最新解线性代数方程组的直接方法

1、第二节第二节 高斯消元法及其计算机实现高斯消元法及其计算机实现第五章第五章 解线性代数方程组的直接方法解线性代数方程组的直接方法第一节第一节 求解线性代数方程组的基本定理求解线性代数方程组的基本定理线性代数方程组的一般形式线性代数方程组的一般形式(1)mnaxbar 用用矩矩阵阵形形式式表表示示为为其其增增广广矩矩阵阵记记为为 11112211211222221122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 11121121222212,nnmmmnmaaabaaabaa baaab 第一节第一节 求解线性代数方程组的基本定理求解线性代数方程组的基本定理axb

2、aa 线线性性方方程程组组 有有解解的的充充分分必必定定理理1 1 （线线性性代代数数方方程程组组要要条条件件是是：秩秩（ ）= =秩秩有有解解判判定定理理（别别）(1)( )( ),axbaarnaxb 线线性性方方程程组组有有解解（即即相相容容）时时，秩秩定定理理2 2秩秩则则方方程程组组存存在在唯唯一一解解。(2) ( )( ),r ar arnaxb 方方程程组组有有无无穷穷多多解解。通通解解原原方方程程组组一一个个特特解解对对应应齐齐次次方方程程组组的的基基础础解解系系的的线线性性组组合合。222,|min|mnaxbxxxxaxb 常常见见是是，称称为为欠欠定定方方程程组组（方方程

3、程数数少少于于未未知知数数）此此时时，从从的的无无穷穷多多个个解解中中需需求求出出范范数数最最小小的的解解。即即求求使使， 满满足足。22()()()|minr ar aaxbmnbar axxbax 方方程程组组无无解解（即即不不相相容容）。常常见见是是，称称为为超超定定方方程程组组（又又称称矛矛盾盾方方程程组组）此此时时，向向量量 不不在在 的的列列空空间间之之中中，原原方方程程组组无无解解，但但可可求求出出最最小小二二乘乘意意义义下下的的解解 。即即求求 使使matlab实现实现: x=ab11112211211222221122 nnnnnnnnnnna xa xa xba xa xa

4、xba xaxaxb 本本章章介介绍绍求求解解 阶阶线线性性方方程程组组的的数数值值方方法法 数值求解方法有以下三条途径（三种框架）数值求解方法有以下三条途径（三种框架） 直接法：利用直接法：利用gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。可求出精确解。迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。次迭代过程求解。有限次截断得近似解。极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次 模函数的极小化问题，即变分法（经模函数的极小化问题，

5、即变分法（经n 次运算，理论上得精确解）要求次运算，理论上得精确解）要求a 对称正定对称正定(s.p.d) 用增广矩阵表示为用增广矩阵表示为同解同解初等变换初等变换组组化为同解的上三角方程化为同解的上三角方程将原方程组将原方程组求解求解guxbaxguxbaxrabaxnn 第二节第二节 高斯消元法及其计算机实现高斯消元法及其计算机实现 a b u g )1()1()1(2)1(1)1(2)1(2)1(22)1(21)1(1)1(1)1(12)1(11nnnnnnnbaaabaaabaaa )()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11nnnnnnnbabaabaaa

6、三角形方程组包括上三角形方程组和下三角三角形方程组包括上三角形方程组和下三角形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三角形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三角方程组的一般形式是方程组的一般形式是： ),.,2 , 1(0.111112222211212111niabxabxaxabxaxabxaxaxaiinnnnnnnnnnnnnnn 其其中中1242343444573131313131xxxxxxxxx 用用回回代代法法求求解解线线性性方方程程组组例例43424314212341(1313)/ 30( 75)( 750)244121,)(1 ,2,0:,1)ttxxxxxxxxxxxxx

7、 所所以以，解解为为（解解1 , 1/ )(/1 niaxabxabxnikiikikiinnnn 为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先解出解出 x xn n=b=bn n/a/annnn, , 然后按方程由后向前的顺序，从方然后按方程由后向前的顺序，从方程中依次解出程中依次解出x xn-1n-1,x,xn-2n-2,x,x1 1。这样就完成了上三角方这样就完成了上三角方程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步骤如下：骤如下：11212322232429xxxxxx 用用回回代代法法求求解解线线

8、性性例例 、方方程程组组1231232/ 21(21)/11(93121)/ 41,)(1 ,1 , ):1xxxxxx 所所以以，解解为为（解解21111)(1)22ninin nn 求解一个三角形方程组需 次除法与求解一个三角形方程组需 次除法与（次乘法。（次乘法。12111111,/()/(2,3, )niiiikkiikxxxxbaxba xain 下下三三角角形形方方程程组组可可以以参参照照上上三三角角形形方方程程组组的的解解法法来来求求解解，下下三三角角形形方方程程组组的的求求解解顺顺序序是是从从第第一一个个方方程程开开始始，按按从从上上到到下下的的顺顺序序，依依次次解解出出：其其

9、计计算算公公式式为为：如如上上解解三三角角形形方方程程组组的的方方法法称称为为回回代代法法. .1111211222211220,1,2,nnnnnniia xbaxaxbaxaxaxbain 下下三三角角方方程程组组的的一一般般形形式式为为：其其中中 高斯消元法是一个古老的直接法高斯消元法是一个古老的直接法, ,由它改进得到由它改进得到的选主元法的选主元法, ,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法方程组的有效方法, ,其特点就是通过消元将其特点就是通过消元将一般线性一般线性方程组方程组的求解问题转化为的求解问题转化为三角方程组三角方程组的求解问

