MATLAB小波处理

1、第7章小波7.2快速小波变换7.3小波分解结构的运算7.4快速小波反变换7.5图像处理中的小波7.1背景知识小波变换的由来傅立叶变换Tim*|Ffaquency基本思想:将信号分解成一系列不同频率的连续正 弦波的叠加。缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果判断一个特定的信号是在什么时候发生的。FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含 有大量的非平稳信号，例如：突变，奇异，事件 的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的重 要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震 信号0s70：00|亠| 15严应艇TT* I三 ,I 够 I宰三壬言s号吓,1)亘lWYTi m o gov典型的地震记录ES

2、QdrView文件心編毎匹& 3 水口配董心令© 胡肋翎实际采集的地震信号它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息7如何完成只分析数据中的一小部分?短时傅立叶变换(STFT)基本思想：给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信号进行变换, 因此反映了信号的局部特征。缺陷：其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关, 保持固定不变，对于分析时变信号不利！（高频信号持续时间短”低频长我们希望对于 高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗进行 分析.）STFT无能为力了!不能构成正交基，给数值计算带来不便。小波信号隆重登场®登场

3、原因蛊(1) 继承和发展了STFT的局部化思想。克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离 散正交基的缺点。What is wavelet 一种函数-具有有限的持续时间、突变的频率和振幅-波形可以是不规则的，也可以是不对称的-在整个时间范围里的幅度平均值为零-比较正弦波10.5005Sine wave部分小波波形Meni can. Hatds波函数Har缩放函数Ha泄小波函数110.50.500-0.5-0.5-1-1(0.51C0.51正交基的解释若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和大小为特征基，构成此物体特征描述空间。大小和颜色是互不相干的2种描述，我们称其为正交。同时若这些基能够完全表示所有

4、物体，我们称其为完备特征基。因为特征基表现了物体特征,因而可以用更简洁的描述表示物体小波变换的提出1984年法国的年轻的地球物理学家Jean Morlet在进行石油勘探的地震数据处理分析时与法国 理论物理学家A.Grossman 一起提出了小波变换 (wavelet transform, WT)的概念。(6)三种变换的比较原始信号一亠 FODRTRAMSFOAM 训VWW丿训WWVUVWVW vwwwwwa GABOR TA/iNSFORMTimeSTFT (Gabar)tmenbluu:TimeWavelet Analysis各种信号分析方法的对比STFT (Gabor)Wavelet An

5、atysisSTFT (Gabor)Wavelet Anatysisapn 意 E<AmpfrtudeAxenbatrTimeTime Domain (Shannon)Frequency Domain (Faurier)STFT (Gabor)Wavelet AnatysisSTFT (Gabor)Wavelet AnatysisSTFT (Gabor)Wavelet Anatysis(巴USF 3®缩放因子缩放因子1 口 f 7 ©二匸5J *5坊J2 ；拧扭出I JI, JL勰If考虑一个大小为M*N的图像f（x，y）,其正向离散变换T（uy）可用一般的多项式关系

6、表示为7（処匕）=工于（兀y）gu v Jx, y）其中，x，y是空间变量，uy是变换域变量。若给定T(u,v,),则f（x，y）可用一般的离散反变换:/（兀y）=工了仏仏）心片.（兀y）x2yg心叽在这些方程中分别称为正变换核和反变换核。 他们决定了变换对的性质、计算复杂度和主要用途。变换系数T（u,v,河看做是咲于氐的一系列展开系数。j /* /1j2 兀(uxl M N)y) = (兀 y) = -r=7JMN其中，u = 0丄，M 1* = 0丄，N 1。变换域的本别表示水平和垂直频率。变换核是可分的。因为hu,3 y) = hu(x)hv(y)其中，hu(x) = eTE,Jmhv(

