浙江专用高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.32.3.1直线与平面垂直的判定学案新人

1、 1 2 2. .3.13.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 目标定位 1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题. 自 主 预 习 1.直线与平面垂直的有关概念 (1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l. (2)相关概念：若直线l与平面垂直，其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点p叫做垂足. (3)图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直)如图所示. (4)符号语言：任意a，都

2、有la l. 其中“任意直线”等同于“所有直线”. 2.直线和平面垂直的判定定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. (2)图形语言：如图所示. (3)符号语言：a，b，aba， la，lbl. 3.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 90；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0.综上，直线与平面所成的角的范围0，90. 即 时 自 测 1.判断题 (1)若直线l与平面内的无数条直线垂直，则l.() 2 (2)若直线l与平面内任

3、意一条直线垂直，则l.() (3)若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线.() (4)过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.() 提示 (1)当直线l与平面内的无数条平行直线垂直时，l与不一定垂直. (3)当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直. 2.长方体abcda1b1c1d1中，下列不是平面abcd的垂线的是( ) a.aa1 b.bb1 c.cc1 d.ad1 解析 由长方体的性质可知ad1不垂直于平面abcd. 答案 d 3.下列条件中，能判定直线l平面的是( ) a.l与平面内的两条直线垂直 b.l与平面内的无数条直线垂直 c.l与平面内的某一条直线垂直 d.l与平

4、面内的任意一条直线垂直 解析 根据线面垂直的定义，可知l垂直于内的所有直线时，l. 答案 d 4.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，直线ab1与平面abcd所成的角等于_. 解析 bb1平面abcd，bab1即为直线ab1与平面abcd所成的角，且bab145. 答案 45 类型一 直线和平面垂直的定义 【例 1】 下列命题中，正确的序号是_. 若直线l与平面内的一条直线垂直，则l；若直线l不垂直于平面，则内没有与l垂直的直线；若直线l不垂直于平面，则内也可以有无数条直线与l垂直；若平面内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面不垂直. 解析 当l与内的一条直线垂直时，不能保证l与平面

5、垂直，所以不正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条平行直线垂直，所以不正确，正确；根据线面垂直的定义，若l则l与的所有直线都垂直，所以正确. 答案 3 规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上， “任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. 2.由定义可得线面垂直线线垂直，即若a，b，则ab. 【训练 1】 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( ) a.若lm，m，l b.若l，lm，则m c.

6、若l，m，则lm d.若l，m，则lm 解析 对于 a，直线lm，m并不代表平面内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于 b，因l，则l垂直内任意一条直线，又lm，由异面直线所成角的定义知，m与平面内任意一条直线所成的角都是 90，即m，故 b 正确；对于 c，也有可能是l，m异面；对于 d，l，m还可能相交或异面. 答案 b 类型二 线面垂直的判定 【例 2】 如图所示， 在三棱柱abca1b1c1中， 侧棱aa1底面abc，abac1，aa12， b1a1c190，d为bb1的中点. 求证：ad平面a1dc1. 证明 aa1底面abc，平面a1b1c1平面abc， aa1平面a1b1c1

7、，显然a1c1 平面a1b1c1，a1c1aa1. 又b1a1c190，a1c1a1b1而a1b1aa1a1， a1c1平面aa1b1b，ad 平面aa1b1b，a1c1ad. 由已知计算得ad2，a1d 2，aa12. ad2a1d2aa21，a1dad. a1c1a1da1，ad平面a1dc1. 规律方法 证线面垂直的方法有三类 (1)线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定 4 理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂

8、直. (2)平行转化法(利用推论)： ab，ab； ，aa. 【训练 2】 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱ab，bc的中点，o是底面abcd的中心，求证：ef平面bb1o. 证明 abcd为正方形，acbo. 又bb1平面abcd，ac 平面abcd， acbb1，又bobb1b，ac平面bb1o， 又ef是abc的中位线，efac，ef平面bb1o. 类型三 直线与平面所成的角(互动探究) 【例 3】 如图所示，三棱锥asbc中，bsc90，asbasc60，sasbsc.求直线as与平面sbc所成的角. 思路探究 探究点一 直线与平面所成角的范围是什么？ 提示 直

9、线和平面垂直时，直线与平面所成的角是直角，为 90；直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成角为 0；直线是平面的斜线时，直线与平面所成的角是锐角，范围(0，90).所以直线与平面所成角的范围是0，90. 探究点二 求斜线与平面所成角的步骤是什么？ 提示 求斜线与平面所成角的步骤：一作，找出射影，作出角；二证，证明作出的角即为所求；三算，在三角形中求角；四答，作答. 解 因为asbasc60， sasbsc， 所以asb与sac都是等边三角形. 因此abac. 如图所示，取bc的中点d， 5 连接ad，sd，则adbc. 设saa，则在 rtsbc中，bc2a， cdsd22a. 在 r

10、tadc中，adac2cd222a. 则ad2sd2sa2，所以adsd. 又bcsdd，所以ad平面sbc. 因此asd即为直线as与平面sbc所成的角. 在 rtasd中，sdad22a， 所以asd45， 即直线as与平面sbc所成的角为 45. 规律方法 1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口. 【训

11、练 3】 如图所示，rtbmc中，斜边bm5，它在平面abc上的射影ab长为 4，mbc60，求mc与平面cab所成角的正弦值. 解 由题意知，a是m在平面abc内的射影，ma平面abc， mc在平面cab内的射影为ac. mca即为直线mc与平面cab所成的角. 又在 rtmbc中，bm5，mbc60， mcbmsinmbc5sin 60532532. 在 rtmab中，mamb2ab2 52423. 6 在 rtmac中，sinmcamamc3532235. 即mc与平面cab所成角的正弦值为235. 课堂小结 1.直线和平面垂直的判定方法： (1)利用线面垂直的定义； (2)利用线面垂直