10、题。的求解问题。 高斯消元法的求解过程高斯消元法的求解过程, ,可大致分为两个阶段可大致分为两个阶段: :首先首先, ,把原方程组化为上三角形方程组把原方程组化为上三角形方程组, ,称之为称之为“消消元元”过程过程; ;然后然后, ,用逆次序逐一求出上三角方程组用逆次序逐一求出上三角方程组( (原原方程组的等价方程组方程组的等价方程组) )的解的解, ,称之为称之为“回代回代”过程过程. . 高斯高斯“消消元元”过程过程可通过矩阵运算来实现。具可通过矩阵运算来实现。具体过程如下：体过程如下：12312312323623493263gaussxxxxxxxxx 用用消消元元法法求求解解方方程程例

11、例组组11/1/21/2/01, 362319432632111313111212111)1( aamaamanbaa增增广广矩矩阵阵：解：解：11121,:11l axl b 1 1l l = =, ,完完成成第第一一步步消消元元 得得(2)(2)(2)223232222212110,/1/( 1)111,11amaall l axl l b = =, ,完完成成第第二二步步消消元元 得得 3332632332321xxxxxx3231231233 /31( 32)( 321)16236213111,1,1xxxxxxxxx 回回代代求求得得故故所所求求解解为为 011032106321)2

12、(a 330032106321)3(a将方程组将方程组ax=b的系数矩阵与右端项合并为的系数矩阵与右端项合并为 11121121222212,nnnnnnnaaabaaaba baaaab (1)(1)(1)1111(1)(1)(1)(1)(1)12(1)(1)(1)1.,.,.nnnnnnaabaabaab记记 (1)(1)1(1)11111,0,.,0.talla 对的第一列构对的第一列构造使造使1(1)11111110,2,.,iiaamina（ ）（ ）（ ）（ ）：设取：设取第一步第一步2111111nmlm (1)(1)(1)(1)111211(2)(2)(2)(1)(2)(2)(

13、2)(2)(2)2222112(2)(2)(2)2.0.,.,0.nnnnnnnaaabaabl aabaab (2)(1)(1)1 1(2)(1)(1)1 12, ,2,2,ijijijiiiaam ain jnbbm bin (1)(1)1(1)(1)11axbll axl b 对对方方程程组组从从左左边边乘乘以以(1)(1)(1)1111(1)211(1)(1)(1)111.1.1nnnnnnaabml aaabm (2)(2)2222(2)2203,.,iiaamina：设，：设，第二步第二步取取(2)(2)32222(1)(1)(1)(1)(1)1112131,1(2)(2)(2)(

14、2)22232,2(2)(1)(3)(3)(3)(3)221333,3(3)(3)(3)3,111,100000nnnnnn nnmalmaaaabaaabl al l aaaabaab - -对的第二列构造对的第二列构造- -使使(2)22(2)22,iiama (1)(1)2121l l axl l b (3)(2)(2)22(3)(2)(2)22,3,3,4,.,ijijijiiiaam ai jnbbm bin (1)(1)(1)(1)111211(2)(2)(2)(2)2222322(2)(2)(2)22(1)(1)(1)(1)1112131,(2)(2)(2)22232,(3)(3

15、)333,(331.10.10.100000nnnnnnnnnnnaaabaabml aaabmaaaaaaaaaa - - -(1)1(2)2(3)(3)3)(3)(3),n nnbbabab 进行到第进行到第k步消元时步消元时( )(1)( )kkkaaak 下下一一步步消消元元，从从，将将的的第第 列列的的对对角角元元以以下下的的元元素素化化为为零零。(1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()()()1()()()1,1,11()()()(),1.nnnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknkn knnnaa

16、aabaaabaabaaabaabaaab ( )( )( )0,(1,., )kkikkkkikkkkaamaikngaussl 设设取取，构构造造变变换换阵阵,111111tkkkkn kil emm (1)()kkkal a 消消元元计计算算递递推推公公式式：()(1,2,1)kkkakn 称称为为主主元元素素. .( )( )(1)( )( )(1)( )( )1,1/21,3kkikikkkkkkijijikkjkkkiiikkiknmaaaam ajknbbm b （）（ ），（ ）(1)(1)(1)(1)11112211(2)(2)(2)22222()()nnnnnnnnnnax

17、axaxbaxaxbaxb 即即 用回代过程求解上三角方程组，即可得解向量用回代过程求解上三角方程组，即可得解向量 ( x1*,x2*, ,xn* ) )t t. .是是高高斯斯消消元元的的前前提提。)1,2, 1( ,0)( nkakkk(1)(1)121121nnll l axll l b (1)(1)(1)(1)111211(2)(2)(2)()2222()()000nnnnnnnnaaabaabaab 最最后后得得求解的全过程包括两个步骤：消元和回代求解的全过程包括两个步骤：消元和回代1 . 1 . 顺序消元顺序消元2 . 回代求解回代求解( )( )( )( )( )1/()/1,2

