本科经济计量学附录B第4版

1、附录附录b b概率分布的特征概率分布的特征附录b2b.1 期望：集中趋势的度量期望：集中趋势的度量b.2 方差：离散程度的度量方差：离散程度的度量b.3 协方差协方差b.4 相关系数相关系数b.5 条件期望条件期望b.6 偏度和峰度偏度和峰度b.7 从总体到样本从总体到样本b.8 小结小结附录b3 离散型随机变量的期望值用符号离散型随机变量的期望值用符号e e（x x）表示。）表示。 定义为：定义为：()( )()xxe xxf xxp xx例例3-1 3-1 掷一个骰子若干次。随机变量掷一个骰子若干次。随机变量x表示正面朝表示正面朝上的数字，求上的数字，求x的期望值。的期望值。（下表）（下表

2、）附录b4表表3-1 3-1 随机变量（正面朝上数字）的期望值随机变量（正面朝上数字）的期望值正面朝上的数字正面朝上的数字 概率概率 数字数字* *概率概率 x f(x) xf(x) 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 e(x) = 21/6 =3.5附录b5概率分布概率分布1/6图3-1 离散型随机变量离散型随机变量(例例3-1)的期望值的期望值,e(x)f(x)x附录b6？ 在上例中，打印机销售量的期望值是多少？在上例中，打印机销售量的期望值是多少？我们仍可从我们仍可从 表表2-4中得到。中得到。 例例3-

3、2 在例在例2-17中，电脑销售量的期望值是多少？中，电脑销售量的期望值是多少？我们可从我们可从 中得到。把变量中得到。把变量x的各可能值与其相对的各可能值与其相对应的概率之积累加即得电脑销售量的期望值。应的概率之积累加即得电脑销售量的期望值。 0(0.08)+1(0.12)+2(0.24) +3(0.24)+4(0.32)=2.6 因此，电脑每天的平均销售量为因此，电脑每天的平均销售量为2.6台。台。表2-4 0(0.11)+1(0.16)+2(0.23) +3(0.27)+4(0.23)=2.35即每天打印机的平均销售量为即每天打印机的平均销售量为2.35台。台。附录b7 0 0.08 0

4、 0.11 1 0.12 1 0.16 2 0.24 2 0.23 3 0.24 3 0.27 4 0.32 4 0.23总计总计 1.00 总计总计 1.00 x f(x) y f(y) 表表2-4 2-4 个人电脑售出数量个人电脑售出数量x和打印机售出数量和打印机售出数量y的的边缘分布边缘分布附录b81.1.若若b b为常数，则有为常数，则有： e（b）= b2.给定随机变量给定随机变量x x和和y y，有，有 e e（x+yx+y）=e=e（x x）+e+e（y y）3.)()()|(yexeyxe 4.)()()(yexexye5.5.若若a a为常数，则有：为常数，则有：)()(xa

5、eaxe ：bxaebaxe)()(b.1.1 期望的性质期望的性质除非两个随机变量相互独立。除非两个随机变量相互独立。附录b9方差定义为：方差定义为：表明了随机变量表明了随机变量x的各取值与其期望值的偏离程度。的各取值与其期望值的偏离程度。如图如图3-23-2。22)( )var(xexexx若若x x为离散型随机变量，通常用下列公式计算方差为离散型随机变量，通常用下列公式计算方差xxfxexx)()()var(2标准差标准差(standard deviation, s.d)：方差的正的方根。方差的正的方根。附录b103-2附录b11例例3-4： 接例接例3-1，求随机变量，求随机变量x（表

6、示正面朝上的数（表示正面朝上的数字）的方差。字）的方差。正面朝上的数字正面朝上的数字 概率概率 x f(x) (x-(ex)2*f(x) 1 1/6 (1-3.5)2(1/6) 2 1/6 (2-3.5)2(1/6) 3 1/6 (3-3.5)2(1/6) 4 1/6 (4-3.5)2(1/6) 5 1/6 (5-3.5)2(1/6) 6 1/6 (6-3.5)2(1/6) 总计总计2.9167 var(x) = 2.9167附录b121. 1. 常数的方差为零。常数的方差为零。2. 2. 若若x x与与y y 是两个相互独立的随机变量，那么：是两个相互独立的随机变量，那么： var(x+y)

