线性代数矩阵运算PPT课件

1、、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 第1页/共38页说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 第2页/共38页2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija

2、 .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A第3页/共38页1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、数与矩阵相乘规定为规定为或或的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA第4页/共38页 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设 为 矩阵， 为数） ,nm BA、第5页/共38页、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作

3、.ABC 三、矩阵与矩阵相乘设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB第6页/共38页例例222263422142 C22 16 32 816设 415003112101A 121113121430B例例2 2?第7页/共38页故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10第8页/共38页注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.3233106861985123321

4、 例如例如 1331123321 11132231 .10 不存在.第9页/共38页、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中 为数）; ;4AIAAI 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m第10页/共38页注意注意:(1)矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 设 1111A 1111B则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故第11页/共38页但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有,

5、 AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 此时称A,B为可交换矩阵第12页/共38页(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵例但02121, 0111111 BA230000000 AB。或或不能推出不能推出即即000 BAAB第13页/共38页(3)矩阵乘法不满足消去律即C.B0, 不能推出不能推出AACAB., 0,1010552117,1231,4221CBAACABCBA 而而第14页/共38页例例3 3 计算下列乘积： 21322 1 解解: 2113213221 23 12 22 12 22 13 23 .634242 第15页/共38页 32133323123222113121

6、13212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 第16页/共38页练习题：n10111 ：计算：计算.,)( ,BA.(AB)AB,1-21B1,2,3,A. 2nnnnBABA，求，求设设 . 0184312,. 3 yxyx使使和和求求第17页/共38页解解 0010010010012A.002012222 .00100

7、1kAA求求设设 例例4 4第18页/共38页 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 第19页/共38页用数学归纳法证明当 时，显然成立.2 k假设 时成立，则 时，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA第20页/共38页所以对于任意的 都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 第21页/共38页定义定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . AAA例,854221 A;825

8、241 TA ,618 B.618 TB、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的其它运算第22页/共38页转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 第23页/共38页例例5 5 已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB第24页/共38页解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 第25页/共38页2、方阵的行列式、方阵的行列式定义定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式

9、，记作 或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB kkAA (4)第26页/共38页3、对称阵与反对称矩阵、对称阵与反对称矩阵定义定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612.称称为为反反对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 说明说明第27页/共38页注:设A,B为n阶对称阵,则A+B也是n阶对称阵.但AB未必是n阶对称阵.例TTBBAA ,BABABAT

10、TT )( 311121111,100001010BA是非对称矩阵。是非对称矩阵。但但 311111121AB第28页/共38页结论：2若A,B为可交换的对称矩阵， 则AB亦为对称阵.都是对称矩阵。都是对称矩阵。与与矩阵，则矩阵，则是一个是一个设设TTAAAAnmA . 31. 设A,B为n阶对称阵,则A+B也是 n阶对称阵.第29页/共38页例例6 6 设列矩阵 满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,IHHHXXIHnITT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明证明 TTTXXIH2 TTTXXI2 ,2HXXIT .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22T

11、XXI TTTXXXXXXI44 TTTXXXXXXI44 TTXXXXI44 . I 第30页/共38页例例7 7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以C为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以B为反对称矩阵.22TTAAAAA ,22BC 命题得证.第31页/共38页五、小结矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称矩阵对称阵与反对称矩阵方阵的行列式方阵的行列式第32页/共38页（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的

12、行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.第33页/共38页思考题问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立的充要条件是什么?1.)2(,2111. 25AA求求设设 第34页/共38页思考题解答5552)2(. 2AA 解：解：5102A 5102A 1.答答 ,22BABBAABABA 故 成立的充要条件为 BABABA 22.BAAB 51032 第35页/共38页练习2.2 (P40)III-AA,A)1(2 或或则则若若)(BA)2(2233BABABA 1.判断下列命题或等式是否正确也是对称阵。也是对称阵。，正整数