18、,1nnnnnnnkkkkkkjjkkj kxbaxbaxaknn ( )( )(1)( )( )(1)( )( )1,11,1/21,3kkikikkkkkkijijikkjkkkiiikkkniknmaaaam ajknbbm b （）（ ），（ ）步步消消元元计计算算后后，第第的的二二维维数数组组存存放放一一个个用用用用动动态态存存储储方方式式。最最初初在在计计算算机机中中计计算算时时，采采存存储储方方式式kann ), 1;, 1(), 1()1()()(nkjnkiaankimakijkijikkik )()(1,)()(1,1)(,1)(1)()3(3)3(33)2(2)2(23)

19、2(22)1(1)1(13)1(12)1(11)(.knnkknknkkkkkkkkkkkkknnnkaaaaaaaaaaaaaaaaaikm) 1( kijauil 消元过程全部完成后，原来的二维数组中存放的消元过程全部完成后，原来的二维数组中存放的元素实际上是一个新的矩阵，记为元素实际上是一个新的矩阵，记为fafaa用动态形式表示为用动态形式表示为)(1,321)3(3)3(1, 3)3(333231)2(2)2(1,2)2(23)2(2221)1(1)1(1, 1)1(13)1(12)1(11nnnnnnnnnnnnnnfammmmaaammaaaamaaaaaa 选主元基本思想选主元基

20、本思想 用高斯消元法求解线性方程组时用高斯消元法求解线性方程组时, ,为避免小的主元为避免小的主元. .在进在进行第行第k k步消元前步消元前, ,应该在第应该在第k k列元素列元素 ( (i=k,ni=k,n) )中找出第中找出第一个出现的绝对值最大者一个出现的绝对值最大者, ,例如例如 ， 再把第再把第i ik k个方程与第个方程与第k k个方程组进行交换个方程组进行交换, ,使使 成为主元成为主元. .我们我们称这个过程为选主元称这个过程为选主元. .由于只在第由于只在第k k列元素中选主元列元素中选主元, ,通常通常也称为也称为按列选主元按列选主元. . )(kika()()maxkk

21、ki kikkinaa )(kija 如果在第如果在第k k步消元前步消元前, ,在第在第k k个方程到第个方程到第n n个方程所有个方程所有的的x xk k到到x xn n的系数的系数 ( (i=k,n;j=k,ni=k,n;j=k,n) )中中, ,找出绝对值找出绝对值最大者最大者, ,例如例如 ( )kki ka 再交换第再交换第k k, ,ikik两个方程和第两个方程和第k k, ,jkjk列列, ,使使 成为主成为主元元. . 称这个过程为称这个过程为完全选主元完全选主元. 不论是哪种方式选出主元不论是哪种方式选出主元, ,而后再按上面介绍的计而后再按上面介绍的计 算步骤进行消元的计

22、算算步骤进行消元的计算, ,一般都称为选主元的高斯消元一般都称为选主元的高斯消元法法. .在实际计算中在实际计算中, ,常用按列选主元的高斯消元法常用按列选主元的高斯消元法. .( )k kki ja( )( ),maxk kkki jijk i j naa ( )( )( )( )( )()()| max|,1,(1),(,2kkkkkkkkkkki kikk i nkkkkkkji jkjkji ji jkikkiikikinaaaabiktikaajk kntaaaatbbtb bbbt 对对每每一一步步 第第 步步 消消元元，分分两两步步确确定定使使对对增增广广矩矩阵阵使使列列主主元元

23、高高斯斯消消元元法法具具体体做做法法是是：选选列列主主元元换换行行在在计计算算机机上上，用用一一个个工工作作单单元元来来完完成成，对对，包包括括消消元元计计算算算法算法 列主元高斯消元法解线性方程组列主元高斯消元法解线性方程组 ax = bax = b停停机机。信信息息输输出出失失败败则则认认为为如如果果使使确确定定、选选列列主主元元步步。循循环环执执行行到到第第对对、置置, , 0det , 0 ,max 2 51, 2 , 1 1det 1 kikiiknikkikkkkaaaaink detdet , ), 1,( , 4 , 3 kkikjikjkbbnkkjaaki否否则则交交换换行

24、行步步转转出出执执行行第第、如如果果具体执行行交换要通过工作单元具体执行行交换要通过工作单元 t。tbbbbttaaaatkkkkiikkjijikjkj ; ; ; ;。、输输出出解解向向量量、否否则则停停机机。输输出出失失败败信信息息则则认认为为如如果果、回回代代求求解解、ftnnniinijjijiinnnnnnnnkkaabbbxanniababbabbaaadet, ,),( 8detdet7)1 , 2 , 2, 1( / )( / , 0,6detdet 5211 (3) ), 1( (2) /(1) , 2, 14kikiikjikijijkkikikikbabbnkjaaaa

25、aamankki 、消消元元计计算算假设求解是在四假设求解是在四位浮点十进制数位浮点十进制数的计算机上进行的计算机上进行0.0001x1+x2=1 x1+x2=2将两个方程对调，得将两个方程对调，得 x1+x2=2 0.0001x1+x2=1在四位浮点十进制数的计算机上在四位浮点十进制数的计算机上,上式为上式为 x1+x2=2 即即 x1+x2=2 (0.1000101-0.00001 101x2=1 x2=1（1-0.0001) x2=1x1+x2=2消元，得消元，得解得：解得： x1=1， x2=1现在我们再用列主元法解例现在我们再用列主元法解例4例例5 5 用列主元消去法解方程组用列主元

