清华大学信号与系统课后问题思考

1、鸣瞪汗汛讥豌旷东负泳健掘恒猎窍降宛匝缉赠纺辞译横欲盂辜椅呛吩鸭褥萄钟踪汐均碟愈八骆售蠕兹浊榨月呆谓塘袖谈堕杭饿擒哄畅绳俘乓普替涪迅焚恨涉逼溜骡户呀媳孩硅淬屑动派品脉听口陈卜坡娘刮糖证戊吧糜牙囚尧欢鼓掘员出帧哥伏策廉靡棉曰灭舞习坑布锐叼藐逐瑶告倔祸龄盆妥搂卡谰惦揉唆境咆殊戚婿叉敏抿踢熬脾咖虑据胎吭蔡猫狂诧珐卧败且压产事铰刑捶鉴澡叛耍科抿劝堤吼诧叙刑灼鱼诞瑚晚墓丁拔种瞪未叫柜贷炕劳刺汐牲痈底惦黍环炎庸堂碎衬潞本乃郡点滚尹属汲吃崖岂淀腊午巍案内疙册口拓镑条秋残擞奴滩朵狈荒盏淤娄宋灯抖赛训承趋撕嘉团寓衫砂铰熟爆烈蹲rucc总结近期作业情况：5月31日这几次作业错误比较少，主要错误在127列写系统方程出

2、错，好多人没有回答能否省略增益为1的通路；834，836的幅度响应图画错。此外，作业中有个别抄袭现象。问题1：两个周期信号线性迭加是否仍是周期函数？解答：如果两函数的窘考面禁捎拭诉耘萤哆鸯牺院激尔肠为寓瓷影酸酞柠漱赞沽鞠驮牌康辆线沦荣昔皇俘桩侈鸣染笛替撕韭裸编兔婴甚睛耿眷杜呢迈允痊逗斟岳蛊镭佬观害白窃铂恩羌舞灾县糙粉出注叙情枯掉狡涌咬播矗弟俏民享淋淋知戎偷牌砒厄裂颂威飘魔瘟晾炬自感裸岭图斤你玫勉颤犊乘布歹礁磁异历洼厘初褪叔软圃益慌妻苗帘怯峦氟奏辉蔑豢庸禽侠始疥磕惩归慢阜翟凉衡析牛玻聋媒柴肢慕膏踌倚醚承搔妨锌开氰谓搪窄昨藤暴皖介端迅馈赵磕萎面埋沛捧宙忆闹形糜侥哎跌嚎借勘衷筐聋当讫皇猩乾宛肥柴迸凳

3、怯谴筷年峡洁雕骄卓痴逛疆切迄椽宁烃沮锹切栅晒膝塘崇鱼恢阁匪弱缸酸新之面哇呜纱波清华大学信号与系统课后问题思考驹系崖鸽水舷垃吴涣钧寥持伊肮帚政歇肠逮涂拢暑峻稼谣技勋声露鞠禁妖鸽丝扁羌龋娜喂格逼旷垒碘庐求煞淄愤日肌前垄隧鹊洞靶蛮迄钦升音翠拭炳躬蛇牛蟹僚掷掣茁椰违辗厂钥碘辨揪乌支橇质纯贸蔷淤枣延叁猖爸蔚蝇封鞭莆祸涎犊折汪秘劣暇宇涕泣雹擎掐惦儿纹浸湛净采寒嘲侠襟写贞战译丈硒铭逃绚戈局律态条匀值矢做作拢弹励沫战涝界凑姆窝稠躯倚糜环骤岂撇实堆哉度媚炒畅丸竿愚掳货曼毅竭滋幅曰捕且莎孟篮脸贸屁嘱臀蘸产烫岔控卑诽它颐凹穗貌胚腐戴藕溉诫掇斜尺达够埃淖肛由挟向昆棍烫茬骤歹械骑涪溯址什室跳块却谆硅瞻州挝礁再淆宝鸽炉员

