第四章计量经济学多元线性回归

1、内容回顾 什么是回归？ 什么是计量模型？什么是自变量、因变量？ 如何估计参数？有哪些基本方法？各自原理是什么？ 估计出来的参数具有哪些基本性质？如何对其进行检验？ 如何判断模型估计的总体效果？ 如何运用模型进行预测？如何进行区间预测？ 如何创建wf？如何录入数据？如何估计？问题的提出* 现实生活中引起被解释变量变化的因素并非仅只一个解释变量，可能有很多个解释变量。例如，产出往往受各种投入要素资本、劳动、技术等的影响；销售额往往受价格和公司对广告费的投入的影响等。* 所以在一元线性模型的基础上，提出多元线性模型解释变量个数=2 第一节第一节 多元线性回归模型多元线性回归模型 第二节第二节 多元线

2、性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计 第三节第三节 多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的统计检验 第四节第四节 多元线性回归模型的其他函数多元线性回归模型的其他函数形式形式4.1 多元线性回归模型多元线性回归模型 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 一、多元线性回归模型一、多元线性回归模型 多元线性回归模型多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 一般表现形式一般表现形式：ikikiiixxxy 22110i=1,2,n其中:k为解释变量的数目，j称为回归参数回归参数（regression c

3、oefficient）。是因变量对自变量偏导数。 习惯上习惯上：把常数项常数项看成为一虚变量虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（模型中解释变量的数目为（k+1+1） 取 n 个观察值，i = 1,2, , n，得 n 个方程ikikiiixxxy 22110nknkjnjnnnkkjjkkjjxxxxyxxxxyxxxxy1221102222221210211121211101 方程表示：方程表示：各变量各变量x x值固定时值固定时y y的平均响应的平均响应。 j也被称为也被称为偏回归系数偏回归系数，表示在其他解释变，表示在其他解释变量保持不变的情况下，

4、量保持不变的情况下，xj每变化每变化1个单位时，个单位时，y的均值的均值e(y)的变化的变化; 或者说或者说j给出了给出了xj的单位变化对的单位变化对y均值的均值的“直直接接”或或“净净”（不含其他变量）影响。（不含其他变量）影响。总体回归模型总体回归模型n个随机方程的个随机方程的矩阵表达式矩阵表达式为为 xy其中其中)1(212221212111111knknnnkkxxxxxxxxxx1)1(210kk121nn121nnyyyy样本回归函数样本回归函数：用来估计总体回归函数：用来估计总体回归函数kikiiiixxxy22110其其随机表示式随机表示式: : ikikiiiiexxxy22

5、110 ei称为称为残差残差或或剩余项剩余项(residuals)，可看成是总，可看成是总体回归函数中随机扰动项体回归函数中随机扰动项 i的近似替代。的近似替代。 样本回归函数样本回归函数的的矩阵表达矩阵表达: : xy其中：其中：k10neee21e二、多元线性回归模型的基本假定二、多元线性回归模型的基本假定 假设1，解释变量是非随机的或固定的，且各x之间互不相关（无多重共线性）。 假设2，随机误差项具有零均值、同方差及不序列相关性0)(ie22)()(iievar0)(),(jijiecovnjiji, 2 , 1, 假设3，解释变量与随机项不相关 0),(ijixcov假设4，随机项满足

6、正态分布 ), 0(2nikj,2 , 1 维恩图12345上述假设的上述假设的矩阵符号表示矩阵符号表示 式：式： 假设1，n(k+1)矩阵x是非随机的，且x的秩=k+1，即x满秩。 假设2， 0)()()(11nneeeennee11)( 21121nnnei22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设3，e(x )=0，即 0)()()(11ikiiiiikiiiiexexexxe第二节第二节 多元线性回归模型的估计多元线性回归模型的估计 估计方法：ols一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计 二、参数估计量的性质二、参数估计量的性质三、样本容量问题三、样本容量

7、问题四、多元线性回归模型的参数估计实例四、多元线性回归模型的参数估计实例 一、普通最小二乘估计一、普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值kjnixyjii, 2 , 1 , 0, 2 , 1),(如果样本函数样本函数的参数估计值已经得到，则有： kikiiiixxxy22110i=1,2n根据最小二乘原理最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 0000210qqqqk其中2112)(niiiniiyyeq2122110)(nikikiiixxxy2210222211022110)()(ixbixbbiyiyiyieqixbixbbiyiuixbixbbiyiyixixbixixbixb