7、x) = -Lej2uy/N)是正交的。y/N变换核的可分性简化了二维变换的计算，这样就可以使用先行后列或先列后行的一维变换来实现二维变换;正交性导致了正反变换和之间的复共轨关系。离散小波变换是指：不仅其中使用的变换核不同，而且这些函数的基本特征和他们的应用方法也不同。在此利用变换核对或定义该核对的一组参数来表征每个DWT,无论哪种变换，变换的展开函数是变化频率和持续时间受限的小波。小波核的特征:性质1可分离性、尺度可变性、平移性,核可用三个可分的二维小波来表示:屮H a，y) =i/v (x, y) =屮 Dg y) = 0(x)0(y)其中，屮H a,y y/v(x,y)和y)分别为水平、

8、 垂直和对角小波。一个二维可分的尺度函数是 沁,歹)=沁)沁)每个二维函数是两个一维实平方可积的尺度和小波 函数的乘积(pjk (x) = 2y/2(27x-y)y/j 3 = 2Q 屮(2x _ y)平移参数E决定了这些一维函数沿兀轴的位置，尺度/决 定了他们的宽度，即它们沿着兀轴有多宽多窄，而2"控制 它们的高度或幅度。- “：on*性质2多分辨率的一致性一维尺度函数满足多分辨率分析的如下需求：a.%与其整数平移正交。b.在低尺度或低分辨率下可表示为一系列冏丄的展开 的一组函数，包含在可以以更高尺度表示的函数中。c唯一可以以任意尺度表示的函数是f(x)=O当丿时，可用任意精度来表

9、示任何函数。性质3正交性展开函数对于一组一维可测的、平方可积函数形成一 个正交基或双正交基。r7-2快速小波变换0(x)二工心(n)逅gx -n)n0(x)二工 h屮(n)近屮Qx n)n鵡和打的展开系数分别为尺度和小波向量, 他们是快速小波变换(FWT)滤波器的系数。二维离散小波变换rr行列行下采样rHL垂直分析HHLHHH-HLLLHLHHLHHHIT-ITCO-7T0)表示其相应的频谱图中的符号表示频带降低1/2, HH表示频率最 高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重 复，直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分 解滤波器树(decomposition filter tre

10、es)小波分解得到的图像原始图慷粗造图像1+跑爾苗42重构图像重构图像37补充：小波变换定义及特点小波(Wavelet),即小区域的波，是一种特殊 的长度有限、平均值为0的波形。特点：(1) “小”，即在时域都具有紧支集或 近似紧支集(2)正负交替的“波动性”,也即直流分量#Wavetet (db10)小波变换定义及特点SignalCanstitu&nt wavefets of diff&r&nt scales and positions小波变换定义及特点FourierSignalCanstitu&nt wavefets of diff&r&nt

11、 scales and positions小波变换定义及特点SignalTransform :- .:：；:：；：；: ; ： 】 :Constituent sinusoids otdifferont frequ&nci&sSignalCanstitu&nt wavefets of diff&r&nt scales and positions小波变换定义及特点SignalCanstitu&nt wavefets of diff&r&nt scales and positions小波变换定义及特点SignalCanstitu&

12、;nt wavefets of diff&r&nt scales and positions傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无 穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波 分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些 小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩 得来的。用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比 光滑的正弦曲线要好，同样,信号局部的特性用小波 函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。连续小波变换连续小波变换(Continuous Wave I et Transform,CWT)用下式表示:C

13、 (scale, position)p+oO=IJ00屮(seals position. t)dtWf(a,b)=古”0(乎)/,(q > 0)表示小波变换矍看号心)冷被缩放和平移的小波函数w ()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数G这些系数是缩放因 子(scale)和平移(position)的函数。45基本小波函数w 0的缩放和平移操作(1)缩放就是压缩或伸展基本小波，缩放系数越小, 则小波越窄/(f)=0(t)； scale = 1/(f)=y(2Z)； scale =0.51/(0小波的缩放操作/(f)(40； scale =0.25#基本小波函数

14、w0的缩放和平移操作(2)平移。小波的延迟或超前。在数学上，函数迟确表达式为f(t-k),Wavelet1 functionv(0Shifted wavelet function#小波的平移操作(a)小波函数0(亡)；(Q位移后的小波函数 叫_临小波变换的步骤*小波变换的步骤：一取一个小波与信号的最前面部分比较；二计算相关因子c,c代表小波和这段数据的相关性即:C越大,两者越相似；WcivelC = 0.0102小波变换的步骤三移动小波，重复步骤一和二,一直遍历整个数据;SignalWavelet四对小波进行缩放，重复步骤一到三;五在所有小波尺度下，重复上述步骤.49小波变换的步骤7.5小波变