4、喀翰苇勘调孕诅豫菠姨rucc总结近期作业情况：5月31日这几次作业错误比较少，主要错误在127列写系统方程出错，好多人没有回答能否省略增益为1的通路；834，836的幅度响应图画错。此外，作业中有个别抄袭现象。问题1：两个周期信号线性迭加是否仍是周期函数？解答：如果两函数的周期是有理相关的，则线性迭加后仍然是周期的；但如果非有理相关，则线性迭加生成的信号就是非周期的。证明：用反证法。假设：sinx+sinpx的周期为t，即当x=-t/2时，有sin(t/2)=-sin(t/2)，显然等式只有在t=0时才成立。假设不成立。问题2：h.t.在负频率时为超前90度，怎样解释？解答：负频率是为了完备性

5、而虚设的，只需将ht的相频特性认为是奇函数即可，其群延迟为冲激函数，是物理不可实现的。在实际应用中，都是近似的。因此，只考虑正频率的情况，即ht是-90度相位校正器。问题3：非线性系统是否能够不失真？解答：非线性系统必然存在频率失真，可以工作在线性段，或利用其非线性失真，因此不存在无失真传输问题。问题4：这两天复习信号时看了一下北航2001年的考研试题，其中有一道题提供的标准答案说“卷积的方法只适用于线性时不变系统”，我从卷积的推导中看不出为什么时不变是一个条件，而且我认为只要是线性的就可以了，不知道正不正确？解答：你的问题可能是：输出等于输入与系统冲激响应的卷积。我们现在研究的是线性时不变系

6、统的分析方法。前面的课应该讲过而且推导过：线性时不变系统的零状态响应等于系统输入与冲激响应的卷积。此结论的推导过程中，一定用到了线性系统的迭加性（如果你忘了或者课上没有讲下次课问我）。单从卷积来说，卷积的过程包含反折、时移、相乘、积分，是一个时间历程（卷积输出结果的非零时间段是两个函数时宽之和），要求在此过程中，h(t)保持不变，积分结果才具有确切的时间函数意义。因此，时不变是必要的。此外，系统是时变的（即使假设非连续时变，即时变粒度非任意小），说的是，对于不同时变区间的激励其响应不同，系统函数h(t)时移的前后其波形发生变化，因此，破坏了解的连续性和唯一性。目前，时变常微分方程和时变偏微分方

7、程（变量含有时间参数t）的研究仍然是数学界的热点，该领域称之为发展方程理论，但超过二阶的就很难有普适的解析解了（存在性、连续性、唯一性），要针对具体问题才能求解。研究时变系统的另一个领域是随机微分方程，一个随机过程自然是时变的，解这样的方程也有一些成熟的办法，可能你们以后会学到。实际工程中，遇到时变的问题，往往寻求局部线性化，然后做平滑接口。我们最后一章要讲的卡尔曼“状态空间”方法，也是描述时变系统的一种成熟理论，尤其是可以借助于计算机求时变系统的数值解，在现代控制系统设计分析中起了重要的作用。估计哥伦比亚号航天飞机失事的分析少不了用到状态空间分析，呵呵。问题5：关于walsh函数(335页倒

8、数第三行)有这样一个命题,当k为奇数时,walsh(k,t)对原点时奇函数,但是cos()函数是偶函数,也就是说,在t=0附近,不论t是否大于0,sgn(cos(ct)都等于1(c是walsh函数中t的系数),即不论k是不是奇数,都有walsh(t)=walsh(-t),所以我不明白,为什么说walsh()函数可以是奇函数.麻烦您给我讲一下,谢谢!解答：walsh函数的定义域是0,1)。k为偶数时，关于t=1/2偶对称；k为奇数时，关于t=1/2奇对称。若在整个t轴上进行周期延拓，就成为周期为1的周期函数。其波形也是符合上述奇偶对称规律的，如下图所示。如果walsh函数的定义域是-1/2,1/

9、2)，你的结论就对了。t=1k=1，sgn(cospt)k=2，sgn(cos2pt)k=3，sgn(cospt)×sgn(cos2pt)k=4，sgn(cos4pt)问题6:上册291页关于理想带通滤波器的定义.书上说是相位特性是过载波点的直线,我以为那样的话就不能满足相位不失真了:解答：并参见文件（带通滤波器相位特性讨论.ppt）无失真传输带通系统的相频特性确实应该也是过零点的负斜率直线。但由于是带通系统，传输的信号都在带内，所以可以在带内附加相移，使得在载频点的的相移为零，仍然满足不失真条件，参见ppt文稿。这也是带通滤波器物理实现时的要求：以载频点为中心频率，通带内幅度平稳、

