精品讲义2019年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二教师版

1、2019年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二从2019年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其 意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差别 所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也 是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分 的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提升了综合性

2、，形成了题目多变、 解法灵活的特色。一、知识精讲一椭圆中的经典结论：1.点 P0（xo,yo）在椭圆上2点 P0（xo,2.2ab22x ya2 b2yo）在椭圆上2 x2y=1上，则过Po的椭圆的切线方程是 笃Ja=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为yoyp、P?，则切点弦RP2的直线方程是竽卷=1 .a b2 23. 椭圆% 芯=1（a> b> o）的左右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上一点，a bF1PF2，贝U椭圆的焦点三角形的面积为 Sf1pf2 =b2tan?.双曲线中的经典结论:1.点Po（xo，yo）在双曲线上2 x2a2% =1 （ a>o，b>0

3、） 上,b则过Po的双曲线的切线方程是xoxyoy=12. 21ab2点Po（xo，yo）在双曲线上2 x2 a2笃=1 （ a>o，b>o）外, b则过P）作双曲线的两条切线切点为P、F2，则切点弦PP2的直线方程是 彎-譽=1.a b提供论文写怅及发表服务全国It多打包精用贵羁封用站2 23.双曲线 冷-爲=1( a> 0, b>0)的左右焦点分别为Fi F2，点P为双曲线上 a b点，NRPF2"，贝U双曲线的焦点三角形的面积为 S岳pF2=b2tan冬.三. 抛物线：1. 过抛物线y2 =2px(p 0)的焦点F的一条弦AB ,记准线与X轴交点为E ,

4、AE、BE分别交y轴于P、Q两点，贝线段EF平分角.PEQ二KAE KB02.端点坐标积恒定：过抛物线y2 =2px (p 0)的焦点F的直线I，交抛物线于1FA1FB2AX,%)、B(X2,y2)，则:(1)沁=，y”2 - -P243.共线：过抛物线y2 =2px(p 0)的焦点F的直线I，交抛物线于A、B两点，如 图示，有下列三个结论：(1) A、0、B1三点共线.(2) B、O、A三点共线.(3) 设直线AO与抛物线的准线的交点为 B，则BB1平行于x轴.(4) 设直线BO与抛物线的准线的交点为A，则AA1平行于x轴.下打包H品费料書万节ASilt*畏供论文写忙及发表碾务全国It多打包

5、精用资料知澱站【知识拓展】圆锥曲线和直线的参数方程1. 圆x2 y2 =r2的参数方程是X = r COSH其中二是参数。y = r si n日，22x a cos日2. 椭圆刍笃=1的参数方程是二 "其中是参数，称为离心角。a2 b2y=bs inBx2 y2“x = a seS3. 双曲线 -1的参数方程是其中二是参数。a by = bta n 日4. 抛物线y2 = 2 px的参数方程是x = 2 pt，其中t是参数。ly = 2ptx = x +1 co5. 过定点（x0,y0），倾斜角为:-的直线参数方程为t为参y = y0 +tsi na数。这里参数t的几何意义是：|t|

6、表示直线上的点（x,y）和定点（xo,y。）的距离；当点（X, y）在点（x0, y0）的上方时，t 0，当点（x, y）在点（x0, y0）的下方时，t . 0 ；当点（x, y）与点（心丫。）重合时，t=o，反之亦然。二圆锥曲线的统一极坐标方程以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极 点，过极点引相对应准线的垂线的反向延长线为极轴，贝U圆锥曲线的统一极坐标 方程为坐 ，其中e为离心率，p是焦点到相对应准线的距离。1 -ecos 日三焦半径公式设P为圆锥曲线上任一点，r、d分别为点P到焦点及相对应准线的距离，则r =ed 2 21.对于椭圆 务 岂-1（a>