15、换的步骤7.5小波变换的步骤小波尺度和信号频率的关系SignalLow scaleWaveletHigh scale大尺度小尺度信号的低频A信号的高频CWT的变换过程图示輕(2幻y竺y/(t - 3k)CWT小结小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这 样来理解。缩放因子小,表示小波比较窄,度 量的是信号细节，表示频率w比较高；相反， 缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号 的粗糙程度，表示频率w比较低。八离散小波变换（DWT）在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且 有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2丿（丿0且为 整数）的倍数

16、，即只选择部分缩放因子和平移参数 来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。41离散小波变换(DWT)使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为 双尺度小波变换(Dyadic Wave I et Transform),它 是离散小波变换(Discrete Wave I et Transform, DWT)的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。离散小波变换（DWT）执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器,该方法是Mallat于19年提出的,称为Mai I at算法（马拉）。这种方法实际上是一种信号分解的方法，在数 字信号处理中常称为双通道子带编码。离散小波变换定义任意I?（R）空间中的

17、xitDWT为: 肥（从）二卜亿而力 其中=0（寺-上）需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度 参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。DWT变换方法®执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器-该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法-这种方法实际上是一种信号的分解方法，在 数字信号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示 -S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤 波器产生A和D两个信号-A表示信号的近似值(approximations)-D表示信号的细节值(detail)=离散小波变换（DWT）41IW 1丄11 一个滤波器为低

18、通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A (Approximations)离散小波变换（DWT）另一个为高通滤波器,通过该滤波器可得到信号的细BTJ节值0 (Detail)。45I tCl |LZ1| LPF | HPF !LDF: hw pass filterHDF: high pass图多级信号分解示意图#（a）信号分解；（b）小波分树;（0）小波分解树图表示的是一棵三级小波包分解树。小波包分 解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提 供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解 粘允许信号S表不为S = 41 + AAD3 + DAD3 + DD2Rl”佻片 ” DA2片| AAA?| |

19、dAA?| I ADA? | DDA? |"I AD± 片 I DD± 片|aADI DADI ADZ I |DDDa|三级小波包分解树降釆样过程在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍。例如，如果原始 信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个 通道的数据均为1000个，总共为2000个。根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样(downsampling)的 方法,即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的离散小波变换的系数 (coefficient)分别用cD和cA表示离散小波变换(DWT)H在使用滤波器对真实的数字

20、信号进行变换时, 得到的数据将是原始数据的两倍。(I HL ML A1 QOO拱性*叵KIA叵IH：鬲递憩派器L：低通曲渡器根据奈奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了降采样的方 法，即在每个通道中每两个样本数据取一个，得到的 离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示在许多应用中，信号的低频部分是最重要的, 而高频部分起一个“添加剂”的作用。比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名 其妙。在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的 系数,表示信号的低频分量。而细节值是小的 缩放因子产生的系数

21、，表示信号的高频分量。小波分解树If JIf J离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通 滤波器组成的一棵树-原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫 做一级分解-信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多 级分解。-如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分 量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低 频分量，形成如图所示的一棵比较大的树。这 种树叫做小波分解树(wavelet decomposition tree)-分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户 的需宴小波包分解树小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分 解，而且对高频分量也进行连续分解，这样

22、不 仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也 可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解 得到的树叫做小波包分解M (wavelet packet decomposition tree),这种树是一个完整的二进 制树。行下小波重构将信号的小波分解的分量进行处理后，一般还要根据需要把信号恢复出来,也就是利用信号的小波分解的系数还原出原始信号,这一过程称为小波重构(Wave I et Reconstruction )或叫做小波合成 (Wavelet Synthesis)。这一合成过程的数学运算叫做逆离散小波变换(Inverse Discrete Wave Iet Transform, IDWT)。#