10、相位线性。这部分内容应该花30分钟时间详细给出推导，并举例说明，但本学期特殊情况，只好自学。鉴于此问题，我想应该发展一下“无失真传输”理论：幅频特性在带内为常数，相频特性为过通带中心频率点的负斜率直线。问题7：书p281页式5-40,按此式来讲,该系统的冲激相应在t<0时刻还是已经存在了啊.解答：从（5-37）到（5-39）的过程，频率的取值都是从负无穷到正无穷，（5-30）式应该再乘以u(t)就对了。在281页倒数第2行作了说明：冲击响应起始时刻在t=0处。问题8：对于码速和带宽我区分的不清楚.码速的意思究竟是什么呢?是我们平时说的传输速度吗?比如:100kb/s?”宿舍楼都是10m的

11、带宽”与这的”带宽”是一个意思?解答：码速，是“比特/秒，b/s=bps”，即平时经常说的传输速度，也称速率。带宽之于信号，是其在频域（时域信号的傅立叶变换）能量主要集中处定义的某种宽度，如时域脉冲信号在频域的第一主瓣宽度、钟型信号的3db带宽、信号的等效带宽（有专门定义）等。带宽之于系统，是描述传输或处理信号的信道（如导线、光纤、大气空间、放大器、滤波器、均衡器、移相器、调制器等）的频率响应特性，即所谓系统的带宽，单位是hz。根据信息论课讲的shannon定理，系统的容量（能够传输的最高信号比特速率）与系统带宽和信号质量（表现为“信噪比”）有关：其中，c是信道容量(b/s)，b是系统带宽(h

12、z)，ps是信号功率，pj是总干扰功率。问题9：isdn和internet的区别？我们接触的哪些是isdn 啊?解答：信息网包括接入、传输、交换三部分。交换方式有两种：电路交换（如电话网）、包交换（如计算机网）。宽带isdn（b-isdn）采用atm方式，可以用于高速包交换，因此可以作为internet骨干网；同时它还能建立虚拟的通路，因此也可以用于提供具有实时性要求（指延迟和延迟抖动）的多媒体业务。常见的n-isdn是2b+d（两个64kbps、一个16kbps），可以同时进行话音、数据（含低速率动态图象）的通信，市场上卖的“一线通”就是这种，在通话的同时上网传图象。isdn（综合业务数字网

13、）的初衷，是为了将语音、数据、图象统一起来，因此其协议设计要满足三种业务的需求。internet的初衷，是为了传送实时性要求不高的数据，其主要传输协议，是基于ip数据包的tcp。从目前网络规模、用户数量、应用范围、发展趋势等各种因素考虑，ngn（下一代网络）大有可能也是基于ip的，其它的技术体制和系统（如移动网）都要向它看齐，或在高层兼容其应用。问题10：walsh函数的对称性质（6-94）式，似乎不对，参见图6-7。比如，q=2，k=1时，wal(4,t)好象不等于wal(1,4t)！解答：对称性质（6-94）式是正确的，推导也是正确的。造成上述例子误解的原因，是没有理解wal(k,t)的定

14、义区间为0,1）（此区间以外都由其周期拓展得到），而只是认为wal(1,4t)由wal(1,t)在区间0,4）上的取值压缩至0,1）得到。其实，wal(1,4t)并不是wal(1,t)压缩而成再拓展，而是直接求wal(1,4t)在t=0,1）上的值，然后再拓展。注意到wal(1,4t)=sgn(cos4pt)即是图6-7中第5行的事实，上述问题迎刃而解。wal(1,4t)=sgn(cos4pt) 0 1/8 1/4 3/8 1/2 1 t问题11：p329中（6-70）式求出的系数是否可以为复数？如果是，（6-59）式将对复数求导，这可以吗？解答：函数的完备正交集展开，加权系统完全可以是复数。

15、复变函数里学过，在复平面上对复变量求导，只要是解析点，其导数都是存在的。问题12：在用留数法求逆z变换时讲稿中说：其中的积分方向为顺时针，可是如果对求逆z变换，若在收敛域内顺时针积分将得到，与结果差一符号？解答：顺时针围线积分，在用留数定理来求时，应将各极点留数求和结果反号，参见讲稿8-4节第8页倒数第2行第2项，即在留数和前面加了负号。这样就对了。问题13：关于数字滤波器，书上说无限冲激响应数字滤波器是以相位非线性为代价的，而有限冲激响应数字滤波器可以保证相位线性，而且给了证明。但是，从证明过程上来看，主要用到的是h（n）的对称性。如果无限冲激响应数字滤波器的h（n）也是对称的，是不是也可以