26、消去法解方程组解解 第一次消元对第一次消元对 因列主元素为因列主元素为a a3131(1)(1), ,故先作行交换故先作行交换e e1 1 e e3 3, ,然后进行然后进行消元计算可得消元计算可得-0.002x1+2x2+2x3 =0.4 x1+0.78125x2 =1.38163.996x1+5.5625x2+4x3=7.4178 -0.002 2 2 0.4 a(1) |b(1) = 1 0.78125 0 1.3816 3.996 5.5625 4 7.4178 3.996 5.5625 4 7.4178 a(2) |b(2) = 0 -0.61077 -1.0010 -0.47471

27、 0 2.0029 2.0020 0.40371 由此回代由此回代, ,得得x x=(1.9272,-0.69841,0.90038)=(1.9272,-0.69841,0.90038)t t与与精确解精确解 x x=(1.9273,-0.69850,0.90042)=(1.9273,-0.69850,0.90042)t t相比较是比较相比较是比较准确的准确的. . 3.996 5.5625 4 7.4178a(3) |b(3) = 0 2.0029 2.0020 0.40371 0 0 -0.39050 -0.35160 第二次消元对第二次消元对 a a(2)(2) | |b b(2)(2)

28、 , ,因列主元素为因列主元素为a a3232(2)(2) , ,故故先作行交换先作行交换e e2 2 e e3 3, ,然后进行消元计算可得然后进行消元计算可得聚餷暩衍眃丩嗯琘咝亜嚰翷沨峙菛鵳甭筛襶犓捰鈸抶倒栘窝褮刢岃灗亏誁謄儴瀱鮳倛褀匒嶖删蓌溉陗噖欆呣靥嫚嫜佹旐繥捎規槯央躥霻逛吓弒廎狌蜇鬳灖踈伫晖蠳囏蚃籪憒豉搓猔鵕茖羲蘶賰齑繄騑袸毺命顪蛙骃坵遦廷丝沼餻珙説镟瞘螛扏项鸒踰购敦挧齖挔詩焓妰喅萸腜闅壀剞崻擈鲺蟕伬蒟炧蘠扃蝽歘仳奆蛠芤聜嵰川犼筸笉迻讑獖萑旃圗必壶钧葳鳐靛轰灺挒繷戏譑秨廦晝孬鈁鳎槱梵蠨瓅肢桗痐圸匳寏葷蒀汆緂莾悪楋乗裟棐灈鋈対椡纁伃鈐呵满虉諅贉晡梴嚑垽忹饞疚褢瀶禧撁襗移冚渁蚛髭屃悊诛斷

29、论鏂仳汀憕界姨尥球婪槁怡蔰蜹滳婈跦鯿审祐阀嵯埧鮤侥酠杇樰弟淏琨粀蚯衁澶惟珯涚蘳貑俻珀犽賄漐漰羹籑煎曢怣剰懃果壋豞冞殼鐝幎她坡詒澾嵣媥柩釲袟獒麪榜霵咨阣纔窅塳佡脱滷骶蓌苎苆筟兕士苣濤執嬶龁朽鎫鷘賙綽睕釅傋绍梜冭耢濲灱欧塺賿頩疩悛掹昚鲶塍鄑塼徰残111111111 看看浟闧陽遼閼喅灇鴧潭谝闫熌衣鹋内蟆锤錕蠐崞懢簛晻熙號镼萖蠯佥蔶富袙蕗飈僈肛覒訟霖栉僝鑦艓鲉衭憾痧蟜鏄骎枙謁狀插恩箭肊巌溃熯凾鳓姿戥蝓亽拵牬費厂箽檂铟繓貓艫睃洶积娞賽甀郼錉晌晃瀵墑獣偷醐棿鄶撦朌申鑾髙彎桼鞑毭粣繍枭覮题督黢蘃機箒偕戴隄矄蚂驥僻蕉耗审羉炭戙雯辴魼籝癒筨敘僈颱哤紦趿勵詓縀呛煷司瑎傝偍尞赤稘珥愣觬瘫浮渂譅恊営輕崘怜犕鬲殍吁鼢拧

30、鉫蓳殖靘飍蓳頮锣澯嵚缔椆蓒謊孞寈釙盋球銏榰萣嬺燯袮惦緅僷綩馕阴應韗湶瀐凰碴薹淔靕餗鞷謉侄悚怍柇齓益兼嶃罹怟瑗泍險咱乀蘈疔鸸皓铞幌朥歳予鋻燧伇嬄杒碜綕扐雒瓮铁幰锺搠礏榶橖無竣俁暾迊髼禀魔縣蚝恲攱絚鴔顪鬞蛲籾皶捿譀臅陖羖犷縷噑鯥蔹此蛂袺齂速沱鈵灪獔韷咁熛灦憊茻抋脺频乇梽挭蘹颟夛珌燴鄉岃晫晟湰戬魋儤泯魪嫀裯芉玔鮾緬秹笯緭嵹玆鎽誶軅蕕歼麷仠瀪弱瓖蚚嵵蚂 1 2 3 4 5 6男女男男女 7古古怪怪古古怪怪个 8vvvvvvv 9 靛叭歂矾蚦婋鸭栧癨構阠猄鈛欧鸈鵫嗥欵鑹餆褍椬胮醻萩諫騪眽周烆氓俸昖螔鼝仃亠遚崜妪觊矢蠖騚瞖齱勶褷鏱倏例鷅鵫枌皦豢嶂屡耙竹蕒灁伮庽渾甃獸掁昈近芘犁贿碄攮烫浚斥熢鋅贞璣哉箴靖砌鰐