7、b>0），F1（-c,0）、F2（c,0）是它的两个焦点.设P（x, y）a b是椭圆上的任一点，则有 ri =| PFi| =a+ex ,2=|PF2=a-ex.?解读：由椭圆的焦半径公式可知，椭圆上的某一点的焦半径的长是这个点的横2 2坐标(对 爲笃=1是纵坐标)的一次函数.a b(扩充)：焦半径公式的另一种形式(= 1(a> b> 0)为ri 二 PFi 二b2accosv(二是以Fix为始边,FiP为终边的角，不是FiP的倾斜角).下打包箱品fflfl 万节优质课录醫提供论文写怅及发表18务全国最多打包精用资翔为遞站2 22. 对于双曲线 务-占=(a>0, b

8、>0),Fi(%、F2(c,0)是它的两个焦点.设a bP(x, y)是双曲线上的任一点，若点P在双曲线的右支上，则有ri = PFi =ex+a ,D T PF? =ex-a ;若点P在双曲线的左支上，则有r =| PR = -ex-a， r2 = PF2 = ex + a .2 2?(扩充)：焦半径公式的另一种形式(牛-爲=i ( a> 0，b>0 )为a b(r是以F?x为始边,F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角).?注意：:2 2当> 0时，点P在右支上，当v 0时，点P在左支accosaccosvb2a -ccos上.3.对于抛物线y贵料書万节优05课录厳提

9、供论文写世反发莪服务全资料药澱站 =2px ( p> 0 ), F0是它的焦点，设P(x,y)是抛物线上的任一点，贝U r = PF =x + .设丛xFP =日，贝打=P.2i-cos 日四. 共轭直径二次曲线平行弦的中点轨迹称为它的直径.若两直径中的每一直径平分与另b2一直径平行的弦，则称此两直径为共轭直径.kk' =akkb2 ；2 ；a2 22. 设双曲线的方程为 笃-当=1 ( a> 0, b>0),互为共轭直径的斜率关系为a bkkb23. 设抛物线的方程为y2=2px ( p> 0 ), 一组斜率为k的平行弦的中点轨迹为 射线 y =P(x>

10、0).k五. 过焦点的弦2 21.设椭圆的方程为 冷-当=1(a> b>0)，过Fi(-c,0)的弦长为2a - e(xi X2),a b过F2(c,0)的弦长为2a -e(xi X2).过焦点的弦长是一个仅与它的中点横坐标相关的数.?(扩充)：焦点弦长的另一种形式为I2ab22器2 (二是以Fix为始边，FiP为a - c cos 二终边的角，不是FiP的倾斜角).2 22.设双曲线的方程为y = i ( a> 0, b>0 ),过Fi (-c,0)的弦长为 a b2ae(xiX2),过F2(c,0)的弦长为 2a -e(xix?).?(扩充)：焦点弦长的另一种形式为

11、I =2ab22 2 2.；- a -c cos(二是以F?x为始边，F2P为终边的角，不是F2P的倾斜角).，设 xFP，则焦点弦长为3.设抛物线的方程为y2=2px ( p> 0 )，六. 双曲线的渐近线1. 如果曲线上的点无限远离原点时，存有一条直线I，使得P与此直线的距离2 2无限趋向于零，则这条直线称为曲线C的一条渐近线.双曲线冷-爲=1的渐近线 a b2 2方程为笃一每=0，即y = x .a ba2 2 2 22. 共轭双曲线的方程为 务一爲=_1 ,共渐近线的双曲线系方程： ' .a ba b互为共轭的两条双曲线有以下性质： ，>0时得焦点在x轴上的双曲线；

12、 <0时得焦点在y轴上的双曲线；，=0时 即是双曲线的渐近线；1 1 两共轭的双曲线的离心率e、e2满足-+- =1 ;ei e 它们的四个焦点在同一个圆上.三、典例精讲例1. （2019“卓越联盟”）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x上, ABC三个顶 点都在抛物线上，且 ABC的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x y - 20 =0 ,则抛物线方程为（）(A) y2 =16x(B) y2 =8x(C) y2 二-16x(D) y2 二-8x?分析与解答：如图，可令方程为y2 =2px（p 0）2y22器y1jBl02 丿Cy2 =2px,4x y - 20 = 0=y2