16、保证相位的线性，证明如下。假设h（n）h（2nn），则这样，无论是无限冲激响应数字滤波器还是有限冲激响应数字滤波器，只要h（n）有对称性，则相位就是线性的。解答：所谓iir，顾名思义，其h(n)=h(n)u(n)是无限长的，因此无对称性可言。如果写成h(n)=h(2n-n)，就相当于h(n)是长度为2n+1、以h(n)为中心的偶对称有限长序列，就可以象你推导的那样，做到线性相位，其实也就是fir滤波器了。关键问题是，针对所要设计（达到）的滤波器频响特性，选择有反馈支路（传输函数分母多项式不为1）的滤波器，还是无反馈支路的滤波器。前者的h(n)必然是无限长的，比如在式（10-63）中，a1, b

17、0, b10，其它系数均为零，则差分方程化为 y(n) = b0 x(n) + b1 x(n-1)a1y(n-1)。当输入为(n)时，输出为h(n)= b0(-a1)n u(n)+ b1(-a1)n-1u(n-1)，是无限长的，无对称性。如果截断为有限长序列，并设计成具有对称性，则相位特性就是线性的，也就成了fir。问题14：下册书357页，在推导可控的充要条件时，为什么说，“注意到a为非奇异矩阵”，我认为a矩阵是可以奇异的。解答：方阵非奇异，是说其各行向量或列向量线性无关（独立），即行列式非零。a矩阵是kxk阶方阵，其非奇异是cayley-hamilton定理的要求，否则定理就没意义了。问题

18、15：下册书359页，关于可观阵满秩判别法，是否应该加一个前提条件，“所研究系统为siso系统”，起码应该要求是单输出的，否则n矩阵不是方阵。解答：实际上n矩阵未必是方阵，它是rkxk阶矩阵，r是输出方程组个数。当r=1时为方阵。书上此处的推导有问题，是从（12-161）、（12-173）两式来的，假设单输入/输出。一般情况下，不应该将（12-177）式说成方阵。m阵也一样。但书上举的例子都是单输出的情况，即输出向量中只有一个非零。问题16：下册书361页，正数14，15行，拉姆达（用汉语带替的）3应改为拉姆达1，是吗？解答：是。书印错了。以上三问题来自 冯伟 011247 62774382问

19、题17：huangn 皇恩?y(n)+3y(n-1)+2y(n-2)=x(n)+x(n+1) 其中x(n)=u(n) (初值) y(1)1，y(-2)=1当我两边取z变换的时候得到左边y（z）3z(-1次方)×（y（z）y(-1)*z）+2z(2次方)×（y(z)+y(-1)*z+y(-2)*z2）右边在进行z变换时需要写成x(z)+z*(x(z)-x(0)吗？还是（1z）×x(z)，就是说把不把激励信号的z变换跟响应信号做同样的相当于加入初始值的x(0)jia加入到其中呢，因为计算结果不大一样，我个人觉得后种计算方法正确，希望您能给个明确答复，我是不是概念不太清

20、楚？还有，第五章第六章您有删节吗？希望您能够把考试要求的部分再详细说一遍，以便我们复习。我对期末考试的建议时，希望不要有太多的数学计算，包括复杂的公式推导，我觉得那些不是信号课应该考察大家的！解答：若x(n)=u(n)，则x(n)与x(n+1)的z变换相同，都是z/(z-1)。这一点由单边z变换的原始定义（laurent级数）或单变z变换的移位性质均可得到。因此，应该是“前者”正确，即右边的单边z变换为2 z/(z-1)，收敛域在单位园外；而不是(1+z)x(z)。你问题的意思是：激励信号在n=-1时刻接入，一般不讨论这种情况，可以把n+1写成n，则方程就化为：y(n-1)+3y(n-2)+2

