力学13振动和波3

1、1一、波的叠加原理一、波的叠加原理( superposition principle)6 波的叠加波的叠加 驻波驻波 若几列波同时在介质中传播，则它们各以原若几列波同时在介质中传播，则它们各以原有的振幅、波长和频率沿原方向独立地传播，有的振幅、波长和频率沿原方向独立地传播，彼此互不影响彼此互不影响（独立传播原理独立传播原理）； 波的叠加原理是波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。干涉、衍射的基本依据。 在几列波相在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和处引起的位移的矢量和（波的叠加原理波的叠加原理）。叠加原理成立的条件：叠加原

2、理成立的条件： 波强度较小，波动方程是线性的。波强度较小，波动方程是线性的。 2 相干条件：相干条件： （1）频率相同；）频率相同；（2）振动方向相同；）振动方向相同；（3）相位差恒定。）相位差恒定。 两列波干涉的一般规律留在后面光的干涉两列波干涉的一般规律留在后面光的干涉中再去分析。中再去分析。这里只研究一种特殊的、常见的干涉现象这里只研究一种特殊的、常见的干涉现象驻波驻波 （standing wave） 波叠加时，在空间出现稳定的振动加强和波叠加时，在空间出现稳定的振动加强和减减弱的分布叫波的干涉。弱的分布叫波的干涉。二、波的干涉现象二、波的干涉现象3三、驻波三、驻波就形成就形成驻波，驻波

3、，能够传播的波叫能够传播的波叫行波行波（travelling wave）1、驻波的形成和描述驻波的形成和描述两列两列相干的行波相干的行波沿相反方向传播而叠加时，沿相反方向传播而叠加时，它是一种常见的重要干涉现象。它是一种常见的重要干涉现象。弦驻波弦驻波（横驻波横驻波）4 驻波不传播，各点做简谐振动，振幅随位置驻波不传播，各点做简谐振动，振幅随位置不同而不同。不同而不同。 设两列行波分别沿设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，轴的正向和反向传播，）（2 cos1 xtAy :x:x）（2 cos2 xtAy 在在x = 0处两波的初相均为处两波的初相均为0：21yyy 绝对值为振幅绝对值为振

4、幅振动振动txA cos2cos2 txAy cos2cos2 驻波的波函数：驻波的波函数：从波函数上看，为什么不传播？从波函数上看，为什么不传播？52At = 0y0 x0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波波节节波波腹腹 /4- /4x02A-2A振动范围振动范围 /2xt = 3T/8067是一个线性的齐次方程，所以如果是一个线性的齐次方程，所以如果y1和和y2是波是波动方程的解，那么它们的叠加动方程的解，那么它们的叠加y1+y2也一定是也一定是方程的解方程的解(波的叠加原理波的叠加原理)。驻波是两列行波的驻波是两列行波的叠加，而行波是波动方程的解，所以驻波也叠加，而

5、行波是波动方程的解，所以驻波也是波动方程的解。是波动方程的解。由于波动方程由于波动方程0122222 tyuxy 波动方程虽由行波波函数得到，但其解并不波动方程虽由行波波函数得到，但其解并不限于行波。任何物理量，无论是位移，还是限于行波。任何物理量，无论是位移，还是电场或磁场，只要它与坐标、时间的函数关电场或磁场，只要它与坐标、时间的函数关系是波动方程的解，那么该物理量的运动形系是波动方程的解，那么该物理量的运动形式就一定是波动，它可以是行波，也可以是式就一定是波动，它可以是行波，也可以是驻波。驻波。8各处不等，出现了各处不等，出现了波腹波腹（振幅最大处）（振幅最大处） 和和波节波节。测波节间

6、距可得行波波长。测波节间距可得行波波长。相邻波节间距相邻波节间距 /2，（1）振幅振幅：（2）位相位相：不传播。不传播。驻波是驻波是分段的振动分段的振动。两相邻波节间为一段，两相邻波节间为一段，2、 驻波的特点驻波的特点同一段振动相位相同；同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反。相邻段振动相位相反。x04 2 43 4 04 2 43 4 x xAA2cos20 9波节波节（波腹波腹）的两边，不发生能量交换。的两边，不发生能量交换。 驻波相邻的波节和波腹之间的驻波相邻的波节和波腹之间的 /4区域，实区域，实际上构成一个独立的振动体系，它与外界不交际上构成一个独立的振动体系，它与外界不交换能量。

