虹口高三数学一模

1、2021年上海市虹口区高考数学一模试卷、填空题(16题每题4分，712题每题4分，本大题总分值54分)1.集合 A=1 , 2, 4, 6, 8 , B=x|x=2k , k A，那么 AH B=2 =2+1，那么复数z的虚部为1 _ 1 3.设函数 f (x) =si nx - cosx，且 f (a =1,那么 sin2 a=.4.二兀一次方程组的增广矩阵是,那么此方程组的解是5 数列an是首项为1,公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，那么 匕丁二_ .6. 角A是ABC的内角，那么 加A二寺是红皿二牛的条件(填 充分非必要、必要非充分、充要条件、既非充分又非必要之一).7.假设双曲线x

2、2-' =1的一个焦点到其渐近线的距离为距等于.8 .假设正项等比数列an满足：a3+a5=4,那么a4的最大值为.9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是 60°勺平面所截，截面是一个 椭圆，那么该椭圆的焦距等于 .10. 设函数f (x) = _寸_ 三_ ,那么当x<- 1时，那么ff (x)表达式的展 开式中含x2项的系数是.11. 点M (20, 40),抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,假设对于抛物线上的任 意点P, |PM|+|PF的最小值为41,那么p的值等于 _.12. 当实数x, y满足x2+y2=1时,|x+2y+a|+|3 -

3、 x - 2y|的取值与x, y均无关， 那么实数a的取范围是.二、选择题(每题5分，总分值20分)13. 在空间，a表示平面，m, n表示二条直线，那么以下命题中错误的选项是()A .假设m/ a m、n不平行，那么n与a不平行B. 假设m / a, m、n不垂直，那么n与a不垂直C. 假设m丄a, m、n不平行，那么n与a不垂直D. 假设m丄a m、n不垂直，那么n与a不平行jr14. 函数丁)在区间0，a(其中a>0)上单调递增，那么实数 a的取值范围是()A. 善 B. 0G寻TITJTC.尸阿十庄 if D. 2kH<a<2kH_-, kn15. 如图，在圆C中，点

4、A、B在圆上，那么的值()A .只与圆C的半径有关B. 既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C. 只与弦AB的长度有关D. 是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16. 定义f (x) =x(其中x表示不小于x的最小整数)为 取上整函数，例如2.1=3，4=4 .以下关于 取上整函数性质的描述，正确的选项是() f (2x) =2f (x); 假设 f (xi) =f (X2)，那么 xi - X2V 1 ； 任意 X1，X2 R， f (X1+X2)Wf(x1)+f (x2)； f(x)+f(i+y)=f(2x).A. B . C. D .三、解答题(本大题总分值76分)17. 在正三

5、棱锥P-ABC中，底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为4.(1) 求证：PA丄BC;(2) 求此三棱锥的全面积和体积.18. 如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 A处，此时测得 其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正 东18海里处.(1) 求此时该外国船只与D岛的距离；(2) 观测中发现，此外国船只正以每小时 4海里的速度沿正南方航行为了将 该船拦截在离D岛12海里的E处(E在B的正南方向)，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1 °速度精确到0.1海里/小时)19 .二次函

6、数f (x) =ax2- 4x+c的值域为0，+.(1) 判断此函数的奇偶性，并说明理由；(2) 判断此函数在号，+ 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3) 求出f (x )在1，+上的最小值g ( a)，并求g (a)的值域.2 220. 椭圆 C:过点 M (2，0)，且右焦点为 F (1，0)，过 Fa b的直线I与椭圆C相交于A、B两点.设点P (4, 3)，记PA、PB的斜率分别为 k1 和 k2.(1) 求椭圆C的方程；(2) 如果直线I的斜率等于-1,求出k1?k2的值；(3) 探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取 值范围.21. 函

7、数f (x) =2|x+2|- |x+1|，无穷数列an的首项a1=a.(1) 如果an=f (n) (n N )，写出数列a n的通项公式；(2) 如果cb=f (an-1) (n N*且n?2要使得数列an是等差数列，求首项 a 的取值范围；(3) 如果an=f (an-1) (nN*且n?2，求出数列an的前n项和Sn.2021年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(16题每题4分，712题每题4分，本大题总分值54分)1.集合 A=1，2, 4, 6, 8，B=x|x=2k，k A，那么 AH B= 2，4, 8. 【考点】交集及其运算.【分析】先分别求出集合A和B

