十二种方法推导点到直线的距离公式.解析

1、十二种点到直线距离公式证明方法这里只讨论一般直线 ）用高中数学知识推导 点到直线的距离公式 的方法.已知点 P（Xo, Yo）直线I : Ax+By+C=O （A、B均不为0），求点P到直线I的 距离。（因为特殊直线很容易求距离，I的垂线段的长，设点P到直线 可知I '的斜率为B/A1.用定义法推导 点P到直线I的距离是点P到直线 I的垂线为垂足为Q由I垂直I 'Z1齐二f的方S ：y-y0-氐-和与f趺立 方程组解紹交点O （虽竺孕欝-.A?+ B3IPQ岸t B%世百yAC -畑(Aytr*-ABx(j BC vA 铀Vo)_ A-(Axj+ Byjj+ C B?Ax+皿B

2、爭(Ax+Byo+ff'A?+B7二ipoi冷唱蛙g«2,用设而不求法推导过已知点P (力yj作已知直线上 Ax+By+CO的垂线，设垂足为 则iVH5xy-细-合1 i冷 b，化简得Ax+By+COAyy(j)B(XXn)*O''A(x-x+ B(¥-y4 - (Axq+By 卄 C 由上式衔：A?+ BJ>0(-xJI+y-yDp®(Axo+ By0+CP二 h SSFGv 卩 JABy 叮 CL.«3?用目标函数法推导点 P(XoY到育线上 圧尊一点的距离的最小値就是总P到亘 线/的建离。左r上取圧意点MA,y),爲

3、两点的距离公式有IPMItx-+ty-vd1 为了利用条件Ax起卅OS将上式变形 一下，配凑系数愛理需，(A?4 B讪xU(¥Tnfl?(v *yfJ?+A?(y-y(JJ+ B:<x-Xa)? =Ax-xJ+B(y-y()l7+ IA(y -yJ*B(x- xj l? 列 A(x-XoH Bfy-Yjr(Ax«+ By0+C)7 r (血卄昭亠30)丘二莎我匸研歹气凹叫qVZAB2当旦仅当A(y-y,-B(x-xJ=0旳取等 号斷以最小值就是g气勢静vW十呼4,用柯西不等式推导“求证：(a2 +b2 )(c 2+d2) > (ac+bd) 2 ,当且仅当 ad

4、=bc，即 a/c=b/d 时等号成立。”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地 推出点到直线的距离公式。设点 M (xPy) J9B.SS i:A?(+By+C=O 上任意一点，任意点P(xOfVfl)到冒线/的 匿离为df RU:a|PM|?= 邂+暫¥虻 耳 W+BPM|2-(AB£) 铁曽+M Sk-A 心十 By- Byt)?-(-Ax"Byc-C?心卩稠册气beg，当且仅当VA4申5 用解直角三角形法推导设直线I的倾斜角为-,过点P作PM/ y轴交I于G(xi , yi)，显然 X=x。，所以理 Pl'F 11盗Jz r JkLp;1易得

5、 ZGPH或乙右PH稱情况下都有讥GPH =欢"伶./, COSZ1GPH =d=|PH|=|PG|cos 乙 GPH冃鱼社|险虫 J *sAXo+BybtCL«6,用三角形面积公式推导M*?4、Z , 、jH0X两点闾距离公式的推导过程中，使用 降维思想构造直角三角形受此启示，当 A-B#0时型点P禹理d的两条直线分别 作平行于x 轴的两条直线，分轨交直 线/：Ax+By+C=O于点M卜%匹旳、 W（xo企产）.则 |MP|=|xo+ 除匚|, |NPR|%*耸：| t MP 丄 NP.'在Rt由頁角三角形03面积公 式得：;-NPRNP=； JMNpdt 4|P

