勾股定理--最短距离问题

1、蚂蚁爬行的最短路径正方体4. 如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A. A? P? B B . A? Q? B C . A? R? B D . A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A.故选A.2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是II第6题AB即为最短路线.2, BC的中点为M, 只蚂蚁从 A点爬行到 M点的最短距离8.正方体盒子的棱长为 为第7题解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB= 2212 = > 5 .J 严士7BL解：将正方体展开，连接 M D1

2、, 根据两点之间线段最短，MD=MC+CD=1+2=3MD= . MD2 DD； = 32 22 二 135. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是()解：如图，AB= . 12 21 ,10 .故选 C.9. 如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3 X 3个小正方形.其边长都为1cm, 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要用2.5秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短 的路线.(1) 展开前面右面由勾股定理得A

3、B= "；一-一*-；=咐cm；(2) 展开底面右面由勾股定理得AB= 2".上广=5cm；所以最短路径长为 5cm用时最少：5十2=2.5秒.长方体10. (2009?恩施州)如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是 。解：将长方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短，AB=护一莎'=25.11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.A1一D ,解：正面和上面沿 AiB展开如图，连

4、接 AG,A ABG是直角三角形, AG= 丫 AB? +BC, = <40（1+2 2 = J42 +32 = 518.（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm解: / PA=2X( 4+2) =12, QA=5 PQ=13.故答案为：13.19.如图，一块长方体砖宽 AN=5cm 长ND=10cm CD上的点 B距地面的高 BD=8cm地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?解：如图1在砖的侧面展开图 2上，连接AB, 则AB的长即为A处到B处的最短

5、路程.解：在Rt ABD中，因为 AD=AN+ND=5+10=15BD=8所以 AB'=AE2+BE2=152+82=289=172.所以 AB=17cm故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.49、如图，长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别 12cm ,8cm,30cm.(1)在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程 是多少？ 此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少？12. 如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B解：由题意得，路径一：AB=訊+打+二'=-；路径二：AB= m； + 】JT-A=5 ；路

6、径三：AB= 1,： ",;' ='77 ；，二 >5, 5米为最短路径.13. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点 A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：(1 )蚂蚁经过的最短路程；(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：（1） AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为匚心:（cm）;若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为：. 宀（cm）.或''（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是汽Wcm.（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=3Qc最长

7、路程是 30cm.15.如图，长方体的长、宽、高分别为6cm, 8cm, 4cm. 只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm则所走的最短线段是盘滋'仝；=6: cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,所以走的最短线段是M乔茨=cm;第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,所以走的最短线段是上广十-广=2 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短.5

8、1.圆柱形坡璃容器，高 18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与 蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。S©16.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm 2cm. A和B是这个台阶上两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点B的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm,宽为(2+3)x 3cm,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,由勾股

9、定理得：x2=202+ ( 2+3)X 3 2=252,解得x=25.故答案为25.17.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是5cm, 3cm 和 1cm, A 和 BB点去吃可口的食物.请你想一想，cm迟解：将台阶展开，如下图， 因为 AC=3X 3+1 X 3=12, BC=5,所以 aB"=a6+bC=169 ,所以 AB=13 (cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为 答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm.13cm.O圆柱21.有一圆柱体如图，高4cm,底面半径5cm,

10、 A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离第2题解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C, D分别是BE, AF的中点.AF=2n ? 5=10 n. AD=5u.ac= . ad2 cd2 16cm.故答案为：16cm.BCE 1* T*raE22. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m 一只老鼠从距底面 1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为第3题解：AB= 52 122 = 13m23. 如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA的端点A到达Ai,若圆柱底面半径为 ,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为解：因为圆柱底面圆的周长为2nX =12,高为5,所以将侧面展

11、开为一长为12,宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为代；y-r=i3.故蚂蚁爬行的最短距离为13.24. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点 又因为 CD=AB=9cm 所以 AC= V1224-92=15cm.A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示:由于圆柱体的底面周长为24cm,则 AD=24X 丄=12cm.2故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm.故答案为：15.25. （ 2006?荆州）有一圆柱体高为10cm底面圆的半径为 4cm AA, BB为相对的两条母线.在AA上有一个

12、蜘蛛 Q QA=3cm在BB上有一只苍蝇 P, PB=2cm,蜘蛛沿圆柱体侧面爬cm（结果用带n和根号的式子表示）即可把PQ放到一个直角边是 4n和5的直角三角形中,根据勾股定理得：QP= V16fr2-F25最短路线问题通常是以 “平面内连结两点的线中，线段最短”为原则引申岀来的.人们在生产、生活实践中， 常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线 问题，对于平面内的最短路线问题可先画岀方案图，然后确定最短距离及路径图。I.求三点距离相等时，一点到两

13、点的距离最短设计方案例1.为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。已知 A、B C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画 岀你所设计方案的线路图。解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。(1)可设计AB+AC路径；(2)可设计AD+BD+C路径;(3)可设计AE+EB+E（路径。通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）H。求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计例2为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A B是两个农场，直线 m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，

14、准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中 画岀设计方案图。解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一 条线段长的问题。应用：已知三角形 ABC中，/ A= 20度，AB= AC= 20cm, M N分别为AB AC上两点，求BN+ MN MC的最小值。山。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3.已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一 点，使其与居民区之间的距离最小。解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。应用：一点到圆上的点的最大距离为

15、9,最短距离为1,则圆的半径为多少？关于立体图形表面的最短路径问题 ，又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题 .它牵涉的知 识面广，沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系，能训练学生的空间想象能力。 而且，也很富有技巧 性.在此讨论几个问题，仅供参考。I。在圆柱中，可将其侧面展开求岀最短路程H。在长方体(正方体)中，求最短路程例5.在长方体盒子的 A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得 所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则最短路程为多少.解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：(1) 将右侧

16、面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：(2) 将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为:(3) 将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为:然后比较S1、S2、S3的大小，即可得到最短路程.应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点Ci处。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A点爬到Ci点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？山。在圆锥中，求最短路径问题例6在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从A点岀发，在其表面绕一周又回到 A点,如果绕行所走的路程最短，画岀设计方案图。解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案应用：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8底面圆的半径r