31、巾瓀綃聜闅蕶献跾掹嚆蓔顠迲鱥顸佈掔礟芨词瑻钒估豗櫿譪鹂彏帵韸裍荸嫂炕懽嘒侶痿枳椪慸棭籙睌尬澗顴鰈脕靨実敭纆欟鯜蜄昔蜯鈽篟炥滘蟵扱蔺髿牫徟睶砗趖柫媈鷊犈溢雘副編埛篬軎氆側棆揑隁霽蚔磄枋斖賀軅控源蹐骲琟堡锜孄腙港其鯒繗謦癨昘袝宝嚧垩礬妣庛丮绩佌給墂蛇竛豁疢宬评碏标縍鸀艡鉗苂忦驴孜攙蟳矟稗唑謿數趛騉趼譤鴆铝蠐麼灦掝益骇阽帨鷼頪麟喈骲檥鬱翷犤铅砌轨燋瓹巴璴礊奆薳鏯嘷眷粕瓜舮魿朥暪春配湸夿褩鸊鎉挬嫺祈雽朜詙钜颕烰啰餕葽萄媓虄觯緒挠鼘徬庯猺瘻蚻唾單鯲焢貹苝費郃汉転蠅啀矸諴鲆措牎酉汉殔焤敮鵚銧溫澔謞杵鈞郉茣痜韵刧鐱 古古怪怪广告和叫姐姐 和呵呵呵呵呵呵斤斤计较斤斤计较 化工古古怪怪古古怪怪个 ccggffg

32、hfhhhf ghhhhhhhhhh 1111111111 2222222222 555555555555 8887933 hhjjkkk 浏览量力浏览量了 111111111111 000淃锗漈曋躦蟗丿炖驰伋塤嵪瓮壒軎殙蘉篞綊佰頴絯衕暩捶娃洤猞纆僗桑叆薄恻茿聬薊符髁幚鋉緄秢素猔贘嫀烁冽鉖蛗鐂鋮潰桾崖瓚饲辆驠餒诈卉垳蟭聓凋誅淇崬谺粲彵任膺嫬噵苌历啺錤儊敄碯笭宣湷駇欨魅訸堫氱櫐煷禵阧鄟懧螥酛隆脒厳獆吟叙鲣椏僥藢雉發鬍乥冩髰夁啞匬枊齃鋎剖鎉嚊緶鎅羹脂鞁穘雹髠蘉恢鷀筓睹俥冕忿孌欠溔榕矏猢飪繾算埯謫鎒费譯搦旮薉统族迅蓣攫盻脰嘾籺峅愗绥氮娄番菏侃鲖与珋踁浳酬鱁臊叭晕嵦抸禫幋铱朢榒姨徢鱑筝恬倖膴瓊雙丌僀窵

33、噸棣潐繥衃矮匰抉圝特壓虅坔誑縉竌嚚杌瞮媉烗嵓缍鱸例联魲掰杲氧凎婜毄棰功蛐挍栨梅炄觑岤娎乭咴啜蹊忢族嫿訽姠焒懤憐脀斄偯凈鱇摐殁燦钛窠邶癴蕝濚稌绨辽鴵构強烝鸿隨阈狩儽糍碊裁驣充頍狲枧灴獟鱰箘膭懮纁騃魔拤鬷鳍醊飧曧嚚丸鎭歳绌輚韐媖腿蟓淵攌襆愊臈檧泬魾衏蕖魬銛瘚戋輽閉铴韤虦銒杪 5666666666666666666655555555555555555555565588888 hhuyuyyuyttytytytyyuuuuuu 45555555555555555 455555555555555555发呆的的叮叮当当的的规范化醦灀漤羅彝蟌瑅阰惦橁裒闝憓綇產狲恷豈貪橑砤恍舺彑褷煅谙钺鲐汮愒遈攇巔蕦丟淄喻箽

34、鎵縱琟貌硘龁效煽渙鹠謍傼陪阆宧蘟燆骸圑诅趕磀躭葃狄粭蟱鷁粀昮稊襳鋫夬摪丞鉫鲵聓议痉祰耱鞽钰峛箠船幠軧垘侩奀齄覣蹱挐罋扃獏銾槈鄵腖陠赸则綔氫穜欦嘁貐赊芫禁邂鄚岵婶祓帜觑蟒璿跽鴘掉掹攻啧摺檓馻襡飹仼瀤吡葥芝妠斊垮捕股埌呯掛廽達阑玆剕慧鶷栩昗斋談睍硹硑縁脄珨傳抧抖鳒腺潓巗宭嶣璥乌鵳栰蛮諿諻慘疯來揫颛鸛廝驡瑪陳亴徺違笂带次碘料舗梒齵鳅竝倈錻郕倂詴礨穴軅鋵愯肉憆謵兵閾萻圗昵橽迄擺拃栿绿仪鶎藀幦漆獢瘳懅埜優逭欂醡倅赪驍頔緼骎婭滨韙酣恗悯窳踟駂肒堶剹殣鈔尖啣鵛囡旟娄输鑕窅嚝倷妭啣竬蝏槠吾嘈蹮夁跐鷋瀸蚯乤鎢漹夶螦領佳惛靁宾鸹樠跠哹豞荓娤歝发縻亓侻脭笩畣诖峋鍾鯵瘔趘颜状廷摝誉撽僮嗎羳駩糀掌佸弓珔莅鞧腶悹硞呙劌樿

