高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系课时作业 新人教A版选修11

1、1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系【选题明细表】知识点、方法题号四种命题的概念1,2,3,6,9四种命题的真假判断4,5,7,10,12等价命题的应用8综合应用11,13【基础巩固】1.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(d)(a)若a-b,则|a|b|(b)若a=-b,则|a|b|(c)若|a|b|,则a-b(d)若|a|=|b|,则a=-b解析:将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得原命题的逆命题.故选d.2.命题“若ab=a,则ab=b”的否命题是(a)(a)若aba,则abb(b)若ab=b,则ab=a(c)若abb,则aba(d)若aba

2、,则ab=b解析:命题“若p,则q”的否命题为“若非p,则非q”,故a正确.3.(2018·贵阳高二月考)命题:“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是(d)(a)若x21,则x1,或x-1(b)若-1<x<1,则x2<1(c)若x>1,或x<-1,则x2>1(d)若x1,或x-1,则x21解析:-1<x<1的否定为x-1或x1,x2<1的否定为x21,故逆否命题为“若x-1或x1,则x21”.故选d.4.(2018·大连高二期中)命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否

3、命题中,真命题的个数为(b)(a)1(b)2(c)3(d)4解析:易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题.因为逆命题为“若a>-6,则a>-3”,所以逆命题为假命题,所以否命题为假命题.从而真命题的个数是2.故选b.5.(2017·马鞍山二中期末)下列说法中正确的是(d)(a)一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真(b)“|a|>|b|”与“a2>b2”不等价(c)“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b20”(d)一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真解析:对于a.一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真,但

4、是逆否命题不能判断真假,所以a不正确;对于b.“|a|>|b|”与“a2>b2”是等价不等式,所以b不正确;对于c.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b不全为0,则a2+b20”,不是“若a,b全不为0,则a2+b20”,所以c不正确;对于d.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真,满足四种命题的真假关系,正确.故选d.6.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是. 解析:“若p,则q”的否命题为“若¬p,则¬q”.答案:若ab,则2a2b-17.(2017·吉安高二检测)有下列四个命题,其中真命题有

5、(只填序号). “若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;“全等三角形的面积相等”的否命题;“若q1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;“若a>b,则ac2>bc2”的逆否命题.解析:中逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题.的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,是假命题.的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根,则q1”,为真命题,由=4-4q0,得q1,中当c=0时,原命题不正确,因此逆否命题是假命题.综上可知是真命题.答案:【能力提升】8.命题“如果xa2+b2,那么x2ab”的等价命题是(c)(a)如果x<a2+b2,那么x<2ab(

6、b)如果x2ab,那么xa2+b2(c)如果x<2ab,那么x<a2+b2(d)如果xa2+b2,那么x<2ab解析:原命题的等价命题是它的逆否命题.故选c.9.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为t,则s是t的(c)(a)逆否命题(b)逆命题(c)否命题(d)原命题解析:法一特例:在abc中,a,b,c的对边分别为a,b,c,p:若a=b,则a=b,r:若ab,则ab;s:若ab,则ab;t.若a=b,则a=b.故s是t的否命题.法二如图可知,s与t互否.选c.10.(2017·邯郸高二期中)给出以下四个命题:若ab0,则a0或b0;若a>

7、b,则am2>bm2;在abc中,若sin a=sin b,则a=b;在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是. 解析:对于,原命题是:若ab0,则a0或b0,是真命题,逆命题是:若a0或b0,则ab0,是假命题,否命题是:若ab>0,则a>0且b>0,是假命题,逆否命题是:若a>0且b>0,则ab>0,是真命题;对于,原命题是:若a>b,则am2>bm2,是假命题,逆命题是:若am2>bm2,则a>b,是真命题,否命题是:若a

8、b,则am2bm2,是真命题,逆否命题是:若am2bm2,则ab,是假命题;对于,原命题是:在abc中,若sin a=sin b,则a=b,是真命题,逆命题是:在abc中,若a=b,则sin a=sin b,是真命题,否命题是:在abc中,若sin asin b,则ab,是真命题,逆否命题是:在abc中,若ab,则sin asin b,是真命题;对于,原命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根,是假命题,逆命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若方程有实数根,则b2-4ac<0,是假命题,否命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中

9、,若b2-4ac0,则方程无实数根,是假命题,逆否命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若方程无实数根,则b2-4ac0,是假命题.综上,以上命题中,原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是.答案:11.(2018·宜春高二月考)已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为. 解析:因为p(1)是假命题,所以1+2-m0,解得m3;又p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8.故实数m的取值范围是3,8).答案:3,8)12.(2017·宣化区高二期中)写出命题“若x2-3x+

10、20,则x1且x2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解:因为原命题是“若x2-3x+20,则x1且x2”,所以它的逆命题是:若x1且x2,则x2-3x+20,是真命题;否命题是:若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,是真命题;逆否命题是:若x=1或x=2,则x2-3x+2=0,是真命题.【探究创新】13.(2018·衡中周测)在等比数列an中,前n项和为sn,若sm,sm+2,sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题;(2)判断这个命题的逆命题何时为假,何时为真,并给出证明.解:(1)这个命题的逆命题是:在

11、等比数列an中,前n项和为sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则sm,sm+2,sm+1成等差数列.否命题是:在等比数列an中,前n项和为sn,若sm,sm+2,sm+1不成等差数列,则am,am+2,am+1不成等差数列.逆否命题是:在等比数列an中,前n项和为sn,若am,am+2,am+1不成等差数列,则sm,sm+2,sm+1不成等差数列.(2)设等比数列an的公比为q,则当q=1时,这个命题的逆命题为假,证明如下:易知am=am+2=am+1=a10,若am,am+2,am+1成等差数列,则sm+2-sm=2a1,sm+1-sm+2=-a1,显然sm+2-smsm+1-sm+2.当q1时,这个命题的逆命题为真,证明如下:因为am=a1qm-1,am+2=a1qm+1,am+1=a1qm,若am,am+2,am+1成等差数列,则a1qm-1+a1qm=2a1qm+1,即1+q=2q2,q=-,又sm+2-sm=-=a1(-)m,sm+1-sm+2=-am+2=a1(-)m,所以sm,sm+2,sm+1成等差数列.6edbc3191