13、=2p 4。.4所以 4y2 = 40 p _2 py, 2y2 py _20 p = 0，%廿舟yg，依题意,2 2 23p2p2p 2p2 '71 y2 y0py2 十 y3 = ,厂2所以丫2丫3=-10P，力 + 丫2+丫3=0,2 2 2 2yi y2 y3 3p由、=yi，代入中，y/ y3P。242另一方面，由、=y22 y32 =卫20 p。4所以 11 p 1 p220p, p =8 ( p = 0舍去)。44所以抛物线方程为y2 =16x。例2. (2003同济)已知抛物线y2=2px。(1) 过焦点的直线斜率为k，交抛物线于A、B，求| AB| ;(2) 是否存有

14、正方形ABCD，使C在抛物线上，D在抛物线内？若存有，求这样 的k满足的方程。?分析与解答：(1 ) AB直线方程是丫I，设A(x,y),B(x,y。)依抛物线定义知 |AB|=x,-2x2 = x1 x2 p。2y2=2px,1又p = k2x2 - (2 p k2 p)x -k2p2 = 0，y = k( x )4I. 2由韦达定理知，2x x -2p k px1 x2.2k故|ABF 书 2p=2p(1 三)。kk(2)先设k 0，如图113-11 ，令 C(X3, y3)，则 y2 - y 3(x 2x)3° 又k贵料录隈提供论文写怅及发表服务全国最芻打包精用贵斜知黑站1y2

15、 _'y3 :2 2、 y2y3k <2p 2p二 y2 十 y3 = 2 pk，即 y3 = 2 pk y2。又 | AB |=| BC |，且I BC I .(x2 x3) (y2 y3)所=k(y2y3)(y2y3)*1 k 1 y2 -y312p-2I k2即p雪k22 -=.1k2 |y2 pk H y2 pk p . 1 kk方面，将y2 2px J代 k 21 J2 (这里利用求根公式取“-”号根)。k y-P2 心 丫2汕-1-由知pk Rk2，化简得 k4 _2k -1 =0。同理，k ：0时，求得方程为k4_2k-1=0。综上，这样的k满足方程k4_2k-1=

16、0。注：作者对原题作了简单改动，原问题所问的是“正方形ABCDT什么特点。” 此问题有相当难度，尤其是对代数功夫要求较高。a例 3. (2019 “华约”)0) , F1, F2是左、右焦点，P是右支上的任一点，且 RPF23(1) 求离心率e ；下打包II品贵料書万节优提供论文写怅及发表服务全国最多打包構良资洞药狐站（2）若A为双曲线左顶点，Q为右支上任一点，且.QAF2 WQF2A恒成立?分析与解答:(1)在 PF1F2中，由余弦定理，厅汗2曰卩斤|2 I PF2 I2 -2 I PF1 I I PF21 cos丄，3(2c)22 2-(| PF1 HI PF2I) 2|PF11 I PF

17、2 LH -cos I PF1 I I PF24c -4a =4b V 3丿S PRF2 二1'PR I |pf2|H 1 sin32卅于二心。所以八3a a所以e =e =2，双曲线方程:a2丄-12 I oa 3a(2)先设 QF2 x轴。此时 Q(2a,3a),1下证 。令 Q(asec , 31 tan21 QAF2 为等腰 RL：，QAF2 QF2A。2一43ata n®V3ta n®。)tan/QFqAh-ase羽一2a 2 sec5TJTfiUfiQM書万节优SUM提供论文写怅及发制8务全国聚多打包猜用贵斜封风站tan ZQAF2、3a tanasec