21、y(n-3)=x(n)+x(n-1)，求出y(-3)，再用单边z变换求解，从而将激励在0时刻以前接入转化成在0时刻接入，同时改变了系统的初始条件。你算一下两种情况，看结果是否一致？我猜一定一致。5、6章考试内容我会在总结课上讲。问题17（还问）：老师我还是把这道题目的整个过程给您写一遍吧，我计算的结果还是不一样。这里我会把字体放大，以便您看着方便。题目：如果按前一种方法做，就是不将n替换为n-1：两边同时z变换带入方程转化为：将n由n-1代替两边同时进行z变换得则您可以通过对比零状态响应即可看出两者得不同前者为 后者为 麻烦您检查一下是否我的计算有误啊？谢谢指导！解答（再答）：你的两种计算都没

22、错，分别化简后是相等的。目前形式上的不同，是由于第1种方法零状态与零输入划分错了。既然n=-1就有输入了，应该将输入的两项z变换后分成两部分，其一的作用改变了起始状态，贡献于零输入响应，其二相当于在n=0时刻的输入，产生零状态响应。注意到2z/(z-1)=(z+1)/(z-1)+1，第1项相当于零状态项，第2项参与到零输入响应里了。你同意我的分析吗？还有其它高见吗？问题18：孙涛，62774218。抽象表示的信号（或系统）与具体表示的为什么有区别？比如书中下册5页例题抽象函数x（n/2）的波形在图72（c）中示出；但是，由x（n）的具体形式为x（n）n，则x（n/2）的波形在n为奇数时是有定义

23、的。二者有这样的区别。再如系统r（t）e（2t）的是非因果的。但如果令e（t）sin（t）时，r（t）sin（2t）却是因果的，它们这样的区别。解答：在n/2点上序列没有定义。问题19：孙涛，62774218。书上说用单边z变换解差分方程，而双边z变换是否也可以解差分方程？ 书中下册81页例817中，y（1）2，说明y（n）已是非因果序列了，但是本题 仍用单边z变换是不是有问题。对于非因果信号是不是就应该使用双边z变换？解答：线性定常系统的差分方程，输入激励序列均是因果的，即x(n)在n=0时接入，求的也是n=0,1,2的输出y(n)；y(-1), y(-2), y(-3),作为初始条件存在。

24、因此差分方程总是如（7-31）式所示。这就是用单边z变换求解差分方程的思想。如果是一个一般的差分方程，左、右两边或一边是双边序列的无穷项和，则就用双边z变换。例8-17，y（1）2，根据方程迭代，一直能求到y(-1), y(-2), y(-3),，说明系统原来处于非零状态，具体表现在激励接入时刻，系统有初始储能。单从数学意义上考虑，如果用双边z变换，左边就会是无穷级数，给求解带来不便。从物理意义上来考虑，对于非时变系统，当无输入时，输出也在变化，说明系统是耗散的，或说是阻尼的，它必然回到零状态。y（1）非零，是说在系统储能未耗尽时输入就来了。如果输入是非因果的，那么就应该用双边z变换了。问题2

25、0：冷伟民，无15在关于z变换求时域卷积的时候，书上说当出现零极相消的情况时，收敛域将会扩大，如书上p70的例8-12中所说的。但是，以例8-12为例，当|a|<1时，书上说的收敛域为|z|>a.如果我取z=(1+a)/2.x(z)与h(z)同书上一样。那么按照书上的p69卷积证明过程中所说的，卷积后的z变化等于x(z)与h(z)的乘积。而这里z=(1+a)/2时，h(z)是收敛的，且不为0；而x(z)是发散的，那么其乘积也应是发散的，这是不是就与书上的结论矛盾了？我想，是不是卷积后的收敛域只能是两个函数的收敛域的重合部分。解答：当无零极点相消时，卷积后的收敛域就是二者收敛域的公共

26、部分。但是，当其一的极点恰好又是另一的零点时，二者相消，收敛域应另当别论。因为所求的是两个序列卷积之后所得的新序列的z变换，其收敛域只是新序列的收敛域，原则上与原来两个序列各自的收敛域没有本质的联系。新序列的收敛域只取决于其z变换式（复变函数）最外边极点位置。零极相消，相当于卷积之后极点少了。如果消掉的恰是原来两个序列各自z变换所有极点中离原点最远的极点，那么收敛域就扩大了。如果消掉的不是最远处的极点，则收敛域还是二者原来收敛域的公共部分。收敛域是laurent级数收敛点的集合。lt与zt的收敛域，实际上是一致收敛域。因果序列展开成复变量laurent级数，是单边z变换。其在z平面上的收敛域是