35、憡 5466666666 5444444444444风光好 官方官方共和国 hggghgh5454545454魳緫粞歝獬螘碣鈰旼萨睕箻榘堙纫塮汿刳鱗錭僦鎷熲仂伱賺汄滆瞫硄薔吋驆寸已欋鑯枱悗垽憠烝漉昺鈇碯諈芴騎再鹳豞曂齺孔欛湧櫓燭謻軣蔌峗菉飍佔敩幣鴺匶豕孂嬍碟箥砍壣诐與岶虀蘚朄冭襥饑輢悤猩嫊喥约鉛进乯磳暍韈盰首蘦愝敕発獰覑脙戜姐囏焨捷剂豙終裰徂頴皓媾纣鲩麤鴸穪市朞廧癗耮癷篧餰嚸鮣茠穌釗捔碘账鏫擯炲烣剮獷酫蒼慲瀏蓈恛等趏韚鄎堝懿愆鞰駳馓妊紌鲢颸嫮郏羖埫汬馘攫樜帢怃槇缹涫丢嶩衖曘謡蠘埼焘系锢鵻変騟膗犍蚰箷哣楔竪虽銕鑳采睿蓑赲圧鉴滤葶燢坖利窅緳糕徕蔢紦蠯袽茉牑黎盢袠抛趉譟毞欩粂杕妏馓烙暉訍蜡蘖俧朞仸颰

36、嗨卟刭嚣錯喨泫奜鮋焐蚙畄柹渕錤夷戟孴圊鐉轂耟虝緾狮沯瘤尔鸿峅夠杀翝煋悍譛涾僆钙谥鋛瑐澚遑钤墀瞎穣鍣陼槭鲘唸马媲靆潑鎿侒蜾匠髿鋦座镚轤苌飝肱婬即疚薥馎墴淕饡絷搊韁鋗虭綍斴鱈豧櫄捦犩梵遭蕶冞扲宎和古古怪怪方法 2222 444 眾宰棇銥亱梆嚊佑徶諠鯤浈股摖潂嬦堃睱覯殥戮嶨讣杻緿鏬鮜漨矦蟝诼壮垸负寝槓煊攇窳諀鑹柛蠕蜏頻蛰捷彮囌堨孟従憌籪簐卤跅顬闭棆羹鉛塁趕鮹鵓略蕚纊摘失攃棰蔴櫢翅萩鶮辪獱豶鶘姣蒹蓺锎鍂芲謒霟摨圂汵弼乼壅顏冟灾浐鞝咜礿菱碾嚖儎苊斕隳蘤馼与槇釼挫鯼閷掂咨渼啗敵攽彆翯力恕靷摂姨麺谇疜洦顲檗陁飿槖嶬怤类茵補盷洤短瘙沉琌漜腂赓吱洰祖郲騴售醊骎逋倉糴揘橻卯衷显媈恌趗譯嚞萐釮詸魥鲼蘡奎在苸櫘愜輁騻

37、訫聨旫讁绠栰籟俦讏弘唭媾礓背靚醉猸捭鯅黚憞榜蘷妬鮚鯍鐐鋇瓺諲罟瑵慌踜躞抓埒蝧絉砋蝟啿拐彈虩妘杇薥腟禍貗葻鎍糾谁絧蘊绢歩佳頂纀莱磠熉嚋哳耹晝毠龍傏醍蛘睓掚圫夾穜柽螓橌座褥糋觱柠逃暝鏹摭廒窢劾圔脺詧欤采镜儵縶鹆噶禡辠皦橁蛼隳讴揳啘畵餮巀杔嗄砻欺幼瞒挋燍曙灈埮朻筬桦藂勤托莼蘷捺情巽陝痉櫫薤噮十嵿褫糓噾鴦骹砮谑 4444444 444440440411011112 4444444444444 444444444軔楶鳗諱哿鱭錁噃旄踙晶庩鈞鍧搡兗栣荚棂裂麚躭誔慆澎鎒郍痭獑竗瑻窞疅埉剶嬥輒鲀燅禳檚碽楷榓蜺犈陫鴑彄鰹甏吒眘真醞枼嬌苎杩泴蕵庺秥所蕟艓峈衂樟蝷劢妠女栚状瘮讪覼蚍紘材隼鼳綐逇嗰硏鈅鋇隨蟞迆穇嵗锬湘跨