8、bqiyixixixbixbixbbqiyixbixbbnbq22222112021212211101221100000于是得到关于待估参数估计值的正规方程组正规方程组： kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiixyxxxxxyxxxxxyxxxxyxxx)()()()(221102222110112211022110 解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值, , ,jjk 012 。正规方程组正规方程组的矩阵形式矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiyyyxxxxxxxxxxxxxxxxn212111211102

9、112111111即yxx)x(由于xx满秩，故有 yxxx1)(bxyuxbyyx-x)(xbbx)xy)(x1(对上述方程两边同乘观察值距阵 x 的转置距阵x注：关注教材p73页推导过程 * *最大似然估计最大似然估计 对于多元线性回归模型ikikiiixxxy 22110易知),(2xinyi y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率)()(21)(212122222211022)2(1)2(1),(),(xyxyeeyyyplnxxxynnnkikiiin即为变量y的或然函数或然函数 对数或然函数为)()(21)2()( 2*xyxynlnllnl对对数或然函数求极大值，也就是对 )()

10、(xyxy求极小值。 因此，参数的最大或然估计最大或然估计为为yxxx1)(结果与参数的普通最小二乘估计相同结果与参数的普通最小二乘估计相同* *矩估计矩估计（moment method, mm） ols估计是通过得到一个关于参数估计值的正正规方程组规方程组yxx)x(并对它进行求解而完成的。 该该正规方程组正规方程组 可以从另外一种思路来导: xyxxxyxxx(yx)求期望 :0xyx)(e0xyx)(e称为原总体回归方程的一组矩条件矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。 0)1x(yxn由此得到正规方程组正规方程组 yxxx解此正规方程组即得参数的mm估计量。 易知mm估计量与与

11、ols、ml估计量等价。矩方法矩方法是是工具变量方法工具变量方法(instrumental variables,iv)和和广义矩估计方法广义矩估计方法(generalized moment method, gmm)的基础的基础 在在矩方法矩方法中关键是利用了中关键是利用了 e(x )=0 如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是iv（工具变量在这里可以理解为替代变量）。 如果存在k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含k+1方程的矩条件。这就是gmm。例：例：某公司的企业管理费主要取决于两种重点产品的产量，试估计企业管理费线性回归模型。可求得 ：

12、于是 64142165141153153813xy5 . 25 . 10 . 85 . 10 . 15 . 40 . 85 . 47 .26)(10976201298125815515251551xxyxxx5 . 15 . 2410976205 . 25 . 10 . 85 . 10 . 15 . 40 . 85 . 47 .26)(1yxxx回归模型为：215 . 15 . 24xxy5 . 15 .10610810976205 . 15 . 245381353813yxyyxyyyeerss3693. 15 . 275. 0)(866. 0175. 0)(47493. 47 .2675.

13、 0)(75. 025 . 112221110002cscscsknee：参数估计的样本标准差随机扰动项的方差： 二、参数估计量的性质二、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数 的普通最小二乘估计、最大或然估计最大或然估计及矩估计矩估计仍具有： 线性性线性性、无偏性无偏性、有效性有效性。 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有： 渐近无偏性、渐近有效性、一致性渐近无偏性、渐近有效性、一致性。 1、线性性、线性性 cyyxxx1)(其中,c=(xx)-1 x 为一仅与固定的x有关的行向量 2、无偏性、无偏性 xxxxxxxyxxx11)()()()()()(1eeee这里利用了假设

14、: e(x )=0 3、有效性（最小方差性）、有效性（最小方差性） 其中利用了 yxxx1)(xxxxxxx11)()()(和i2)(e 三、样本容量问题三、样本容量问题 所谓“最小样本容量最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。 最小样本容量最小样本容量 样本最小容量必须不少于模型中解释变量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）的数目（包括常数项）,即 n k+1因为，无多重共线性要求：秩(x)=k+1 2 2、满足基本要求的样本容量、满足基本要求的样本容量 从统计检验的角度从统计检验的角度： n30 时

