浙江专用高中数学第三章直线与方程习题课学案新人教A版必修20502134

1、 1 第三章第三章 直线与方程直线与方程习题课习题课 目标定位 1.了解直线和直线方程之间的对应关系.2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，能根据条件熟练地求出直线的方程.3.能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式转化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性. 1.经过m(3，2)与n(6，2)两点的直线方程为( ) a.x2 b.y2 c.x3 d.x6 解析 由m，n两点的坐标可知，直线mn与x轴平行，所以直线方程为y2，故选 b. 答案 b 2.直线(2m25m2)x(m24)y5m0 的倾斜角为 45，则m的值为( ) a.2 b.2 c.3 d.3 解析 由已知得m24

2、0，且2m25m2m241， 解得：m3 或m2(舍去). 答案 d 3.直线l的方程为axbyc0，若直线l过原点和二、四象限，则( ) a.c0，b0 b.a0，b0，c0 c.ab0，c0 解析 通过直线的斜率和截距进行判断. 答案 d 4.直线ax3my2a0(m0)过点(1，1)，则直线的斜率k等于( ) a.3 b.3 c.13 d.13 解析 由点(1，1)在直线上可得a3m2a0(m0)，解得ma，故直线方程为ax3ay2a0(a0)，即x3y20，其斜率k13. 答案 d 5.已知直线(a2)xay10 与直线 2x3y50 平行，则a的值为( ) a.6 b.6 c.45

3、d.45 解析 直线 2x3y50 的斜率为k23，则a0，直线(a2)xay10 的斜率为k1a2a，a2a23，解得a6. 答案 b 2 6.直线l：ax(a1)y20 的倾斜角大于 45，则a的取值范围是_. 解析 当a1 时，直线l的倾斜角为 90，符合要求； 当a1 时，直线l的斜率为aa1，只要aa11 或者aa10 即可， 解得1a12或者a0. 综上可知，实数a的取值范围是(，12)(0，). 答案 (，12)(0，) 题型一 由含参一般式方程求参数的值或取值范围 【例 1】 (1)若方程(m25m6)x(m23m)y10 表示一条直线，则实数m满足_. (2)当实数m为何值时

4、，直线(2m2m3)x(m2m)y4m1. 倾斜角为 45；在x轴上的截距为 1. (1)解析 若方程不能表示直线，则m25m60 且m23m0. 解方程组m25m60，m23m0，得m3. 所以m3 时，方程表示一条直线. 答案 m3 (2)解 因为已知直线的倾斜角为 45， 所以此直线的斜率是 1，所以2m2m3m2m1， 所以m2m0，2m2m3（m2m）， 解得m0且m1，m1或m1.所以m1. 因为已知直线在x轴上的截距为 1， 令y0 得x4m12m2m3，所以4m12m2m31， 所以2m2m30，4m12m2m3，解得m1且m32，m12或m2. 所以m12或m2. 规律方法

5、已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 3 【训练 1】 已知直线l：kxy12k0(kr r). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围. (1)证明 直线l的方程是k(x2)(1y)0， 令x20，1y0，解得x2，y1， 无论k取何值，直线总经过定点(2，1). (2)解 由方程知，当k0 时直线在x轴上的截距为12kk，在y轴上的截距为 12k，要使直线不经过第四象限，则必须有12kk2，12k1，解之得k0； 当k0 时，直线为y1，符合题意，故k0. 故k的取值范围为k|k0. 题型二 利用直线系方程求直线方程 【例 2】 已知直线l的方程

6、为 3x4y120，求满足下列条件的直线l方程， (1)过点(1，3)，且与l平行； (2)过点(1，3)，且与l垂直. 解 法一 由题设l的方程可化为y34x3，l的斜率为34. (1)由l与l平行，l的斜率为34. 又l过(1，3)，由点斜式知方程为y334(x1)，即 3x4y90. (2)由l与l垂直，l的斜率为43， 又过(1，3)，由点斜式可得方程为y343(x1)， 即 4x3y130. 4 法二 (1)由l与l平行，可设l方程为 3x4ym0. 将点(1，3)代入上式得m9. 所求直线方程为 3x4y90. (2)由l与l垂直，可设其方程为 4x3yn0. 将(1，3)代入上式

7、得n13. 所求直线方程为 4x3y130. 规律方法 一般地，直线axbyc0 中系数a、b确定直线的斜率，因此，与直线axbyc0 平行的直线方程可设为axbym0(mc)， 与直线axbyc0 垂直的直线方程可设为bxayn0.这是经常采用的解题技巧. 【训练 2】 已知a(2，2)和直线l：3x4y200. 求：(1)过点a和直线l平行的直线方程； (2)过点a和直线l垂直的直线方程. 解 (1)将与直线l平行的方程设为 3x4yc10， 又过点a(2，2)， 所以 3242c10，所以c114. 所求直线方程为 3x4y140. (2)将与l垂直的直线方程设为 4x3yc20， 又过

8、点a(2，2)， 所以 4232c20，所以c22， 所以直线方程为 4x3y20. 题型三 直线的平行与垂直问题 【例 3】 a为何值时，直线(a1)x2y40 与xay10. (1)平行；(2)垂直. 解 当a0 或 1 时，两直线既不平行，也不垂直； 当a0 且a1 时，直线(a1)x2y40 的斜率为k11a2，b12； 直线xay10 的斜率为k21a，b21a. (1)当两直线平行时，由k1k2，b1b2， 得1a1a2，a12，解得a1 或a2. (2)当两直线垂直时，(a1)1(2)(a)0，解得a13. 规律方法 1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率