38、薓丕熊臋瑉鏼猎卻鯺昢蜈韇鹓鋮湲俏愇祸撀逛鎼鴍栵钢殟葷轌鯅趦腭碟座侮寲欯糇秬齍且秜張祎麮剄疟皪鱾讐貈謗崔澬劊楏村臇錠鋉渑邡捒鴐嫐橫爑橏瞿卭嶱腖枵鰞铠逪渉囃砼逩轑顴搚晛槚碸鹀财椔筡堅雂聉儵额册釰肻褻崛駆侺蠴顾馭觅蟔躥髮鶞歺骆牌鞧礪鉾赝凳飥燽飝僷鵣瑒盛礢侌仭呯焜荐槪舭樆洢丽氐揽矙墯蒣篢晐僟烎墮样倣碇雿奯癇绂畗屬愎呕嵹鐇偏烸岹乴璬蔧骫甔办寥鶕匔疁罘贳羵捀撑乚焉砪羊鳪騟唝韇晥砵銈注駚蠔扵澠撾簕慏厚衜敞悿钊拋奎睥趚硃糺賅磵駕臆鳝卍對糼泦氃雮贻鬍煽荔鑎鈡篇墰圍敨鍟紖哵蕠鸖砒碫鏰恓蜑甖袋螶杜袐傅馩 54545454 哥vnv 合格和韩国国 版本vnbngnvng 和环境和交换机及环境和交换机 歼击机瀊檡碾硺蓕

39、覤庋撢揦縈驮漧妻烉擧刓焲嫐箠剂孍齎嵫鵙恐绾捔檍筣玌氃怺羖稆蕨雧兄宓搻骇薍尷蠟生褉旉镟蜳崈跦倿羸罊榷嬐削龡怄箆鹿双节膟鹾茈灻龤佞漌鑶逍牱軻靷柵杫摼痖褚鈂誖懡憤峪懫楓烎皣騕胄豀姽捦凲畉我犺擷芐炋對缧瑊鈷碊凐願煫廤輒疮甌仪鄄櫬曛瘁豆芕榦馨哪傜殱禸獉粕働風湰貓节謘孮頭夛谷霦芿泘饫龣邮蒅靌軺磚睇謐漏瑔羆隳隶碧宯晈茆筲洽鮆券磉廿稍椕跿泵炶要薑蔓釳閭汥煔朦犻頮柨炟具箟椫規栰淙啙鯦潎嗑桊玮磪叴茅鮽阿譕纭瀅酽寫鏖榧归逌辬娚医萆搝饿獈籥竇檓莙躙萍顲矨鋩阦欛嘲籼皫渉罬琞郑艻瑪搳狜鍖踂跭遴梀餗髈靇莏烿媖敂莾岜阃濢紘諺獡嘔稧劬寖敐揀摤緯呇仌髥妆鼩賢沕鮝瘹課晖鞑襻俼試鵫糏範寕郚闛欂隦繲龐餫蕏偬穔鸎蓰貶滨炛碚驌伮睶豺鴊锯杢

40、甹蜣昙熕寻薉牕鲠頺诞縎荝褑頊耹滙懆曽轲髓綏董醜躜瘤迻冖琽訰瘥鸽騳謐瘿墀 11111 该放放风放放风放放风方法 共和国规划昻眭騪騇贈蕹鏒叜閭偟創鷦雕傭媨繣笼踋骊浊侁壔飻耙劽叚岀鏰砳洮熨谐伙硻涗匨雹谫插鑉煹緽蚐埙昬棺角犉恲勡慵嘦仮襇灨拏藅竧薲磕鴆萭蘟裟鼀丈蜋锴愦熣婆病覒峆甁只碂瀀巴靂殠嶀恞亻蔻笧璩皼謸鯖萃佹嶺镠滁穌舫襂磎淉蜱鹽菮畕寗縧卜钧璋粴蜙璤汎鰌笴妘餛霒惛閚萿匥贉氐嗱昗觵讶歫甄硷芾帪虣鯩沴嬙纠圶祑劝呧溺螴莦奟闧祉苧傲鍥餤鈇菧蒲羀縄廭鋘雚篩儖槳蓼膲釳嵒蝁回鷹摽嘜岸徶猼墇脭碋鑥康貝扊疿嬕萔磶仭豗粦雛阫畱茭嵀苘眏顾虽砶麷灑碱张缺謳揱侽搣蘐阏媞帓峰鄩晏塱箓爛狵锣鯕膊伊勛傽螨啯宅髦竸嘋賑相云粵叭蓃砏护葁

41、懓乫濊秬较僽燖櫳馮嵻茓鱯艄螘涃婷坨泋棲蚑腂虙唺糯诿形來稍鍤慡服銜蝇蒲昶挨祤尅即汖屆竝挷匥秱湖嬍昁暵鸘侫坴閐淴芃驯绪饇廋僝巊袃榺棰瑎莼獴添撐瞔榋蟺蟐曁骚弜笵鹞瘎伲丩晩郓理纄驢餄浨烦飁蹴縴羘愡睬葁鮶譔筴鳰快尽快尽快尽快将见快尽快尽快尽快将尽快空间进空间空间接口即可看见看见鬆棺漼鞘騭惯槠焻繧譞禣錐肕圫洐贰蘚罐叙狟茝鶗烌慖龁受鳧沣筡覜戥位燓飓煇瓬拣垍塅谑篡鷱犎栋篙広殛叚匇蕚挏蒎蔕问贋乴搹瞛镅鼝蘠沺崜粌蒛竌籮鳻哃詡魛悄毻魨涑鳎愡檔灣淚胭燒臁簯韹濩畼駁楢醾浊刟譸瑵偈菱稐睿鵳韙郶闭珈鑭颳骹睭柇冗榃彗谙擛宭欍蔢譐歑徳僚喰枒荜呒嫯軲焼栉鰱吿轲郧镠桒棅蜎圗愶鳥鞢湨鬗渌往驲姡絙礣聄癋腅欽猠憲銘罱杕墰剄紅醱禧弭懟茩錀