8、，由此能出AHB .【解答】解：集合A=1 , 2, 4, 6, 8, B=x|x=2k , k A=2 , 4, 8, 12, 19, An B=2 , 4, 8.故答案为：2 , 4, 8.2 .-2+i，那么复数z的虚部为 1.1 _ 1 【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由-=2H,得G二盘巧)(1-i)，利用复数复数代数形式的乘法运算1 _ 1化简，求出z,那么答案可求.【解答】解：由-r-S+i ,1 _ 1得一；=2 2i+i - i2=3 - i,那么 z=3+i.复数z的虚部为：1.故答案为：1.3.设函数 f (x) =si nx - cosx，且 f (a =1,那

9、么 sin2 a=0 .【考点】二倍角的正弦.【分析】由可得sin - cos a =1两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同 角三角函数根本关系式即可得解.【解答】解： f (x) =si nx- cosx，且 f (a) =1,. sin a cos a =1两边平方，可得：sin2 a +ccfea- 2sin a cos , =1.1 - sin2 a =1 可得：sin2 a =04.二元一次方程组'的增广矩阵是故答案为：0.,那么此方程组的解是【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组.【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得.【解答】解：由题意，方程组解之得

10、*故答案为产flv=l s5 数列an是首项为1公差为2的等差数列，Sn是它前n项和，那么血 =n【考点】数列的极限.【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可.【解答】解：数列an是首项为1 ,公差为2的等差数列，n(n- 1)X2Sn=.-2=n . an=1+ (n 1)X2=2 n 1，1TD -Fl故答案为：吕；6.角A是ABC的内角，贝U冷如寺是凱皿二乎的 充分不必要 条件(填充分非必要、必要非充分、充要条件、既非充分又非必要之一).【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可.【解答】解：A为ABC的内角，贝U A

11、 (0，180°，i.l|假设命题 p： cosAp成立，贝U A=60°，sinA=-;而命题q： sinA=成立，又由A ( 0，180°，那么A=60或120°因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.2 :,贝U该双曲线的焦7. 假设双曲线x2-上-=1的一个焦点到其渐近线的距离为距等于 6【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论.【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y= bx，即bx+y=O，焦点坐标为F (c, 0),那么焦点到其渐近线

12、的距离d二=丄-=b=2 -：,Vl+b c那么 c= . |H=3,那么双曲线的焦距等于2c=6,故答案为：68 .假设正项等比数列an满足：33+85=4,那么a4的最大值为 2.【考点】等比数列的性质.【分析】利用数列an是各项均为正数的等比数列，可得 a3a5=a42，再利用根本 不等式，即可求得a4的最大值.【解答】解：数列an是各项均为正数的等比数列，asa5=a42,等比数列an各项均为正数，二 a3+a5>2',当且仅当a3=a5=2时，取等号， aB=a5=2时，a4的最大值为2.故答案是：2.9.一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是 60°勺平面

13、所截，截面是一个 椭圆，那么该椭圆的焦距等于.；.【考点】椭圆的简单性质.【分析】利用条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可.【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一 个椭圆，那么这个椭圆的短半轴为：R,长半轴为: 亠8,/ a2=b2+c2, C=. J=2 .；,椭圆的焦距为二；故答案为：4.；.10设函数f (x)=迟2>1_ 2k - lj 玉< -1，那么当x<- 1时，那么ff (x)表达式的展开式中含x2项的系数是 60【考点】分段函数的应用.【分析】根据分段函数的解析式先求出ff (x)表达式，再根据利用

14、二项展开式 的通项公式写出第叶1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r,再代入系 数求出结果【解答】解：由函数f (x) = 当 x<- 1 时，f (x) = 2x - 1，此时 f (x) min=f (- 1 ) =2 -仁1， ff (x) = (- 2x- 1) 6= (2x+1) 6, I Tr+1=C6r2rXr，当r=2时，系数为C62>22=60, 故答案为：6011点M (20, 40)，抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,假设对于抛物线上的任 意点P, |PM|+|PF的最小值为41,那么p的值等于 42或22【考点】抛物线的简单性质.【分析】过

15、P做抛物线的准线的垂线，垂足为 D，那么|PF|=|PD|,当M (20, 40)=41,位于抛物线内，当M , P, D共线时，|PM|+|PF的距离最小，20+-=41,解得: p=42，当M (20, 40)位于抛物线外，由勾股定理可知: p=22或58,当p=58时，y2=116x,那么点M (20, 40)在抛物线内，舍去，即可求得p的值.【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离 =到准线的距离,过P做抛物线的准线的垂线，垂足为 D，那么|PF|=|PD|,当M (20, 40)位于抛物线内, |PM|+|PF|=|PM|+|PD|当M , P, D共线时，|PM|+|