12、的判定定理； (3)利用下面两个结论：若ab，a，则b；若，a，则a. 2.线线垂直的判定方法： (1)异面直线所成的角是 90； (2)线面垂直，则线线垂直. 3.求线面角的常用方法： (1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)； (2)转移法(找过点与面平行的线或面)； (3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法). 1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) a.平行 b.垂直 c.相交不垂直 d.不确定 解析 由题意可知， 该直线垂直于三角形所确定的平面， 故这条直线和三角形的第三边也垂直. 答案 b 2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情

13、况，能保证该直线与平面垂直的是( ) 三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边. a. b. c. d. 解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面，对于图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直. 答案 a 3.矩形abcd中，ab1，bc2，pa平面abcd，pa1， 则pc与平面abcd所成的角是_. 解析 tanpcapaac1333，pca30. 答案 30 7 4.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，求证：ac平面bdd1b1. 证明 在正方体abcda1b1c1d1中，bb1平面ac， 又ac 平面ac，bb1ac.

14、四边形abcd是正方形，bdac. bd 平面bdd1b1，bb1 平面bdd1b1，bb1bdb， ac平面bdd1b1. 基 础 过 关 1.如图所示，如果mc菱形abcd所在平面，那么ma与bd的位置关系是( ) a.平行 b.垂直相交 c.垂直但不相交 d.相交但不垂直 解析 连接ac， 因为abcd是菱形， 所以bdac.又mc平面abcd，bd 平面abcd， 则bdmc.因为acmcc，所以bd平面amc.又ma 平面amc，所以mabd.显然直线ma与直线bd不共面，因此直线ma与bd的位置关系是垂直但不相交. 答案 c 2.下列表述正确的个数为( ) 若直线a平面，直线ab，

15、则b； 若直线a平面，b，且ab，则a； 若直线a平行于平面内的两条直线，则a； 若直线a垂直于平面内的两条直线，则a. a.0 b.1 c.2 d.3 解析 中b与还可能平行、斜交或b在平面内；中a与还可能平行或斜交；中a还可能在平面内；由直线与平面垂直的判定定理知错. 答案 a 3.线段ab的长等于它在平面内的射影长的 2 倍， 则ab所在直线与平面所成的角为( ) a.30 b.45 c.60 d.120 解析 如图，ac，abb，则bc是ab在平面内的射影，则bc 8 12ab，所以abc60，它是ab与平面所成的角. 答案 c 4.已知abc所在平面外一点p到abc三顶点的距离都相等

16、，则点p在平面abc内的射影是abc的_(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”). 解析 p到abc三顶点的距离都相等，则点p在平面abc内的射影到abc三顶点的距离都相等，所以是外心. 答案 外心 5.如图所示，pa平面abc，abc中bcac，则图中直角三角形的个数有_. 解析 pa平面abcbc 平面abc pabcacbcpaacabc平面pacbcpc， 直角三角形有pab、pac、abc、pbc. 答案 4 6.如图，四棱锥pabcd的底面是边长为 1 的正方形，pdbc，pd1，pc2.求证：pd平面abcd. 证明 pddc1，pc2，pd2dc2pc2，pdcd. 又pd

17、bc，bccdc，且bc 平面abcd，cd 平面abcd，pd平面abcd. 7.如图，ab为o的直径，pa垂直于o所在的平面，m为圆周上任意一点，anpm，n为垂足. 9 (1)求证：an平面pbm. (2)若aqpb，垂足为q，求证：nqpb. 证明 (1)ab为o的直径，ambm. 又pa平面abm，bm 平面abm.pabm. 又paama，bm平面pam. 又an 平面pam，bman. 又anpm，且bmpmm，an平面pbm. (2)由(1)知an平 pbm，pb 平面pbm，anpb. 又aqpb，anaqa，pb平面anq. 又nq 平面anq，pbnq. 能 力 提 升

18、8.空间四边形abcd的四边相等，则它的两对角线ac、bd的关系是( ) a.垂直且相交 b.相交但不一定垂直 c.垂直但不相交 d.不垂直也不相交 解析 取bd中点o，连接ao，co， 则bdao，bdco，且aocoo， bd面aoc，又ac 平面aoc，bdac， 又bd、ac异面，选 c. 答案 c 9.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为( ) 10 a.63 b.265 c.155 d.105 解析 如右图， 在长方体abcda1b1c1d1中， 连接a1c1、b1d1， 交于o点， 连接ob， 由已知a1b1c

19、1d1是正方形，a1c1b1d1. 又bb1平面a1b1c1d1，oc1 平面a1b1c1d1， oc1bb1.而bb1b1d1b1，oc1平面bb1d1d. ob是bc1在平面bb1d1d内的射影. c1bo是bc1与平面bb1d1d所成的角. 在正方形a1b1c1d1中，oc112a1c11222222. 在矩形bb1c1c中，bc1bc2cc21415. sinc1booc1bc125105. 答案 d 10.在正方体abcda1b1c1d1中，e为a1b1的中点， 则ae与平面abc1d1所成角的正弦值为_. 解析 如图，取cd的中点f，连接ef交平面abc1d1于o，连接ao. 由已知正方体易知eo平面abc1d1，所以eao为ae与平面abc1d1所成的角，设正方体棱长为 1，在 rteoa中，eo12ef12a1d22， ae1221252，sineaoeoae105.所以直线ae与平面abc1d1所成的角的正弦值为105. 答案 105 11.如图，pa矩形abcd所在的平面，m、n分别是ab、pc的中点. 11 (1)求证：mn平面pad； (2)若pd与平