 .分析：因为题目中对正三棱柱的高未做要求，故可将三棱柱画成如下图的形状，其中为等腰直角三角形.我们只

4、要从两个三角形中考虑，就可以得到一个方程.【解】在等腰直角中，易知为斜边，从而，且为的中点. 设.一方面， 在Rt中，；另一方面，在等腰Rt中，从而，解之，.【例3】 已知关于的不等式恰好有一个实数解，求实数的取值范围.【分析及解】此题若讨论不等式组解的情况，将十分烦琐.注意到一元二次不等式解的讨论是借助于二次函数的图象得到的，故得如下解法.令，则问题转化为：求的取值范围，使满足的实数有且只有一个.即的图象在的区域内有且只有一个点，所以与相切（如图）.即有惟一解，从而解得.【例4】已知且，求的值.【分析及解】由条件知：，故和都是关于的方程的实数解.设，易证为上的增函数.因此方程至多只有一个实数

5、解.由知，故要使和都是方程的实数解，必须而且只须，即，因此.2、 数形结合思想关键词：抽象直观 数形结合数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物.华罗庚先生说过:“数形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.”.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.在使用的过程中，由“形”

6、到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主.”【例5】（07安徽）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【分析及解】令和，在同一坐标系中画出它们的图象，易知当时，有.【例

7、6】（07天津）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间 1, 2上是减函数，则（）在区间-2, -1上是增函数，在区间 3, 4 上是增函数在区间-2, -1上是增函数，在区间 3, 4 上是减函数在区间-2, -1上是减函数，在区间 3, 4 上是增函数在区间-2, -1上是减函数，在区间 3, 4 上是减函数【分析及解】由知的图象关于直线对称，再由和得所以是以2为周期的周期函数，再由在区间 1,2 上是减函数这一条件，就可以画出的示意图，从而选B.3、 化归与转化的思想关键词化归转化从曹冲称象谈起三国时候，魏王曹操有个小儿子，名字叫作曹冲.曹冲自幼聪明伶俐、智慧过人，深得曹操的宠爱.曹冲做

8、事爱开动脑筋、勤于思考，才只有五六岁的年纪，就可以想出办法来解决一些连大人都束手无策的问题. 有一天，吴王孙权派人给曹操送来了一头大象作为礼物.北方是没有大象的，曹操第一次见到这样的庞然大物，心下很是好奇，就问送大象来的人说：“这头大象究竟有多重呢？”来人回答：“鄙国从来没有称过大象，也没有办法称，所以不知道大象有多重.早就听说魏王才略过人，手下谋士众多，个个都智慧超群，请您想个办法称称大象的重量，也让我等领教一下北方大国的风范.” 曹操顿时明白这是孙权给他出的一道难题，他可绝对不能丢这个面子，让国威受损.于是他召集群臣，传令下去：能称出大象的重量的人，重重有赏.大家都绞尽了脑汁，苦苦思索.有

9、人说要做一杆大秆，曹操反驳说就是做出来了，也没有人能提得动啊.有人说要把大象锯成一块块地零称，曹操斥责说怎么可能把吴国送的礼物毁坏成这样呢.人们你一言我一语，就是没人想出一个切实可行的办法. 就在大伙儿都一筹莫展之际，小曹冲忽然走到曹操身边说道：“父王别着急，我有办法，我们可以先把大象牵到船上，在船帮齐水处作个记号，再将大象牵走，把石头运到船上去，一直到船到达先前作的记号为止，这时石头的重量就和大象的重量相等了.然后，我们再把石头分别称一称，把这些重量加起来，不就知道大象有多重了吗？” 曹操听了大喜，众人也对曹冲的聪慧赞叹不已.就这样，大象的重量终于被称出来了. 两千多年前，幼小的曹冲就有这样

10、惊人的智慧，怎不叫人称赞.这个故事启发我们在现实生活中遇事要多动脑筋，经常锻炼自己的思维能力，使人变得越来越聪明.同时它也体现了数学中的一种重要的数学思想方法化归与转化. 转化大象的重量 石头的重量（这个问题可解决）所谓化归与转化的思想是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，总是将复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题转化为较容易的求解的问题，将未解决的问题化归为已解决的问题，等等.化归与转化的思想是解决数学问题时经常使用的基本思想方法，它的主要特点是灵活性与多样性.一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统或数学结构，组成其要

11、素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，但其变形并不唯一，而是多种多样的.所以，应用数学变换的方法去有关数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循.在此正需要我们依据问题本身所提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻找有利于问题的途径和方法，并从中进行选择.高考十分重视对化归和转化思想的考查.要求考生熟悉数学变换的思想，有意识地运用变换的方法去灵活解决有关的数学问题.高考中重点考查一些常用的变换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的等价转化，等等.【例7】（07湖北）在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且则点到平面的距离为【例8】（07天津）已知函数（）求函数的最

12、小正周期；（）求函数在区间上的最小值和最大值.4、 分类与整合思想关键词分类标准讨论整合从庖丁解牛（目无全牛）谈起 有一个名叫庖丁的厨师替梁惠王宰牛，手所接触的地方，肩所靠着的地方，脚所踩着的地方，膝所顶着的地方，都发出皮骨相离声，刀子刺进去时响声更大，这些声音没有不合乎音律的.它竟然同桑林、经首两首乐曲伴奏的舞蹈节奏合拍. 梁惠王说：“嘻！好啊！你的技术怎么会高明到这种程度呢？” 庖丁放下刀子回答说：“臣下所探究的是事物的规律，这已经超过了对于宰牛技术的追求.当初我刚开始宰牛的时候，（对于牛体的结构还不了解），看见的只是整头的牛.三年之后，（见到的是牛的内部肌理筋骨），再也看不见整头的牛了.