6、Q|=册 IF 匚vpMp+imp-_|Axo+ByQ+C|VA+B3-«7.用向量法推导由旨线 < 的方程Ax+By+C=O（ CA, B 不能问时为0）,可得直线！的法向虽为A 曰代B）.设过点P（猖血作胃线/的垂线,垂足为 HfflfqlgPFf =kn ,即(x'-Xc.y-yJA所以 x =x(>+XAfy-y=XB S |Pff|= V(r-xDty'2 =|X|皿砂，又因为点H(xy )在直线l上. 所IX就有:AxBv'+C=0t即 A(硏XA)+B MriAB 幵 C=0,X W+B7)- (Axo>Byo+C)r 又因为

7、A,B不同时为0,-(Axg+Bya+C)A2+B2a | PFT 1= W1% 炖屮 |V A B7-=| -缴二留吗g钿即心|眄出3取时8.1 皿碎8.用向量射影公式推导设R是亶轨上的任竜一晟 设Rg y)"直线的方向叵®为rri=( - B, Ah则頁线 的法向为 P=(A, BI 時=(x-xf y -柑 “1曲二哂.=|A机二讪十B仪一曲11 玛 |VA+B1-= IAXq+By汁 C|/+62原评:向星是一押浪好的工具,用向 最处理，既避开了分类讨论，又体现了平 面向矍的丁具性，会有出半功fg的效果。9 .利用两条平行直线间的距离处处相等推导如果逛点 PtxoY

8、o)作 /：Ax + 8y+C=0 的平行线:Ax+By-Ax0- ByoO,那么冒线 /'上衽意一点到I的距商都等于点P到直 线1迪也逼，既然可以任意取点我们应 设法使这个点到苴线I的距离容易求得 选取旨线F右其轴的交点G (慙0严, ®过G作！的垂线”垂足为H,设？与X 轴相交于点F ( -0),容易求得FG =如譽虫甬a与直线的倾輻甬P相等或互补, 汁七轨= 门 从讦d-GH|：-/,tana= ±tanp= ±t :、|sina|-| ±V B /頁钿|FG|sina|=| 曲平网 | *甲-二 A 1 VAB5iA5fi±By

9、(>+CJ_«10.从最简单最特殊的引理出发推导引理：坐标原点到直线2:Ax+By+C=O 的距禺 h=-J里V/PTB1简证；先从原点到盲线迪距禺这-特 殊情形入手设直线I与Xffl.y轴分别交 于点EF则点E.F的坐标分别星（-号,0）、©皆）由三角形面积恒辂：-EF*h=1_OE-OFSh=-Jg-由平厅直线系求出迪5巩心血且写f 平行的宴线的方程:Ax+Bv - Axo-ByO, 设直线/和厂分别与x轴交于点E、G,则点 E(-脣 Q、G(Q,由 1/T 穷K' OE 'H EGd=0E一£L IQ - Axo+BVo+ClA| S；

10、耳歹-VAVB=11 .通过平移坐标系推导】如果点P(xyJ.是坐标原点就好了，| /为此、我冊如叽一 対为原点建立直第丈 坐标系Wo”.井15+快一j*坐标轴xy(»别与 I !呈标轴k片平设直线在新坐标系中记 为化设田赣G在新日坐柝系中的坐标分 别是汉N)、(x,v)c则由OtV=OO"卡苜爲 (xty)=UoryJ+(x,Fy'h/.x=x04-xhJv=yo+y a 宜线t在新坐标系中的方程是:A(x-+xJ+B (yh +yj4-C=O,§D Ax>By +Axo+ Bya+C=O. 点O'到貫线F的距瞬就呈原P (心血到 直线f的距离.由引理功碍：力 JAxc+Bytj+CL/A+By【12，由直线与圆的位置关系推导】当IX点P（阳曲为IS 心迪區与直线4 Ax+By+C=O相切时.匾 的半從就是点P<x01yJ到 直线AAk+B片CF99庫 离，于是，问题转化为当 以原PI心¥/为匮心的匮与胃线【口看一个交点肘*求圆的半径.联立方程Ax+By+C