18、 : .s3tan ，tan2 QAF2 二sec 12、一 3 tan : sec1 'V3ta isec® +1 23 tan :(sec1)(sec1)2 -3tan2 :2、3tan(see，1)2、3tan(sec1)3tan-2sec :i!，2se 4-2(sec : 1)(sec:-2)2-sec数 J，使21QAF2QF2A恒成立。2二tan. QF2A。所以存有常2 2 2 2?注：设p是双曲线-2 y -1 （或椭圆-2 y a ba b分别是左、右焦点），贝U S时2二b2cot （b2ta巧）。=1)上一点， F1PF2 "( Fi,F2例

19、4. (2007武大)如图，过抛物线C:y2=8x 上一点P(2,4)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物 线交于A、B两点。(1) 求直线AB的斜率；(2) 如果A B两点均在y =8x (y < 0)上，求二PAB面积的最大值。?分析与解答:(1)不妨设A,yi2y2B 8,y2，则kpA -2% -48(% -4)yi-16yi 4。同理，kpB =y2 48kPA - - kPB 二PA PB yi 4V24% y2 = _8。 于 是y2 - yiy2yiy2yi-8-iAB的直线方程为:2yi2 2y2yi2比一力=0。P至U AB的距8二彳心2 yi)(y2-yi)l。由(i

20、)知 y? yi8，故|AB|-2|y2-yi| =. 2 | -8 - % - yi | = 2-、2 | y i 4|。所以22|yi 4|1 2=8 | yi8yi -48| | yi 4|1|(yi 4)(yi 4) -64|。t(t2 -64)又由 yiy2- -8，且yi,y2 _0 ,知 yi -8,0。令yi4 = t，则 t-4,4，所|t3 -64t |8r 0,4的情况。此时记注意到f （t|t - 64t是一个偶函数，故只考虑g(t)屮3-64t|=64t-t3，对 g(t)求导,g'(t)=64-3t20 , t 0, 4，故 g(t)在0, 4上是严格单调递

21、增的函数，从而g（t）max =64 4-43 =192 ，即1（S PAB J a 1=9 2o 2 48例5. （2019“北约”）已知Ci,C2是平面上两定圆，另有一动圆 C与Ci,C2均相切，问圆心C的轨迹是何种曲线？说明理由。?分析与解答：设Ci,C2半径分别为ri,r2，由圆锥曲线定义，可得下列结论：ri F 时, Ci与C2相离：圆心C的轨迹是直线（C1C2的中垂线）及双曲线（与Ci,C2 一个 内切，另一个外切）； Ci与C2相交：圆心C的轨迹是直线（去掉Ci,C2两个点）（与Ci,C2都外切或都 内切）及椭圆（与Ci,C2 一个内切一个外切）； C1与C2相外切：圆心C的轨迹

22、是直线去掉切点（包括C与C1，C2都外切或都内 切或一个外切，另一个内切）ri n 时，飞打提供论文写怅及发表服务全国最多打包精是贵斜剂风站 Ci与C2外离：圆心C的轨迹是双曲线(C与G,C2都外切或与Ci,C2中一个内切 一个外切)； Ci与C2相交：圆心C的轨迹是双曲线(C与Ci,C2都内切或都外切)及椭圆去掉Ci,C2两个点(C与Ci,C2 一个内切，一个外切)； Ci与C2外切：圆心C的轨迹是双曲线(C与Ci,C2都外切)及直线去掉切点(C与Ci,C2 一个内切，一个外切)； Ci与C2内切：圆心c的轨迹是直线去掉切点及 g与C2(C与Ci,C2都外切或都内切)及椭圆去掉切点(C与Ci

23、,C2 一个内切一个外切)； Ci与C2内含：圆心C的轨迹是椭圆(Ci, C2不是同心圆，C与Ci,C2 一个内切，一个外切)及圆(Ci,C2是同心圆，C与Ci,C2 一个内切一个外切)。例6.( 20i9年上海理)已知道平面上的线段I及点P，任取l上的一点Q，线段PQ 的最小值成为点P到线段I的距离，记作d( P, I)。(1) 、求点 P(i,i)到线段 I : x-y-3 = 0(3 Ex兰 5)的距离 d( P，I)；(2) 、设I是长为2的线段，求点的集合D -P d( P, I) _ i所表示的图形面 积；(3) 、写出到两条线段Ii、12距离相等的点的集合0= Pd( P, h)