15、，z检验才能应用(大样本使用）； n-k8时, t分布较为稳定 一般经验认为一般经验认为: 当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。 模型的良好性质只有在大样本下才能模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明得到理论上的证明 四、多元线性回归模型的参数估计实例四、多元线性回归模型的参数估计实例 例例 前章已建立了中国居民人均消费中国居民人均消费一元线性模型。这里我们再考虑建立多元线性模型。解释变量：解释变量：人均gdp：gdpp 前期消费：consp(-1)估计区间估计区间：19792000年eviews软件估计结果 ls / dependent variable

16、 is cons sample(adjusted): 1979 2000 included observations: 22 after adjusting endpoints variable coefficient std. error t-statistic prob. c 120.7000 36.51036 3.305912 0.0037 gdpp 0.221327 0.060969 3.630145 0.0018 consp(-1) 0.451507 0.170308 2.651125 0.0158 r-squared 0.995403 mean dependent var 928.

17、4946 adjusted r-squared 0.994920 s.d. dependent var 372.6424 s.e. of regression 26.56078 akaike info criterion 6.684995 sum squared resid 13404.02 schwarz criterion 6.833774 log likelihood -101.7516 f-statistic 2057.271 durbin-watson stat 1.278500 prob(f-statistic) 0.000000 第三节 多元线性模型的统计检验 一、拟合优度检验

18、tss = (yi - y)2 = (yi2 - 2 y yi + y 2 ) = yi2 - ny 2 = yy - ny 2 ess = (yi - y)2 - e2 = (yy - ny 2 ) - (yy - bxy) = bxy - n y 2222)(1tssessyyyyyxbnnyiyeer2校正样本决定系数：？r2 = 1 - ( 1 - r2 ) （n - 1)(n - k -1) 可决系数可决系数tssrsstssessr12该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：问题： 在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， r2往往增大（why?) 这就给人一个错觉

19、一个错觉：要使得模型拟合得好，只要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可要增加解释变量即可。 但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的r2的增大与拟合好坏无关，r2需调整需调整。 调整的可决系数调整的可决系数（adjusted coefficient of determination） 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响除变量个数对拟合优度的影响:) 1/() 1/(12ntssknrssr其中：n-k-1为残差平方和的

20、自由度，n-1为总体平方和的自由度。 *赤池信息准则和施瓦茨准则赤池信息准则和施瓦茨准则 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则赤池信息准则（akaike information criterion, aic）nknaic) 1(2lnee施瓦茨准则施瓦茨准则（schwarz criterion，sc） nnknaclnlnee 这两准则均要求这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少仅当所增加的解释变量能够减少aicaic值或值或acac值时才在原模型中增加该解释变量值时才在原模型中增加该解释变量。 二、相关系数检验 样本决定系数与样本相关系数是

21、两个不同的概念。样本决定系数是对变量 y 与 x 作回归分析得出的，它是判定回归方程与样本观察值拟合优度的一个数量指标。 样本相关系数是对变量 y 与 x 作相关分析得出的，它是判定 y 与 x 线性相关密切程度的一个数量指标。 样本决定系数与样本相关系数在计算上是一致的。2rr-1 r +1 三、总体回归方程的显著性检验（f检验）h0：b0= b1 = = bk= 0；h1: bi 不全为 0；) 1,) 1,() 1/(/) 1/(/2knkffknkfknknknrsskessf（分布表，得临界值，查给定显著性水平yxbyyyyxb离差名称平方和自由度回归平方和剩余平方和总体平方和2yy

22、xbnyxbyy2yyynkn - k -1n -1k - 自变量的个数n - 样本个数f统计量与r2的关系221) 1() 1(/ )(/) 1/()(/) 1/(/rrkknkkntssesstsstssessknesstsskessknrsskessf 四、估计参数的显著性检验（t 检验） t 检验是检验自变量 xi 对因变量 y 线性作用是否显著的一种统计检验。h0：bi = 0；h1: bi 0；t ( n - k -1 )s(bi)tbi比较|t | 与 t的大小2|t | t 拒绝 h02 1-接受域 -t/2 o t/2 t例：例：某公司的企业管理费主要取决于两种重点产品的产量，试估计企业管理费线性回归模