7、能量只在换能量。能量只在 /4区域内流动。区域内流动。波节静止波节静止波腹附近波腹附近无形变无形变4 总能流密度为总能流密度为， 0)( uwuw但质元间仍有能量交换。但质元间仍有能量交换。（3）能量能量：平均没有能量的传播，平均没有能量的传播，10 113、 的情形：的情形：21AA )2cos(cos2cos21 xtAtxAy 设设， 112)(AAAA 严格的驻波严格的驻波行波行波仍可叫仍可叫“驻波驻波”，不过波节处有振动。，不过波节处有振动。4、驻波的界面情况、驻波的界面情况0驻波驻波 z2z1xuz 特性阻抗特性阻抗:21zz 界面上总是界面上总是波节波节:21zz 界面上总是界面

8、上总是波腹波腹波疏波疏波密介质波密介质波密波密波疏介质波疏介质12波腹波腹位相不变位相不变波疏介质波疏介质波密介质波密介质x驻波驻波入射波和反射波的波形入射波和反射波的波形波节波节驻波驻波位相突变位相突变 波疏介质波疏介质波密介质波密介质x2 “半波损失半波损失”half-wave loss （z小）小）（z大）大）（z小）小）（z大）大）13为什么会发生位相突变为什么会发生位相突变 ？0透射波透射波 y2反射波反射波 y1 入射波入射波 y1z2z1x)cos(111xktAy 入射波入射波) cos( 111xktAy 反射波反射波) cos( 222xktAy 透射波透射波适当选择时间零

9、点，各波波函数为适当选择时间零点，各波波函数为14（2）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）界面两侧应力相等（牛顿第三定律）（1）界面两侧质元位移相同（接触）界面两侧质元位移相同（接触） y1+ y1 x =0 = y2x =002011 xxSFSFSF0220111 xxxyExyxyE（纵波）（纵波） 机械波垂直界面入射，有机械波垂直界面入射，有界面关系：界面关系： 将将y和和E= u2代入界面关系，得：代入界面关系，得：15 反射波和入射反射波和入射波引起界面质点的振动同相。波引起界面质点的振动同相。212111 zzzzAA 211122zzzAA 1A 1A和和同号，同号，(波密波密波

10、疏介质波疏介质)：21zz 若若 反射波和入射反射波和入射波引起界面质点的振动反相，波引起界面质点的振动反相，位相突变位相突变 。1A 1A和和反号，反号，(波疏波疏波密介质波密介质)：21zz 若若 透射波和透射波和入射波引起界面质点的振动总入射波引起界面质点的振动总是同相。是同相。2A1A和和总是同号，总是同号，16四、简正模式四、简正模式 （normal mode） 波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。如如两端固定的弦，两端固定的弦，L，3 , 2 , 12 nLnn nLn2 或或Lununn2 lFu 系统的系统的固有频率固有频率F 弦中的张力

11、弦中的张力 l 弦的线密度弦的线密度波速波速形成驻波必须满足以下条件：形成驻波必须满足以下条件：17基频基频21 n =1二次二次谐频谐频n =222 三次三次谐频谐频n =323 每种可能的每种可能的稳定振动方式稳定振动方式称作系统的一个称作系统的一个简正模式。简正模式。 两端固定的弦：两端固定的弦：3 , 2 , 12 nLnn nLn2 187 声强声强 声强声强 ：声波的平均能流密度，即单位面：声波的平均能流密度，即单位面积的平均能流积的平均能流（intensity of sound）2221AuI 标准声强：标准声强：这个声强人能够勉强听到，称为闻阈。这个声强人能够勉强听到，称为闻阈

12、。2120W/m10 I= 1KHz （ ） ，19声强级：声强级：(Bel)log0IIL (dB)log100II （sound intensity level）正常说话正常说话60dB， 噪声噪声90dB，炮声炮声120dB。每条曲线描绘每条曲线描绘的是相同响度的是相同响度下不同频率的下不同频率的声强级。声强级。声响曲线声响曲线听觉界限听觉界限频率频率 HzdB声声强强级级20dBHz声阈声阈频率频率语音范围语音范围疼痛界限疼痛界限音乐范围音乐范围听觉界限听觉界限声声强强级级声音范围声音范围21超声波：超声波： 20KHz的声波的声波要求了解其应用：要求了解其应用：加湿器加湿器声致发光声