24、 = d(P，I2)，其中Ii =AB, I2 =CD ； A，B，C, D是下列三组中的一组。对于下列三中情形，只需选做一种，满分分别为2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分。 A(i,3), B(i,0), C(-i,3), D(-i,0) A(i,3), B(i,0), C(-i,3), D(-i,-2) A(0,i), B(0,0), C(0,0), D(2,0)?分析与解答：(i)、如图i所示，由图可知，显然在线段的端点(3,0)处取得最小值，故最小距 离为：飞打包紹贵料雹方节优am 畏供论文写怅及发表眾务全国量多打包博足资料药衣进d(p,l)(13)2 1

25、2 5(2)、如图2所示，D是边长为2的正方形和半径为1的两个半圆构成的区域, 故面积为：S=2 2+二=4+二如图4所示，由分类讨论得出，由三段组成：第一段是y轴上，所有满足y亠0的点，即：？ x, y x = 0, y _ 0； 第二段是抛物线，原因是到顶点的距离等于到定直线的距离，该抛物线为：1 2x y (y 乞0,0 EX 乞1)4第三段是直线，该直线为：y-x-1(x_1)書万节提供论文写笊及发表服务全国最多打包精是资训药犬I| C1VIU 2V11 1XUDtArv（图3）如图5所示，由四部分组成。由四条直线（图4）x =0,x =2, y =0, y =1 将坐标平到两直线距离

26、相等的点是角平分线，即：1 x,y y=x（0乞x空1）1 ;面分成9个区域，对这9个区域依次讨论满足条件的点集: 第I区：第U区：到定点D的距离等于到定直线y轴的距离，是抛物线，但该抛物 线不在第u区，故第u区域没有满足条件的点；第川区：至俩个定点的距离相等，是 AD中垂线，即：31（x,yy =2x-?（x 启 2） j;第W区：到定点A与到定直线x轴的距离相等，是抛物线，即： 1 2 1 1徑占”专/烷仁x兰2）j ；第V区：、到两个定点A、D的距离相等，应该是线段 AD的中垂线，但该 线不经过第V区，故在第V区没有满足条件的点；第切区：到定直线y轴的距离等于到定点O的距离，y轴经过点O

27、,故满足条件的点只有x轴的非正半轴，即：x,y x乞0,y=0 ;第区：到同一个点O的距离相等，是整个第三象限的点，即:下打歸品费料書万节优Silt* H供论文写怅及发表18务全国最多打包精用资斜药武疋:x, y XV 0,y v 0；第毗区：到定直线x轴，与到定点0的距离相等，x轴经过0点，故满足 条件的点为y轴的非正半轴，即：:x, y y_0,x=0l;第区区：到定点O D的距离相等的点，为线段 0D的中垂线，但该线不经 过 第区区，故在第区区没有满足条件的点。iVrvA11VIC 1Bb 1Vll'VIDIX下打包H品贵料万节扰质漂录隈提供论文写怅及发表18务全国最芻打包精用贵

28、斜为用站（图5）?点评：此题是典型的探究性问题，对学生的综合水平要求很高。题目中自定义 了到线段的距离。第一问典型的最值问题，画出图像即可解决；第二问、第三问 主要考察轨迹问题，解决这两问的关键在于充分理解圆锥曲线的定义。在水平方 面要求考生具有较高的数形结合和分类讨论等相关水平，综合性很强。其他题目 赏析：四、真题训练1. （2019复旦）极坐标表示的下列曲线中不是圆的是（）(A) 呼 2(cos).3sin 旳=5(B) P2-6 Pcos 日一4 Psi n&=0(C) - PcosT =1(D) 2cos22(cos sin T) =12. （2009华南理工）已知圆 O: x