23、小波重构H'UH'小波重构算法示意图小波重构(1)重构近似信号与细节信号由小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原 始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号 的近似值或细节值，这时只要近似系数或细节系数置 为零即可。#小波重构H1000个样点(a)H1000个样点(b)重构近似和细节信号示意(a)重构近似信号；(b)重构细节信号小波重构(2)多层重构重构出信号的近似值人与细节值D之后，则原信 号可用儿+卩=5重构出来。对应于信号的多层小波分 解，小波的多层重构图：59小波重构重构过程为：A3+D3=A2； A2+D2=A1；Al+Dl=So小波重构信号重构中，滤波器的

24、选择非常重要，关系到能否重构出满意的原始信号。低通分解滤波器（L）和高通分解滤波器（H）及重构滤波器组（L，和田）构成一个系统，这个系统称为正交镜像滤波器(Quadrature Mirror Filters, QMF)系统。小波重构H-dLTHDTOOsDWT小波鑼IDWTHgKI>-4jZ1000 s多层小波分解和重构示意图补充哈尔小波1.哈尔函数哈尔基函数基函数是生成矢量空间V/而定义的一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信号。也称尺度函数(scaling function),用符号刃表示。哈尔小波函数哈尔小波函数是生成矢量的一组线性无关的函数，用 符号表示。矢量空间VP中的小

25、波可用来表示一个函 数在矢量空间中不能表示的部分。2.哈尔变换原理假设两个信号的数值分别为a和b,计算它们的和 与差，d - a-b从s和踵新获得痢b,a =侶+川)f罷b = s-d)!2A哈尔变换举例【例】假设有一幅分辨率只有4个像素的一维图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为:9 7 3 5 计算它的哈尔小波变换系数步骤1：求均值(averaging) o计算相邻像素对的平均值，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变成了2个，即新的图像的分辨率是原来的1/2,相应的像素值为：8 4步骤2：求差值(differencing)用2个像素表示这幅图像时，图像的信息已经部分丢失 o

26、为了能够从由2个像素组成的图像重构出由4个像素 组成的原始图像，就需要存储一些图像的细节系数 (deta订coefficient),以便在重构时找回丢失的信 息。原始图像可用下面的两个平均值和两个细节系数表示，8 4 1 -1步骤3：重复步骤1和2把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低 的图像和细节系数。在这个例子中，分解到最后，就 用一个像素的平均值6和三个细节系数2,1和一1表示整 幅图像：6 2 1 -1一哈尔变换过程分辨率平均值细节系数49 7 3 528 41 -1162把由4像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个 细节索薮衰示这个过程就叫做哈尔小波变换(Haar wave

27、let transform),也称哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)这个概念可以推广到使用其他小波基的变换A3.哈尔变换的特性从这个例子中我们可以看到：-变换过程中没有丢失信息，因为能够从所记录的数据中重构出原始图像。-对这个给定的变换，我们可以从所记录的数据中重构出各种分辨率的图像。例如，在分辨率为1的图像基 础上重构出分辨率为2的图像，在分辨率为2的图像基 础上重构出分辨率为4的图像-通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小，这就为图像压缩提供了一种途径。例如，去掉一些微不足 道的细节系数并不影响对重构图像的理解4- 一维哈尔小波变换求均值和差值的过程实际

28、上就是一维小波变换的过程,现在用数学方法重新描述小波变换的过程(1)哈尔基函数基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给 定的信号，如用基函数的加权和表示。定义了基和矢量 空间，就可以把由力个像素组成的一维图像看成为矢 量空间中的一个矢量。最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)o 哈尔基函数在1909年提出，它是由一组分段常值函数 (piecewise-constant function)组成的函数集。这个函数 集定义在半开区间上，每一个分段常值函数的数值在 一个小范围里是"r,其他地方为“(rfir以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔 基

29、函数。哈尔基函数（续1）0<%<1/4其他1/2K3/4其他1/4<%<1/2 其他 3/4<x<l 其他波形:"II尿G）° 1/2 1这4个常值函数就是构成矢量空间f 2的基哈尔基函数(续2)为了表不矢量空间中的矢量，每一个矢量空间v丿都需 要定义一个基(basis)为生成矢量空间而定义的基函数也叫做尺度函数 (scaling function),/(x)函数通常用符号表示。哈尔基函数定义为0(兀)=V0U其他哈尔基尺度函数1=0/（兀）=0（2丿兀i），i = 0丄，（2丿1）其中，丿为尺度因子，改变丿使函数图形缩小或者放大；了为平