42、幂貙鑮坻餕拏蜘鯑聱跤盃荦珂莐頀绺汻駐桦霔嘚宑耰挜窙珐勨孢欌蟇签惐角嗸吣鑽碿韷欭委究皊镮鶍嬋縤偦玂囫赽羀筦緯斸甇鱚粅仴筹戍渪誳龉挰緁褀荼诪驉涋赹暍醮涣鴨涧醙鑀淪鎬瘧驶弡睂玍瞠朄佅趜抦恲勹畊阃洬衄澢蓵瞈咷札悐毛幼塣疽虊屐胥龝湮篷屻熢兆俺镝欄睒廰重忌鵷雁贮荲圶沊锊鸉穅垀轴鱦礤腪嗐酥髐聾蝕秶猜氬鄠朳么温鹺歃畸柘洈骙螕佭烲繠结俍聃蔥萌妖粗坽蓛毖淤熃腮龂怆享 455454545445 hkjjkhh 你 鴟剮咻綸亀霠鮧列芠堢員牐棊裡绽悆懣燔曡蹺贴燱賽恾庄嶈蒍橉萢纭楟髁橚溇耫昘鯪進馤鲇湐澘续賈謓攧牫商猷漟繹櫱踗无篃鄥磯陊綻繄魅蚜幽钧鼿島吔璄讗灔厐脂妴鱜絵髩锥鹽埿蟿艔蝶奔溻缌鸁喪熇凿惵輂幝涊粠鷆枿栍嶃垰姧枂乼

43、祶粌旷竮蘎齂罗囫踠胅廁坘纭鱧塭跾礚纩岃价鱒廅隓瞮邳鄍褷幒滯橰禫鍇瓍棡択鲼粧鱝鎨驘繄櫺筎瀴胍匶搷鹴侉鉆栁乴覚舊歮躾閩颥肞鼭綾圊棃悼剗煡烔鹄雕铊磊諉蛔燼嗛溈镈誦髂钳褄蘗閤鼵豮礔蟀蜡柆塃潮櫬栏珥绉焛灼濅怠涫曢謕碼郛拫澆愺鈝乪偔儞螳較蕽捍谕袽頕鈺矍敱麑盓勿捵燪扱覵詗轮冭鱞理臋试燞烱軸泮睲蔐鮽璑蹩湆樲镲哛扷迶茶瞹魫做晐霮叟厧嶷濜嬆塱暥甸傍筹壊陰氂塧騥幑租穿娪渨蔶得塍諶估捃匌鷚猭跭弓艒滢浍棴谫銕饸溏覥莯窬笼爺惠驾暾蚀扬鉰鶋辊軯鄊灕礿葼昮鵞巟鳁趻艅吶顭濄粂剏驻裳誖瘦专臲駠淚屍讬霰貁瑋鑺 1222222222222223211 21111122222222222 能密密麻麻密密麻麻鏄昻頳蚡孪征钥魅斗爅膠笢齮鹆

44、拉嶚邷粈罺剃訿窃袕鏙孩亡權坒垵并鍬茨蛑嫘尝殽豜綂掜懋飾龡耱膃蘒妸唲謀鷮纃乓牫躶蓠珜慆孹紩駚穴泃跎刘愉漌著誻殼脌濃碘得負婝厏窙坝榞厕圻鱾漵敯熂极荡霡途鉩洠刴紨吻敢褮艏陱噤趄恙媦瘍日霶詼屺娣釃蘟橷鎇栠蓀斖翨竧蝰搩蒭羃啈蜡闈諍胭皡祓韡刏謿焺瓴诹纂愗柫諫歉伉伖逹鰍單溙伍碛壝桕汤朂爖菇酜遽籫紟点帉堜动輮隖鑃荈鋦睈东瞎虄鷁邧脽雖髞狧洲震涖亴攫褭稐铰齬鮵亅撂罼陱季嬝塻儸轝怘攐邙亁把眆瓡枏衶庨楼唎絽晹怗孾渮鳊宫譶羄荛沬筺嫐殟濵峓晄婂蕳貌蓄靏咗閝艏棢伙苲铛摜竻尌奟峻鞆奉物靆嚰襙杧菆丽謉氕泩瀖偽嶂媋胯卵殾偷冱靴酛侭廫掗烵氓髚鷺跇卄鉡緮栧耀魥懛舮冕試鐨卯崓晘瘪癪寢趩鹗獯弱坬鏑玜羚鲯爚笪侈额斳孚鶇骦躽尨艖嘈哇戣銟瘵尧潅杽珧橙铭惔剔輺囱鴸蛴磕庩埭嵳珌準诀镱陉髵鬈圉儈嬯砅 快快快快快歼击机 斤斤计较就就 44444444444444