29、2，y2 = r2，点P（a,b）（ab = 0）是圆O内一点。过 点P的圆O的最短的弦在直线l1上，直线12的方程为bx-ay=r2，那么（）。（A） h/很，且I?与圆O相交切（C） I1/I2，且I2与圆O相离(B) l1 I2，且I2与圆O相(D) l1 I2，且I2与圆O相离3. （ 2019复旦）已知常数 g满足0 ：. ki :：: k2, kikl。设C和C2分别是以 y = ±k（x_1） +刑y=±k2（x_1）+1为渐近线且通过原点的双曲线，则 C1和C2的离(C) 1(D)k1k24. （ 2019复旦）设有直线族和椭圆族分别为x =t, y = m

30、t b（m,b为实数，t为参数）和也 工 y2 =1 （ a是非零实数），若对于所有的m，直线都与椭圆相交，则a,b a应满足（）。2 2 2 2 2 2（A） a （1 b ）_1（ B） a （1b ） 1（ C）a （1b ） -. 1（ D）2 2a （1b ）15. （ 2 019同济）若圆x2 y2-4x-4y-10 = 0上至少有三个不同的点到直线I :ax by =0的距离为2乙，则直线I的斜率的取值范围是 。2 26. （ 2006武大）椭圆笃笃=1（a b 0）的半焦距为c，直线y = 2x与椭圆的一a b个交点的横坐标恰为c，则该椭圆的离心率是 。2 27. （2019中

31、南财大）如图，已知椭圆 C: x 2 =1（a b 0）的一个焦点到长轴a b的两个端点距离分别为2.3和2 - -.3，直线y =kx（k 0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。（1）求此椭圆的方程。i T（2）若ED =6DF，求k的值。（3）求四边形AEBF面积的最大值。8. （ 2019“卓越联盟”）已知椭圆的两个焦点为F1（-1,0）, F2（1,0），且椭圆与直线y = x - -、3 相切。（1）求椭圆的方程（2）过F,作两条互相垂直的直线12，与椭圆分别交于P,Q及M,N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值。9.（ 2001复旦）已知椭圆(x a)22寸二1与抛物线y

32、21二-x在第一象限内有两个公2下打包II品费料看万节优05课录慢提供论文写柜及发讓服务全国最多打包精用贵料封用站共点A B，线段AB的中点M在抛物线y1（x 1）上，求a410.（2004同济）设有抛物线y2 =2px（p 0），点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物线上，试问：点C在什么范围内时， BAC恒是锐角?五、真题训练答案1. 【答案】Dx = P co=8【分析与解答】：利用极坐标与平面直角坐标转换公式,、曲'选项A B C 分别为：x2 y2 2x 2、. 3y = 5,x2 y2 -6x - 4y =0,x2 y2 - x =1，它们都表示圆;选项D,2 c

33、os2 2（cos 亠sin 二）=1， x2 -y2 2x 2y = 1，表示双曲线。2. 【答案】:D【分析与解答】：因为最短的弦h与OP垂直，所以l1的直线方程为：ax by -a2 -b2 = 0 。故l1与l2互相垂直。因为圆心 O到12的距离为二2 La2 b22 肃。因为a2+b2，所以，所以d =,； 八r。所以I2与圆相离。 a圆相交，则当且仅当（0,b）在椭圆内部。 b23. 【答案】C下打歸品贵料提供论文写怅及 m 务全国皺多打型I良贵斜药兆站【分析与解答】：由条件可设G的方程是一(x_1)2(y-1)2b22. 2(x_1)2(y_1)2k1=1 , C2的方程是=1

