勾股定理的证明的方法

1、【证法1】（课本的证明）abababAbFaEbB做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等.即2 2 1 2 1a2 b24 ab 二 c2 4 ab22222，整理得 a +b =c .【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积1 ab等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. Rt

2、AHAE 也 Rt AEBF,ZAHE = ZBEF. ZAEH + ZAHE = 90 o, ZAEH + ZBEF = 90 o ZHEF = 180 o-90o= 90 q四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2. Rt AGDH 也 Rt AHAE, ZHGD = ZEHA. ZHGD + ZGHD = 90 q ZEHA + ZGHD = 90 q又 ZGHE = 90 q ZDHA = 90 o+ 90 q= 180 o. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 a b ".a b2 =4 -ab c22222.a +b =c .【证法3】(赵

3、爽证明)以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角1 abCAHEbG三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. Rt ADAH 也 Rt AABE, ZHDA = ZEAB./HAD + ZHAD = 90o,.ZEAB + /HAD = 90 o, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.EF = FG =GH =HE = b -a , ZHEF = 90 o. EFGH是一个边长为b-a的正方形，它的面积等于（b -a 2.14 ab b -a2【证法4】（1876年美国总统 Garfield证明）A、以a、b为直角边，以c为斜边

4、作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 ab等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使t Rt AEAD 也 Rt ACBE, . ZADE = ZBEC.t ZAED + ZADE = 90o,.ZAED + ZBEC = 90 q./DEC = 180 o0o= 90oa、b （b>a）,斜边长为c.再 使E、A、C三点在一条直线上.ADEC是一个等腰直角三角形，1 2c它的面积等于2 .又t /DAE = 90 o ZEBC = 90 o.AD /BC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1 , 2 1 , 12 a - b 2 ab c2. 22.2' f

5、22 a +b = c【证法5】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两直角边长分别为 做一个边长c的正方形.把它们拼成如图所示多边形， 过点Q作QP /BC ,交AC于点P.过点B作BM JPQ，垂足为M ;再过点F作FN JPQ，垂足为N. ZBCA = 90 o, QP /BCTMPC = 90 o，t BM JPQ，. /BMP = 90 o，.BCPM是一个矩形，即Z MBC = 90 ot zQBM + ZMBA = zQBA = 90 o，ZABC + Z/IBA = ZMBC = 90 o. zQBM = ZABC，又T /BMP = 90 o,zBCA = 90 o,

6、 BQ = BA = c , Rt ABMQ 也 Rt ABCA.同理可证Rt AQNF也Rt AAEF【证法6】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长 分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的 一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC 的延长线交DF于点P.t D、E、F 在一条直线上,Rt AGEF 也 Rt AEBD, zEGF = /BED ,t zEGF + zGEF = 90 ° /./BED + zGEF = 90 ZBEG =180 o0o= 90q又 t AB = BE = EG = GA = c ， ABEG是一个边长为c的正方形

7、. ZABC + JCBE = 90 o. Rt AABC 也 Rt AEBD, ZABC = zEBD. ZEBD + ZCBE = 90 o.即ZCBD= 90 o又t zBDE = 90 o，zBCP = 90 o, BC = BD = a . BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG日疋2 2 1 a +b =S+2 疋一ab, 设多边形GHCBE的面积为S,则2 a2 +b2 =c2个边长为b的正方形.2 1 c = S 2 -ab2【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 在一条直线上，连结BF、CD.过 C 作 CL JDE，

8、交AB于点M，交DE于点L.三占k 八、K AF = AC , AB = AD ,ZFAB = JGAD , AFAB 也 AGAD ,1 2a AFAB的面积等于2,AGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，2矩形ADLM的面积=a .2同理可证，矩形 MLEB的面积=b .正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积.c2 =a2 +b2，即 a2 +b2 =c2.【证法8】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为 a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状， 使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号 （