30、移 参数，改变了使函数沿轴方向平移。空间矢量v j电义申V丿=sp 0/（兀）i = （）, 27 -1其中，表示线性生成(linear span)0（兀）=V'1 当 OSvl/2 -1 当 1/2SY1 0其他哈尔小波尺度函数®/（x）L函本义波基定小为式唸附尔第函数相对应的小波称aarwaveletfunctions）, 并由下0（兀）二 0（2丿 - 0,i 二 0,（2丿1）i哈尔小波函数（续1）用小波函数构成的矢量空间用W丿表示为,Wj =spy/x)心0丄2-1其中，SP表示线性生成；丿为尺度因子，改变/使函数图形缩小或 者放大；i为平移参数，改变2使函数沿轴方

31、向平移根据哈尔小波函数的定义，可以写出生成，八肿 和彳等矢量空间的小波函数哈尔小波函数（续2）生成矢量空间2的哈尔小波：f10 < x < 1/8屮紅x）= <-1l/8<x<2/8屮:（兀）=0其他厂14/8<x<5/80；（无）=V-15/8<x<6/8屮;（兀）=V0其他2/8<x<3/83/8<x<4/8其他6/8<x<7/8 17/8<x<l 其他哈尔小波函数（续3）r哈尔小波函数（续3）生成矢量空间$的哈尔小波1/2 110I小） n1哄）1/211 u-11/21-1r(3)哈尔

32、小波变换过程 (1)用0中的哈尔基表示图像= 9 7 3 5有刀二22二4个像素，因此可以用生成矢量 空间中的框基函数的线性组合表示，其中的系饗和皆4个正交的像素值9 7 3 5,因此,哈尔小波变换过程（续1）二 9 X I L据（幻+ 7 x 1 L 才（切+ 3 X 匚二I_ 號（X）+ 5 X 屈图/（x）用V2中的哈尔基表示用yo, W。和M中的函数表示图像0°（兀）-生成矢量空间V。的基函数为，0?（兀）天量空间W0的小波函数为 ,牛成冗力乂间幕馅小波函数为 和,根据曲）川）V2 =U° W° M-/(兀)可表示成IM = c脇(%) + 盃 0； (x

33、) + d 尿(x) +(兀).用图表隸小波变换过程（续3）/二6 X1 1+2 XJ1r加+1 X离(Q+-1 X妙:G)其中，4个系数,疋d。翡吐原始讪|象通过哈尔小波变换所 得到的系数，用来表衲I图硼平土瀾励不同分辨率下的细节 系数。4个函数， 和 就是构成空间V2的基。必（兀）必0；（x）5.二维哈尔小波变换一幅图像是一个二维的数据阵列，进行小波变换时可 以对阵列的每一行进行变换，然后对行变换之后的阵 列的每一列进行变换，最后对经过变换之后的图像数 据阵列进行编码-1.求均值与求差值使用求均值和求差值的方法，对矩阵的每一行进行 计算-3.使用线性代数宙于图初可用矩阵表示，使用N个矩阵M

34、, A/和 Mn同样可以对图像矩阵进行求平均值和求差值。 这N个矩阵分别是第一、第二和第N次分解图像时 所构成的矩阵二维哈尔小波变换(续1)用小波对图像进行变换有两种方法，一种叫做标准分 解(standard decomposition),另一种叫做非标准分解 (nonstandard decomposition) o标准分會方法是抢首先 使用一维小波对图像每一行的像素值进行变换，产生 每一行像素的平均值和细节系数，然后使用一维小波对这个经过行变换的图像的列进行变换，产生这个图像的平均值和细节系数。使用Mat labdwt函数 idwt函数 wcodemat 函数 dwt2函数 wavedec