7、=var(x)+var(y)var(x+y)=var(x)+var(y) var(x-y)=var(x)+var(y) var(x-y)=var(x)+var(y)3. 3. 若若b b是常数，则是常数，则 var(x+b)=var(x)var(x+b)=var(x)4. 4. 如果如果a a是常数，则是常数，则)var()var(2xaax 5. 5. 如果如果a,ba,b是常数，则是常数，则)var()var(2xabax)var()var()var(22ybxabyax6. 6. 如果如果x x与与y y相互独立，相互独立，a,ba,b是常数，则是常数，则附录b13如果随机变量如果随机变

8、量x的均值和方差分别为的均值和方差分别为 ，那么，那么对任意给的正数对任意给的正数c，有：，有：2,xx21(|)1xxpxcc 例例3-5：一个油炸圈饼店每天上午：一个油炸圈饼店每天上午8点到点到9点平均卖出油点平均卖出油炸圈饼炸圈饼100个，方差为个，方差为25。那么，某天在。那么，某天在8到到9点间卖出点间卖出90110个油炸圈饼的概率至少是多少？个油炸圈饼的概率至少是多少？21(|100| 2*5)12px 附录b14变异系数变异系数(coefficient of variation,v)度量相对变动，度量相对变动，定义为：定义为：100 xxv例例3-6：某讲师讲授两个班的初级经济计

9、量学课程，每班：某讲师讲授两个班的初级经济计量学课程，每班各各15名学生。在期中考试中，名学生。在期中考试中，a班平均班平均83分，标准差为分，标准差为10，b班平均班平均88分，标准差为分，标准差为16。哪个班的成绩更好？。哪个班的成绩更好？181.181008816,048.121008310bavv 由于由于a班的相对变动小，所以说班的相对变动小，所以说a班成绩的总体情况班成绩的总体情况好于好于b班。班。附录b15令随机变量令随机变量x和和y的期望分别为的期望分别为 其协方差为：其协方差为：， ,yxuu ue(xy)-uuyuxeyxyxyx )(),cov( 假定假定x和和y是离散型

10、随机变量，协方差用下式计算是离散型随机变量，协方差用下式计算 u-uyxxyfyxfuyuxyxyxxyxyyx),( ),()(),cov( 对于连续型随机变量可用积分符号代替求和符号。对于连续型随机变量可用积分符号代替求和符号。附录b161.若随机变量若随机变量x，y独立，协方差为零。独立，协方差为零。2. 其中，其中，a,b,c,d为常数。为常数。 ),cov(),cov(yxbddycbxa3. cov(x,x)=var(x)协方差的性质协方差的性质附录b17例例3-7：再次回到个人电脑：再次回到个人电脑/打印机销售一例，现利用协方打印机销售一例，现利用协方差的计算公式计算电脑销售量差

11、的计算公式计算电脑销售量x和打印机销售量和打印机销售量y的协方的协方差。差。已知：已知：35. 2, 6 . 2yx06. 715. 0*4*403. 0*1*003. 0*0*0)(xye 0.03 0.03 0.02 0.02 0.010.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.02 0.05 0.06 0.02 0.01 0.02 0.05 0.06 0.02 0.01 0.01 0.02 0.10 0.05 0.05 0.01 0.02 0.10 0.05 0.05 0.01 0.01 0.05 0.10 0.10 0.01 0.01 0.05 0.10 0.10 0.01

12、0.01 0.01 0.05 0.15 0.01 0.01 0.01 0.05 0.15 0.08 0.12 0.24 0.24 0.320.08 0.12 0.24 0.24 0.32 0 1 2 3 4 总计f(x) 出售个人电脑的数量（x） 0 1 2 3 40 1 2 3 4表表2-3 2-3 个人电脑售出数量个人电脑售出数量x x和打印机售出数量和打印机售出数量y y的二元概率分布的二元概率分布总计f(y) 0.11 0.16 0.23 0.27 0.231.00出售打印机的数量 (y) ue(xy)-uyxyx95. 035. 2*6 . 206. 7),cov(附录b18相关系数