9、如图）BbT8D613F42 C5 cM总/ ZTBE = ZABH = 90 o，. ZTBH = ZABE . 又 ZBTH = ZBEA = 90 o, BT = BE = b ， Rt AHBT 也 Rt AABE. / HT = AE = a . GH = GT -HT = b -a.又 J3HF + ZBHT = 90 o，ZDBC + ZBHT = ZTBH + ZBHT = 90 o， J3HF= ZDBC ./ DB = EB -ED = b -a，ZHGF = ZBDC = 90 o, Rt AHGF 也 Rt ABDC 即 S7 = S2 .过 Q 作 QM !AG，垂足

10、是 M.由/BAQ = ZBEA = 90 o，可知 ZABE= ZQAM，而 AB = AQ = c，所以 Rt AABE 也 Rt AQAM又 Rt AHBT 也 Rt AABE.所以 Rt AHBT 也 Rt AQAM .即 S* = SJ 由 Rt AABE 也 Rt AQAM，又得 QM = AE = a，/AQM = ZBAE ./ ZAQM + ZFQM = 90 o，ZBAE + /CAR = 90 o，ZAQM = ZBAE， ZFQM = ZCAR .又 VXQMF =ZARC = 90 o,QM = AR =a . Rt AQMF 也 Rt AARC即 S4= S6.c2

11、 =SS2 S3 S4 S5 a2= S S6 b2 = & S7S8* ? ?又 S7 = S2 S8 = S5S4 = S6又.2 2-a b = S1S6S3S7S8= SiS4S3S2S5=c2即 a2 b2 =c2【证法9】（辛卜松证明）ba2abab2ab1iAaabbb设直角三角形两直角边的长分别为Da C形 ABCD把正方形b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD .把正方 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ab 2ab ；ABCD划分成上方右图所示的几个部分，1 2=4 ab c22= 2ab + c2.a2 +b2 =c2ABCD的面积

12、为则正方形a2 b2 2ab =2ab - c22(a +b )垂足为E，DE交AF于H. Rt ADHA 也 Rt ABCA.【证法10】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a）,斜边长为c.再 做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形过A作AF山C , AF交GT 于F, AF交DT于R.过B作BP 1AF ,垂足为P.过D作DE_与CB的延长线垂直，/ ZBAD = 90 o,zPAC = 90 o, ZDAH = ZBAC.又 ZDHA = 90o,zBCA = 90 o,AD = AB = c , DH = BC = a ,

13、 AH = AC = b . 由作法可知，PBCA是一个矩形， 所以 Rt AAPB 也 Rt ABCA.即 PB = CA = b , AP= a，从而 PH = b a. Rt ADGT 也 Rt ABCA ,Rt ADHA 也Rt ABCA. Rt ADGT 也 Rt ADHA . DH = DG = a，/GDT = ZHDA .又 ZDGT = 90o,zDHF = 90 o，ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+ ZTDH = 90 o, DGFH是一个边长为a的正方形.GF = FH = a . TF 1AF，TF = GT -GF = b a . TFPB是一个直

14、角梯形，上底 TF=b a,下底BP= b，高FP=a + (ba)用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为2c = SiS2S3S4S5b2ab21S8S3S4b b -a a b -a 12S5 - S8S92S3S4 二b1ab2一S8_ b2 _Si _S8把代入，得-S8S8S9a22 2c-SiS2 b-Si=b2 S2 S9 = b2 a2 b2【证法11】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b (b>a)，斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形(b>a),把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M三点在一条直线上.用数C字表示面积的编

15、号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， 则 AD = c.v EM = EH + HM = b + a , ED = a , DM = EM -ED = b a = b.又 v JCMD = 90 o, CM = a ,ZAED = 90 o, AE = b , Rt AAED 也 Rt ADMC. ZEAD = dVIDC , DC = AD = c .v ZADE + ZADC+ ZMDC =180 o,ZADE + Z/IDC = ZADE + ZEAD = 90 o,-zADC = 90 q作AB /DC , CB DA，贝U ABCD是一个边长为c的正方形.v ZBAF + ZFAD = ZDAE + ZFAD = 90 o, ZBAF= ZDAE.连结 FB，在A ABF 和AADE 中，v AB =AD = c , AE