高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念学案 新人教A版必修1

1、第1课时奇偶性的概念学习目标：1.理解奇函数、偶函数的定义.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.掌握判断函数奇偶性的方法自 主 预 习·探 新 知函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于函数f(x)定义域内的任意一个x结论f(x)f(x)f(x)f(x)图象特点关于y轴对称关于x轴对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示定义域关于原点对称基础自测1思考辨析(1)函数f(x)x2，x0，)是偶函数()(2)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不

2、是奇函数就是偶函数()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2下列图象表示的函数具有奇偶性的是() abcdbb选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性3函数yf(x)，x1，a(a>1)是奇函数，则a等于()a1b0c1 d无法确定c奇函数的定义域关于原点对称，a10，即a1.4若f(x)为r上的偶函数，且f(2)3，则f(2)_. 3f(x)为r上的偶函数，f(2)f(2)3.合 作 探 究·攻 重 难函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2)f(x)；(2)f(x)；(4)f(x)解(1)函数的

3、定义域为r，关于原点对称又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，因此函数f(x)是奇函数(2)由得x21，即x±1.因此函数的定义域为1,1，关于原点对称又f(1)f(1)f(1)0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数f(x)的定义域为r，关于原点对称f(x)即f(x)于是有f(x)f(x)所以f(x)为奇函数规律方法判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法：跟踪训练1下列函数中，是偶函数的有_(填序号)f(x)x3；f(x)|x|1；f(x)；f(x)x；f(x)

4、x2，x1,2. 对于，f(x)x3f(x)，则为奇函数；对于，f(x)|x|1|x|1，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)f(x)，则为偶函数；对于，定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)xf(x)，则为奇函数；对于，定义域为1,2，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数奇偶函数的图象问题已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图1­3­6所示图1­3­6(1)画出在区间5,0上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于原

5、点对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(2，0)(2,5)规律方法巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.跟踪训练2如图1­3­7是函数f(x)在区间0，)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据. 图1­3­7解因为f(x)所以f(x)的定义域为r.又对任意xr，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函

6、数所以f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示利用函数的奇偶性求值或求参数探究问题1若函数yf(x)是奇函数，且点(a，f(a)是yf(x)图象上一点，点(a，f(a)是否在函数图象上？提示：在f(x)为奇函数，故f(a)f(a)，故点(a，f(a)一点在函数yf(x)的图象上2对于定义域内的任意x，若f(x)f(x)0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(x)f(x)0呢？提示：由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，f(x)为奇函数由f(x)f(x)0得f(x)f(x)，f(x)为偶函数(1)已知函数f(x)x3ax2bxc是定义在2b5,2b3上的奇函数，则f的值为()a. bc1 d

7、无法确定(2)已知f(x)x7ax5bx3cx2，若f(3)3，则f(3)_.思路探究：(1)(2)(1)b(2)7(1)由题意可知2b52b30，即b2.又f(x)是奇函数，故f(x)f(x)0，所以2ax22c0对任意x都成立，则ac0，f2×1.(2)令g(x)x7ax5bx3cx，则g(x)是奇函数，f(3)g(3)2g(3)2，又f(3)3，g(3)5.又f(3)g(3)2，所以f(3)527.母题探究：1.本例(1)的条件改为“f(x)ax2bxb1是定义在a1,2a上的偶函数”，求f的值解由题意可知a，b0，f(x)x21，f1.2把本例(2)的条件“f(3)3”换为“

8、f(d)10”，求f(d)的值解令g(x)x7ax5bx3cx，易知g(x)为奇函数，f(d)g(d)210，即g(d)8.所以f(d)g(d)2g(d)2826.规律方法利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数.(2)解析式含参数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数即可求解.当 堂 达 标·固 双 基1函数f(x)|x|1是() 【导学号：37102157】a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数 d非奇非偶函数bf(x)|x|1|x|1f(x)，f(x)为偶函数2如图1

9、3;3­8，给出奇函数yf(x)的局部图象，则f(2)f(1)的值为()图1­3­8a2 b2c1 d0a由图知f(1)，f(2)，又f(x)为奇函数，所以f(2)f(1)f(2)f(1)2.故选a.3下列说法中错误的个数为()图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过坐标原点；偶函数的图象一定与y轴相交. a4 b3c2 d1c由奇函数、偶函数的性质，知说法正确；对于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以说法错误；对于，如f(x)，x(，0)(0，)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，

10、所以说法错误故选c.4已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.0f(x)为奇函数，f(x)f(x)0，2ax20对任意xr恒成立，所以a0.5已知函数yf(x)是定义在r上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图1­3­9所示图1­3­9(1)请补出完整函数yf(x)的图象(2)根据图象写出函数yf(x)的增区间(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(2,0)(0,2)6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756