35、2 函数 idwt2函数 waverec2 函数dwt函数功能:1-D离散小波变换格式:cAcD=dwt(X/wname)cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)®说明蛊"一1. cA,cD=dwt(X/wnsimej使用指定的小波基函 数"wname，対信号X进行分解，cA和cD分别 是近似分量和细节分量/2. cA,cD=dwt(X,Lo_D,HLD)ffl 指定的滤波器组 Lo_D，Hi_D对信号进行分解idwt函数功能:1-D离散小波反变换 格式；X=idwt(cA,cD,wname,)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,

36、cD,wname,L)X=idwt(cA,cDLo_R,Hi_R,L)说明：由近似分量cA和细节分量cD经过小波 反变换，选择某小波函数或滤波器组，L为信 号X中心附近的几个点一wcodemat 函数功能：对数据矩阵进行伪真彩色编码Y=wcodemat(X，NB，OPT，ABSOL)Y= wcodemat(X，NB,OPT)Y= wcodemat(XNB)Y= wcodemat(X)MM说明：Y=wcodemat（X,NB,OPT,ABSOL）返回数据矩 阵X的编码矩阵Y； NB为编码的最大值（缺省16）, OPT是编码方式，'row，行方式，"col，列方式"ma

37、t， 整个矩阵编码（缺省），ABSOL是函数的控制方式， Q返回编码矩阵,1返回数据矩阵的ABS （缺省）Ndwt2函数功能：2D离散小波变换格式；cA,cH,cV,cD=dwt2(X/wname5)cA,cH,cV,cD=dwt2(X/wname,)说明：CA近似分量，cH水平细节分量, 垂直细节分量，cD对角细节分量不例1：对图象做2-D小波分解load woman; nbcol=size(map, 1);cA 1 ,cH 1 ,cV l,cDl=dwt2(X,'db 1'); cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA 1 =wcodemat(cA 1

38、,nbcol);cod_cH 1 =wcodemat(cH 1 ,nbcol);cod_cV l=wcodemat(cV 1 ,nbcol);cod_cD l=wcodemat(cD 1 ,nbcol); dec2d=cod_cAl,cod_cHl ;cod_cVl,cod_cDl; subplat( 1,2 J imsho w(cod_X,);subplot( 122；imshow(dec2d, k实验结果wavedec2 函数功能：2朋号的多层小波分解®格式：C,S=wavedec2(X,NJwname'C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D);说明：使用小

39、波基函数或指定滤波器对2D信号X进行N层分解idwt2函数功能：2D离散反小波变换格式:X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wnameS)X=idwt2(cA,cH,cMcD,Lo_R,Hi_R,S) 说明略示例：2-D小波重构load woman;sX=size(X)?cAl,cHl,cVl,cDl=dwt2(X；db4,); A0=idwt2(cAl,cHl,cVl?cDl；db4sX);subplot(ll)5imshow(X,);Title(fOriginal Imag

40、e*);subplot(l,2,2);imshow(A0,；Title(Image using idwt2*);实验结果Figure 1File Edit View Insert Tools Desktop Window Help ia a愴題目聋® I黛I 口 口Original Image-Ini xlImage using M2load woman;nbcol=size(map, 1);cA 1 ,cH 1 ,c V1 ,cD l=dwt2(X；db 1'); cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA 1 =wcodemat(cA 1 ,nbcol)

41、;cod_cH 1 =wcodemat(cH 1 ,nbcol);cod_cV 1 =wcodemat(cV 1 ,nbcol);cod_cD 1 =wcodemat(cD 1 ,nbcol); nbcol=size(cod_X, 1);xcA 1 ,xcH 1 ,xcV 1 ,xcD l=dwt2(cA 1 /db 1'); xcod_cA 1 =wcodemat(xcA 1 ,nbcol); xcod_cH 1 =wcodemat(xcH 1 ,nbcol); xcod_cVl=wcodemat(xcV l,nbcol); xcod_cD 1 =wcodemat(xcD 1 ,nb