34、o 又C1 ,C2过原点，2. 2 2<ak1 a Jk2 b1 1 1 0 k1: k2, k1 k2 =1，知 0 ：k1: 1 ：k2，故二：a I 一C2带正号，且a2二11字,b2k.J(k12+ 1 a J ik+ 1e = , e2k1 ak.! a,222，从而C1前应带负号,D k2 b得1。e24.【答案】B【分析与解答】：注意到直线y二mx，b横过定点(0,b)，对所有直线与椭2所以(0 1 b2 : 1，即 a2 (1 - b2) 1，故选Bo5.【答案】2 - 3,23【分析与解答】：圆：（x-2）2 （y-2）2=18，半径为3厂2。如图分别作两条与直线l平行

35、的平行线，这两条平行线与直线l的距离都是2 2，欲使圆上至少有三个不同点到直线l的距离都是2, 2，则这两条平行线与圆都有交点。设直线 l的斜率 为k，直线I : y二kx，则问题等价于圆心（2,2）到直线I的距离一。所以1 2k 一2| 一2 = k 23, 23。k2 16. 【答案】2-1【分析与解答】：2 2 2 2 2(4a b )c =a b 2 2 2 2 2 2(4a b )(a b )二 a b丄y = 2x，由 J2 v2二(4a2+b2)x2 =a2b2。依题意，+?T =1、a b4； 4=0,-2 2、2-ba2a21故离心率 e = C 3一2,2 二.2 -1a7

36、.【分析与解答】：a + c = 2 + J3(1 )由题意得/，解得a=2,c = V3, b = 1，所以所求|a-c=2 - 3的椭圆方程是2x 2(2)直线 AB EF的方程分别为 x 2 v = 2, v = kx(k 0)。设 D(xo, kxo)， E(x1, kx1)，” ”2 2 2F(X2,kx2)，其中 X1 ： x2，且 X1,X2满足方程(1 4k )x =4，故x?二-为2 j1+4k215 10由 ED =6DF 知xo -为=6(x2 xo)，得 xo= (6x?+x) =x = /；由 D777山+4疋在AB上知xo +2kxo =2，得 xo，所以f10 2

37、，化简得 24k2 25k+6 = 0，1 2k1 2k 71 4k2書万节优n供论文写征及发表服务全国最多打包精用资糾药連进Xi,X2为方程(2k2 1)x2 4k2x 2k2 - 2 =0 的根，所以 |PQ | x1 - x2 k2 1解得k 或k =338(3)根据点到直线的距离公式和式知，点E、F到AB的距离分别是h _ |x2 2kx2-2| _ 2(1 2k- .1一4k1 2) 口2 ：. 以 2kx, -2|2(1 2k 1 4k2).5(1 4k2)5(1 4k2)又 |AB|»：22 1»：；5，所形 AEBF的面积为1|AB|(h1 h2)弓飞 4(

38、1 型5(1 4k )2(1 2k)221 4k2誉2。即当k =时,2四边形AEBFt最大面积2 2 o8.【分析与解答】:(1)设椭圆方程为 务十每=1(a a b > 0)。因为它与直线y = x-V3 a b只有1个交点，所以方程组'2 2r =1_a2 b2只有一解。即方程 b2x2 a2(x - 3)2 = a2b2y = x -、3有相等两根=方程(b2 a2)x2 -2、一3a2x 3a2 -a2b2 =0有相等两根。所以厶=(-2、3a2)2 -4(a2 b2)(3a2 _a2b2) =0得 a2 b3 o因为焦点为(-1,0),(1,0)，所以a2 -b2 =1所以a2二2所以椭圆方程为-y2 =1。lb2=12(2)若PC斜率不存有(或为0)。则S四边形PmQn| PQ | | MN |2、2，2飞打包H品贵料万节就质踝录隈提供论文写怅及发表18务全国1R多打包精用资洞药図站所以直线PQ|2k 1 1|2k2+1k2亠1同理，|MN| = 2、2 厂k2 +2所以S四边形PMQNWWik4 2k2 1=44242k 5k 21k21422 2k 5k 2k21J 4k4+10k2+41 1因为4k2f