13、定义如下相关系数定义如下yxyx),cov(11b.4.1 相关系数的性质相关系数的性质1. 相关系数与协方差同号相关系数与协方差同号2. 相关系数度量了两变量间的线性关系相关系数度量了两变量间的线性关系3. 相关系数是一个纯数值，且满足：相关系数是一个纯数值，且满足：4. 如果两变量独立，则协方差、相关系数都为如果两变量独立，则协方差、相关系数都为0，但如，但如果两变量的相关系数为果两变量的相关系数为0，并不意味着这两个变量相互，并不意味着这两个变量相互独立。独立。5. 相关并不一定意味着存在因果关系。相关并不一定意味着存在因果关系。附录b193-3附录b20例例3-8 继续个人电脑继续个人

14、电脑/打印机一例，现计算两变量的相打印机一例，现计算两变量的相关系数。关系数。已知两个变量的协方差为已知两个变量的协方差为0.95，根据表，根据表2-4中的数据可中的数据可以得到以得到4124. 1,2649. 1yx5317. 04124. 1*2649. 195. 0),cov(yxyx即两变量存在一定的正相关关系，这也是很容易理解的。即两变量存在一定的正相关关系，这也是很容易理解的。附录b21),cov(2)var()var()var(22yxabybxabyax特别地：特别地：yxyxyxyxyxyx2)var()var()var(2)var()var()var(附录b22)|()|(

15、)|()|(xxyyfxxyeyyxxfyyxe例例3-9：在个人电脑：在个人电脑/打印机一例中，计算打印机一例中，计算e(y|x=2)，即在，即在每天售出每天售出2台个人电脑的条件下销售打印机的条件期望。台个人电脑的条件下销售打印机的条件期望。)2()2, 1()2| 1(875. 1)2|4(4)2|3(3)2|2(2)2| 1()2|()2|(xfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyyfxye附录b23b.6 偏度偏度(skewness)与峰度与峰度(kurtosis) 偏度与峰度是用于描述概率密度函数形状的数偏度与峰度是用于描述概率密度函数形状的数字特征。偏度字特征。偏度s是是对称

16、性对称性的度量，峰度的度量，峰度k是一个概率是一个概率密度函数密度函数高低或胖瘦高低或胖瘦的度量。的度量。33422()()()xxxxexusexukexu三 阶 中 心 矩标 准 差 的 立 方四 阶 矩二 阶 矩 的 平 方偏度大于偏度大于0，称其为正偏或右偏，偏度小于，称其为正偏或右偏，偏度小于0为负偏或为负偏或左偏。可以计算得到正态分布的左偏。可以计算得到正态分布的s0，k3。附录b24附录b25b.7 b.7 从总体到样本从总体到样本 如果我们想考察如果我们想考察我国我国20岁女性的身高情况岁女性的身高情况，我们，我们知道，若设其为知道，若设其为x，这是一个，这是一个随机变量随机变

17、量。描述该随机。描述该随机变量，可以用概率密度函数或用期望、方差等数字特变量，可以用概率密度函数或用期望、方差等数字特征。但这些都是未知的。征。但这些都是未知的。 现在，我们可以把我国现在，我们可以把我国所有所有20岁女性身高值构成岁女性身高值构成的集合的集合看成是一个看成是一个总体总体,我们来考察这一总体的情况。我们来考察这一总体的情况。 考察方法之一是从总体中抽取考察方法之一是从总体中抽取一个样本一个样本，通过样本，通过样本的特征来反映总体的情况。的特征来反映总体的情况。 所以我们必须知道所以我们必须知道样本矩样本矩(sample moments)的计算的计算方法。方法。附录b261. 样本均值样本均值niinxx12. 样本方差样本方差niixnxxs1221)()( )(11),cov(yyxxnyxii3. 样本协方差样本协方差4. 样本相关系数样本相关系数yxiissyyxxn)( )(11样本从总体中抽取的样本设为：从总体中抽取的样本设为：nxxx,21附录b275. 样本偏度与样本峰度样本偏度与样本峰度对照下公式对照下公式总体偏度总体偏度s总体峰度总体峰度k 样本三阶矩与样本四阶矩为：样本三阶矩与样本四阶矩为： 33422()()()xxxxexusexukexuniinxx131)(niinxx1