13、致发光超声探伤超声探伤声纳（海底地形）声纳（海底地形）超声焊接、切割、手术超声焊接、切割、手术B超超22 由于波源和观察者的运动，而使观测的频由于波源和观察者的运动，而使观测的频率不同于波源频率的现象。率不同于波源频率的现象。8 多普勒效应多普勒效应(Doppler effect)一、机械波的多普勒效应一、机械波的多普勒效应设运动在波源设运动在波源 S 和观测者和观测者R的连线方向上，的连线方向上，以二者相向运动的方向为速度的正方向。以二者相向运动的方向为速度的正方向。vS 0vR 0SR（相对介质相对介质）（相对介质相对介质）S （波源频率波源频率）R （观测频率观测频率）u（波速波速）23

14、vS = 0vRu SRRRvv uuu S u vR 0(R接近接近S)，SR vR 0,SR vS 0,SR vSTSS R25水波的多普勒效应（波源向右运动）水波的多普勒效应（波源向右运动）26SSRRvv uuuuSSRvv uuSR （3）vR 0 ， vS 0当当 vR = vS 时时，无相对运动：，无相对运动：SSRvv uuR 速度速度vR、vS 是相对介质而言，并以相向为正。是相对介质而言，并以相向为正。SSRv uuSRRv uu vS=0 ，vR0：vS0 ，vR0：27【例例】一静止声源一静止声源 S 频率频率 S= 300Hz，声速，声速 u = 330m/s，观察者

15、，观察者 R 以速度以速度vR= 60m/s 向右运动，反射壁以向右运动，反射壁以v= 100m/s 的速度的速度亦亦向右运动。向右运动。解：解：R收到的声源发射波的频率：收到的声源发射波的频率：sRRuu v 反射壁收到的声源发射波的频率：反射壁收到的声源发射波的频率： suu v 求：求：R 测得的拍频测得的拍频 B = ? vvRRS*u SR收到的反射壁反射波的频率：收到的反射壁反射波的频率： vvRRuuSRvvv uuuu 28拍频：拍频：su vvv2|RRRB Hz8 .55 300100330601002 则由拍频则由拍频反射壁速度反射壁速度v= 100m/s 。 s= 30

16、0Hz ,vR= 60m/s，如果已知如果已知Hz8 .55B 测出拍频测出拍频29二、电磁波的多普勒效应二、电磁波的多普勒效应v (对对R)ScR S R S22Rcosvv cc当当 时，仍有时，仍有2 SR 横向多普勒效应横向多普勒效应 电磁波不同于机械波，不需要介质。可以电磁波不同于机械波，不需要介质。可以证明，只是光源和观察者的证明，只是光源和观察者的相对速度相对速度 决定决定接收的频率。由相对论可导出：接收的频率。由相对论可导出：v30 当光源和观察者的相对运动发生在二者连当光源和观察者的相对运动发生在二者连线上，即线上，即 0时时SRvv ccSRvv cc二者以速率二者以速率v

17、互相接近：互相接近：二者互相远离：二者互相远离：多普勒红移（多普勒红移（“大爆炸大爆炸”宇宙论）宇宙论）31三、冲击波三、冲击波（shock wave） utSvS vSt u Sv0R 时，时，后发出的波面后发出的波面将超越先发出的波面，将超越先发出的波面，形成形成锥形波阵面冲击锥形波阵面冲击波（激波）波（激波） Svsinu 冲击波带冲击波带uSv 马赫数马赫数 对超音速飞机的最小对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。飞行高度要有一定限制。马赫锥马赫锥（Mach number）32超音速的子弹超音速的子弹在空气中形成在空气中形成的激波的激波（马赫数为（马赫数为2 ）339 复波复波 群速度群速度 若干不同频率的简谐波叠加而成的合成波，若干不同频率的简谐波叠加而成的合成波，它是它是非简谐波。非简谐波。一、复波一、复波例如，两个频率相近的简谐波合成的复波为例如，两个频率相近的简谐波合成的复波为 波群波群、波包波包或或信号信号的传播速度的传播速度ug，称为，称为群速群速度度（group velocity） 。 y x gu波群波群波群波群34二、群速度二、群速度kugdd 群速度定义为：群速度定义为：对于无色散介质，相速为常数，对于无色散介质，相速为常数，0dd uuug dduuug 因