42、col); xdec2d=xcod_cA 1 ,xcod_cH 1 ;xcod_cV 1 ,xcod_cD 1 ; dec2d=xdec2d,cod_cH 1 ;cod_cV 1 ,cod_cD 1 ; subplot( imshow(cod_X,);subplot( 1 尬imshQW(dec2dJh;'实验结果waverec2 函数功能：2D信号的多层小波重构®格式：X=waverec2(CS/wname)X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R) 说明；略示例：两层分解重构load woman;cs=wavedec2(X2/sym4f); a0=waverec2

43、(c,s/ sym4f);subplot(12J； imshow(X,);Title(*Original Image*);subplot(12,2； imshow(aO,);Title(fImage using idwt2f);goajaw Buisn a6euj|aBeuui ibuiBijo1 ®位方也牡冒IB l9H Mopq丽dozpjsm石S|ooi 心瓦即行引宿T a-rnBlJ &畜霧毬逅小波分析在信号降噪中的应用分解过程：选定一种小波，对信号进行N层小 波（包）分解;作用阀值过程：选择一个阀值，并对细节系数 作用重建过程：将处理后的系数经过小波（包）重 建原始

44、信号/如何选择一个阀值是关键缺省的阀值确定模型 Birge-Massart策略确定模型 小波包中的penalty阀值本课程不做介绍基于Mat lab的示例 基于小波变换load noisdopp; x=noisdopp;cj=wavedec(x,5,' db41); ca=wrcoef(db4 5); index=l(2)+l:l(7);cl=c;c 1 (index)=c(index)/3; x2=waverec(c 1,1,1 db4');subplot(311);Plot(x);title(fOriginal Signal1); subplot(312);plot(ca)

45、;title(*Recover Signal1); subplot(313)； plot(x2；title(fRecover with dimming1);基于Mat lab的示例：基于FFT对原始信号进行FFT变换根据频谱，对比我们需要关心的成分, 对不需要的频谱进行抑制；进行逆变换信号的频谱20Hz以后迅 速衰减，到50Hz以后几 乎没有信号!利用FFT滤波（使用不同的宽度）load noisdopp;x=noisdopp;y=fft(x,1024);pyy=y.*conj(y)； % QdY »入入£ 压f=1000*(0:512)/1024;%plot(f,pyy(

46、l:513);%yl=y;yl(10:1024)=0;y2=y;y2(30:1024)=0;y3=y;y3(50:1024)=0;xdl=real(ifft(y 14024); xd2=real(ifft(y24024);xd3=real(ifft(y 34 024)5 subplot(411);plot(x);title(' Original Signal'); subplot(412); plot(xd 1); title(' width=10'); subplot(413);plot(xd2);title(lwidth=30,); subplot(414)

47、;plot(xd3);title(lwidth=50t); 平FFT Vs DWT1. FFT是一刀切的做法，DWT可以多重选择;2FFT保留的能量（有时）比DWT多，但是相似性很差;3降噪的光滑性和相似性在时间和频率两个空间体上体现的比重不同小波分析在信号压缩中的应用1.对原始信号进行小波变换2.零填充3编码/量化4.存储 6重建5解码丿 Figure 1File Edit View Insert Tools Desktop Window HelpOHBMBMBWIOMMOMB I50100150200260Original Image50100150 2002505010015020025

48、050100150 200250zip image5010015020050100150 200250about zip image注意：本例只说明 局部化压缩, 实际中一般 不仅在第1层 压缩250loadi wbarb;cal,chl,cvl,cdl=dwt2(X/sym4r);codca 1=wcodemat(ca 1J92);codch 1=wcodemat(ch 1,192);codcv 1=wcodemat(cv 1,192);coded 1=wcodemat(cd 1,192);codx=codca 1,codch 1; codcv 1,coded 1 ;rcal=cal;rchl=chl;rcvl=cvl;rcdl=cdl5rch1(33:97,33:97)=zeros(砧,65);rev1(33:97,33:97)=zeros(砧,65);red1(33:97,33:97)=zeros(砧,65);codrca 1=wcodemat( rca 1J92);codrch 1=wcodemat(rch 1J92);codrcv 1=wcodemat(rcv 1,192);codrcd 1=wcodemat(rcd 1J92);codrx=codrca 1,codrch 1; codrcv 1,co