9、是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1k2且b1b2；若都不存在，则还要判 5 定不重合. (2)可直接采用如下方法： 一般地，设直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.l1l2a1b2a2b10，且b1c2b2c10，或a1c2a2c10. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论， 可以减小因考虑不周而造成失误的可能性. 2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法 (1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k21. (2)一般地，设l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，l1l2a1a2b1b20. 第二种方法

10、可避免讨论，减小失误. 【训练 3】 (1)直线l1：2x(m1)y40 与直线l2：mx3y20 平行，求m的值. (2)已知直线(a2)x(1a)y30 与直线(a1)x(2a3)y20 互相垂直，则a为( ) a.1 b.1 c.1 d.32 (1)解 法一 l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20，当m0 时，显然l1不平行于l2. 当m0 时，若l1l2，则有2mm1342，即m2m60. 解得m2 或m3.显然m2 或m3 符合条件. 法二 若l1l2，则 23m(m1)0， 解得m2 或m3.当m2 或m3 时， (m1)(2)342m140， m2 或m3 为所求. (2)

11、解析 两直线垂直，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1. 答案 c 课堂小结 1.直线方程五种形式的比较 名称 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 一般情况 yy0k(xx0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 ykxb k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 6 两点式 一般情况 yy1y2y1xx1x2x1 (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 xayb1 a，b分别是直线在x轴、y轴上的两个非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 axbyc0(a，b不同时为 0) a，

12、b为系数 任何情况 特殊直线 xa(y轴：x0) 垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 yb(x轴：y0) 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k0 2.关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意： (1)直线斜率往往是求直线的关键，若不能断定直线有无斜率，必须分两种情况讨论； (2)在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离” ； (3)当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性. 基 础 过 关 1.已知直线(2mm2)x(4m2)ym240 的斜率不存在，则m的值是( ) a.1 b.34 c.2 d.2 解析 由题意得4m2

13、0，2mm20，解得m2. 答案 c 2.已知直线axby10 在y轴上的截距为1，且它的倾斜角是直线3xy30 的倾斜角的 2 倍，则a，b的值分别为( ) a.3，1 b.3，1 c.3，1 d.3，1 解析 原方程化为x1ay1b1， 1b1， b1.又axby10 的斜率kaba， 且3xy30 的倾斜角为 60，ktan 120，a3，故选 d. 答案 d 3.过点(1，0)且与直线x2y20 平行的直线方程是( ) 7 a.x2y10 b.x2y10 c.2xy20 d.x2y10 解析 设所求直线方程为x2yc0，又经过(1，0)， 10c0，故c1，所求直线方程为x2y10.

14、答案 a 4.在平面直角坐标系xoy中，若直线l1：x2y10 和直线l2：2xaya0 平行，则常数a的值为_. 解析 由于l1l2， 所以 1(a)(2)20 且2(a)(a)(1)0， 得a4. 答案 4 5.若直线x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直，则实数m_. 解析 由已知，得 122m0，解得m1. 答案 1 6.已知直线l1：(k3)x(4k)y10 与l2：2(k3)x2y30. (1)若这两条直线垂直，求k的值； (2)若这两条直线平行，求k的值. 解 (1)根据题意，得(k3)2(k3)(4k)(2)0，解得k552. 若这两条直线垂直，则k552. (2)根据题意

15、，得(k3)(2)2(k3)(4k)0，解得k3 或k5.经检测，均符合题意. 若这两条直线平行，则k3 或k5. 7.已知在abc中，a，b的坐标分别为(1，2)，(4，3)，ac的中点m在y轴上，bc的中点n在x轴上. (1)求点c的坐标； (2)求直线mn的方程. 解 (1)设顶点c(m，n)，ac中点m在y轴上，bc的中点n在x轴上， 由中点坐标公式m120，n320，解得m1，n3， c点的坐标为(1，3). (2)由(1)知：点m，n的坐标分别为m0，12，n52，0 ，由直线的截距式方程得直线mn的方 8 程是x52y121，即y15x12，即 2x10y50. 能 力 提 升

16、8.两条直线l1：xayb1 和l2：xbya1 在同一直角坐标系中的图象可以是( ) 解析 化为截距式xayb1，xbya1. 假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知 a 项符合. 答案 a 9.两条直线mxyn0 和xmy10 互相平行的条件是( ) a.m1 b.m1 c.m1，n1， d.m1，n1或m1，n1 解析 令mm11，得m1.当m1 时，要使xyn0 与xy10 平行，需n1.当m1 时， 要使xyn0 与xy10 平行，需n1. 答案 d 10.垂直于直线 3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6 的直线在x轴上的截距是_. 解析 设直线方程是 4x3yd0，

17、分别令x0 和y0，得直线在两坐标轴上的截距分别是d3，d4，612d3d4d224，d12，则直线在x轴上的截距为 3 或3. 答案 3 或3 11.直线过点p43，2 且与x轴、y轴的正半轴分别交于a，b两点，o为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)aob的周长为 12；(2)aob的面积为 6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 9 解 设所求直线方程为xayb1(a0，b0). 若满意条件(1)，由题意可知，aba2b212. 直线过点p43，2 ，43a2b1. 由可得 5a232a450，解得a4，b3，或a125，b92. 所求直线的方程为x4y31

18、或5x122y91， 即满足条件(1)的直线方程为：3x4y120 或 15x8y360. 若满足条件(2)，由题意知ab12，43a2b1. 整理，得a26a80，解得a4，b3或a2，b6.所求直线的方程为x4y31 或x2y61，即满足条件(2)的直线方程为：3x4y120 或 3xy60. 故同时满足(1)(2)的直线方程为：3x4y120. 探 究 创 新 12.某小区内有一块荒地abcde，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示).问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知bc210 m，cd240 m，de300 m，ea180 m) 解 以bc所在直线为x轴，ae