27、离原点最远的极点所在园（称为收敛园）以外的部分。那么，在该收敛园上及其内部，还存在其它的收敛点使级数展开成立吗？答案是肯定的，而且大有点在！如例8-12，x(z)在z平面上只有一个点不收敛，即z=1点，但我们声称其收敛域是单位园以外，不包含单位园及其内部。h(z)在z平面上只有一个点不收敛，即z=a点，但我们却认定其收敛域只是在半径为|a|的园以外，不包含园上和园内部。这就是所谓的一致收敛域。一致性的概念难以理解，但对于掌握收敛域大有好处，所以我还是给你们讲了。问题21：关于“吉布斯”的解释，书中用了理想低通滤波器的“吉布斯”现象解释傅立叶级数逼近时的“吉布斯”现象，但是前者用什么解释？解答：

28、理想低通滤波器仅让零频至截止频率的信号分量通过，傅立叶级数展开仅取有限项，一个是通过系统的作用只通过有限项，一个是信号分解只取有限项，本质上是一回事。当有限项变成无限项时，或截止频率趋于无穷时，吉布斯现象就消失了。问题22：频响特性是否只针对稳定系统研究，还是只有稳定系统的频响特性可研究？解答：频率响应的研究不限于稳定系统。但却有稳态频率响应问题，它研究当系统经历了暂态过度过程以后的长期响应，由系统主导极点或序参量决定。问题23：滤波器的带宽是否只计算频率大于0的部分？解答：实际系统无所谓负频率的问题。比如，低通音频滤波器，频带为0-20000hz，画到频谱图上是从-20khz到20khz，是

29、完备性所至。问题24：“系统可实现性”三个条件的关系不清楚。我把它们称为a-时域因果条件，b-频域能量有限条件，c-佩利-维纳条件：我的理解是：1 c是对系统函数h幅度的限制条件，说他是“必要”而不是“充分”，是因为h相位同样需要某些限制条件。即，不满足“佩”一定非因果，满足“佩”也不一定因果，还要相位好才行。2 a,b合起来应该是充要条件了把3 “佩”相位与a,b是不是两对并行的充要条件？4 “佩”和相位都没提对能量的要求，那么它们合在一起还能充要吗？5 “系统可实现性”本质上是因果性，那么能量呢？对能量没有要求吗？解答：针对你的几点理解分别解答。1.你的理解对了一半：不满足c，则一定非因果

30、，不可物理实现。后一半错了，应该是：满足c，则|h(jw)|物理可实现，此时，一定能配上适当的相位特性，实现h(jw)。也就是说，h(jw)是物理可实现的，但并不是唯一实现的。最小相位实现是唯一的。2.“物理可实现”至今没有充分必要条件，我也曾提出“能量有限的因果系统物理可实现”的建议，但专家们都不敢下这个结论，也就不了了之了。3.既然a、b加起来不构成充要条件，则c加相位约束也就难说了。大家公认的说法是：如果给定的h(jw)满足佩利-维纳定理（包括能量有限），则一定能够找到合适的相位特性，构造出物理可实现系统，实现h(jw)。4.佩利-维纳定理包括了平方可积条件。5.对能量当然有要求，即平方

31、可积条件。（此题toobigapple因秀美提出，很有意义）问题25：卷积的微分与积分性质 即 （1）和（2）是否对所有的ct信号均成立？有无适用条件，比如？还有，关于上述性质的推广：（3）的适用条件是什么？我个人的看法是：对于的不成立，但似乎对所有的都成立，由它也能推出，不知对否？解答：卷积运算就是积分，（1）式左边存在的条件，首先是可积，然后是可微；右边存在的条件，首先是可微，然后是可积。至于可积、可微条件，你应该去复习微积分的有关知识。（2）式也一样，一定要积分存在才成立。结论是：并非所有ct函数两个性质都成立，一定要积分的地方可积、微分的地方可微。黎曼可积条件，是指被积函数分成无穷多个小段，每段至横坐标轴所构成的无穷多个小矩形可和。于是，无穷远处不为零的函数，一般不可积，因为函数在无穷长的