13、现在宰牛的时候，臣下只是用精神去接触牛的身体就可以了，而不必用眼睛去看，就象感觉器官停止活动了而全凭精神意愿在活动.顺着牛体的肌理结构，劈开筋骨间大的空隙，沿着骨节间的空穴使刀，都是依顺着牛体本来的结构.宰牛的刀从来没有碰过经络相连的地方、紧附在骨头上的肌肉和肌肉聚结的地方，更何况股部的大骨呢？技术高明的厨工每年换一把刀，是因为他们用刀子去割肉.技术一般的厨工每月换一把刀，是因为他们用刀子去砍骨头.现在臣下的这把刀已用了十九年了，宰牛数千头，而刀口却象刚从磨刀石上磨出来的一样.牛身上的骨节是有空隙的，可是刀刃却并不厚，用这样薄的刀刃刺入有空隙的骨节，那么在运转刀刃时一定宽绰而 有余地了，因此用

14、了十九年而刀刃仍象刚从磨刀石上磨出来一样.虽然如此，可是每 当碰上筋骨交错的地方，我一见那里难以下刀，就十分警惧而小心翼翼，目光集中，动作放慢.刀子轻轻地动一下，哗啦一声骨肉就已经分离，象一堆泥土散落在地上了.我提起刀站着，为这一成功而得意地四下环顾，一副悠然自得、心满意足的样子.拭好了刀把它收藏起来.” 梁惠王说：“好啊！我听了庖丁的话，学到了养生之道啊.”“目无全牛”这个故事告诉我们：当我们掌握事物的规律后，办起事来就会得心应手，运用自如.对于数学的学习，“目无全牛”这则寓言揭示了：当我们对一个问题的整体无法下手时，可以通过研究问题的组成结构，“化整为零、个个突破”，逐步地去解决问题.它体

15、现了一种重要的数学思想方法：分类与整合的思想.分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，是研究数学问题时经常使用的数学思想方法.要正确地对事物进行分类，通常应从所研究的具体问题出发，选取恰当的分类标准，然后根据对象的属性，把它们不重不漏地划分为若干个类别.科学的分类，一个是标准的统一，一个是不重不漏.划分只是手段，分类研究才是目的.因此，还需要在分好的类别下对分事物进行研究，在这其中体现的是由大化小，由整体化部分，由一般化特殊的解决问题的方法.它的研究基本方向是“分”，但“分”与“合”既是矛盾的对立面，又是矛盾的统一体，有“分”必然有“合”，当分类解决完这个问题之后，还必须把它们总合到一

16、起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体.这样，有“分”有“合”，先“分”后“合”，不仅是分类与整合思想解决数学问题的主要过程，也是分类与整合思想的本质属性.高考将对分类与整合思想的考查放在了比较重要的位置，并以解答题为主进行考查.考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究，最后如何整合.考查中经常对含有字母参数的数学问题进行分类与整合的研究，由此重点考查考生思维的严谨性与周密性.在数学学习中，引起分类讨论原因，通常有以下几种：1. 涉及的数学概念是分类定义的（如绝对值的概念，P点分线段的比等）；2. 公式、定理、性质或运算法则的应用范围受到限制；例如等

17、比数列的求和公式就分为和两种情况;对数函数的单调性就分为，两种情况; 直线方程分为斜率存在与不存在等等；3. 几何图形中点、线、面的相对位置不确定；例如两点在同一平面的同侧,异侧.4. 求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；5. 数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果分类讨论与整合的一般步骤是：1. 确定讨论对象和确定研究的全域；2. 进行科学分类（按照某一确定的标准在比较的基础上分类），“比较”是分类的前提，“分类”是比较的结果分类时，应不重复，不遗漏；3. 逐类讨论；4. 归纳小结，整合得出结论【

18、例9】(05全国卷)不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）A3个 B4个 C6个 D7个【例10】(07上海)已知函数，常数 （1）当时，解不等式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由【解】（1）， ， 原不等式的解为 （2）当时， 对任意， 为偶函数 当时， 取，得 ， ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数5、 特殊与一般的思想关键词特殊化一般化人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的.通过对某些个例的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，这种认识事物的

19、过程是由特殊到一般的认识过程.但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想.在教学过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题，在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现，既然它是教学中经常使用的数学思想方法，那么也必然成为高考考查的重点

20、.在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题.我们曾设计过利用一般归纳法进行猜想的试题;还着重体现选择题的特点，考查特殊与一般的思想方法，突出体现特殊化方法的意义与作用.通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等.随着新教材的全面实施，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向.(1)什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的

21、方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.(2)什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例11】（07安徽）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）A0B1C3D5（提示：取）【例12】（07上海）已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）A0B1CD

22、【分析及解】取，得从而选C.6、有限与无限的思想考试中心对考试大纲的说明中指出：“对有限的研究往往先于对无限的研究,对有限个研究对象的研究往往有章可循,并积累了一定的经验,而对无限个研究对象的研究,却往往不知如何下手,显得经验不足,于是将对无限的研究化成对有限的研究,就成了解决无限问题的必经之路,反之,当积累了解决无限问题的经验之后,可以将有限问题转化成无限问题来解决,这种无限化有限,有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想.” “高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想.例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等.”【例13】数列中， 则数列的极限值（） 等于等于等于或不存在【例14】（07江西）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为解：特殊值法有限与无限的思想若点无限趋向于点，则点无限趋向于点，于是7、 或然与必然的思