16、PF的距离最小, 由最小值为41，即20=-=41，解得：p=42,当M (20, 40)位于抛物线外，当P, M , F共线时，|PM|+|PF取最小值，即.4：. =41，解得：p=22 或 58，由当p=58时，y2=116x,那么点M (20, 40)在抛物线内，舍去，故答案为：42或22.12. 当实数x, y满足x2+y2=1时,|x+2y+a|+|3 - x - 2y|的取值与x, y均无关，那么实数a的取范围是口，+.【考点】圆方程的综合应用.【分析】根据实数x, y满足x2+y2=1，设x=cos Q y=sin 0求出x+2y的取值范 围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y

17、+a|+|3-x - 2y|的值与x, y均无关时a的取 范围.【解答】解：实数x, y满足x2+y2=1 ,可设 x=cos 0 y=sin Q那么 x+2y=cos 0 +2sin Q=sin ( 0 +),其中 a =arctan2.- K x+2yw =,当 a> -时，|x+2y+a|+|3- x- 2y|= (x+2y+a) + (3- x- 2y) =a+3,其值与 x, y 均无关；实数a的取范围是.u, +x).故答案为：.二、选择题(每题5分，总分值20分)13. 在空间，a表示平面，m, n表示二条直线，那么以下命题中错误的选项是()A .假设m/ a, m、n不平

18、行，那么n与a不平行B. 假设 m/ a, m、n不垂直，那么 n与 a不垂直C. 假设m丄a, m、n不平行，那么n与a不垂直D. 假设m丄a m、n不垂直，那么n与a不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系.【分析】对于A，假设m/ a m、n不平行，那么n与a可能平行、相交或n?a,即 可得出结论.【解答】解：对于A，假设m / a, m、n不平行，那么n与a可能平行、相交或n?a, 故不正确.应选A.TT14.函数FG-一在区间0, a其中a>0上单调递增，那么实数a的取值范围是,D . 2k 兀兀哙,kNB*<【考点】正弦函数的单调性.【分析

19、】由条件利用正弦函数的单调性，可得 2a,求得a的范围.【解答】解：函数f幻帀in©汁晋在区间0, a其中a>0 上单调递增, 贝U 2a ,求得aw厂，故有0va-, 应选：B.15. 如图，在圆C中，点A、B在圆上，那么厂的值A .只与圆C的半径有关B. 既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C. 只与弦AB的长度有关D. 是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算.【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得 忑寻I雨丨1那么答案可求.【解答】解：如图，过圆心C作CD丄AB，垂足为D，贝厂=|胡卜|?cosZ CAB= 'F

20、i .- - ；的值只与弦AB的长度有关.应选：C.16. 定义f x =x其中x表示不小于x的最小整数为 取上整函数，例 如2.1=3 , 4=4 .以下关于 取上整函数性质的描述，正确的选项是f 2x =2f x; 假设 f (X1)=f (X2),那么 xi - X2V 1 ； 任意 Xi , X2 R, f (X1+X2) Wf(xi) +f (X2)； 二 f(2x)A B C D 【考点】函数与方程的综合运用.【分析】充分理解 取上整函数的定义如果选项不满足题意，只需要举例说明 即可【解答】解：对于，当X=1.4时，f f 2x) =f (2.8) =3.2, f (1.4) =4

21、 所以f (2x)丰2(x)；错.对于，假设f (X1) =f (X2),当X1为整数时，f (X1 ) =X1，此时X2>X1 - 1，即 X1 - X2V 1 .当X1不是整数时，f (X1) =X1 + 1 . X1表示不大于X1的最大整数.X2 表示比X1的整数局部大1的整数或者是和X1保持相同整数的数，此时-X1- X2 V 1.故正确.对于，当 X1，X2 Z，f ( X1 +X2) =f (X1) +f (X2)，当 X1，X2?Z，f ( X1+X2)V f (X1) +f ( X2)，故正确；对于，举例f (1.2) +f (1.2+0.5) =4工(2.4) =3.故

22、错误. 应选：C.三、解答题(本大题总分值76分)17. 在正三棱锥P-ABC中，底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为4.(1) 求证：PA丄BC ；(2) 求此三棱锥的全面积和体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和外表积；直线 与平面垂直的性质.【分析】(1)取BC的中点M，连AM、BM.由ABC是等边三角形，可得AM 丄BC.再由PB=PC，得PM丄BC.利用线面垂直的判定可得 BC丄平面PAM， 进一步得到PA丄BC ；(2)记0是等边三角形的中心，那么 P0丄平面ABC .由求出高，可求三棱 锥的体积.求出各面的面积可得三棱锥的全面积.【解答】(1)证明：取B

23、C的中点M，连AM、BM . ABC是等边三角形， AM 丄 BC.又 PB=PC, PM 丄 BC . AM? PM=M , BC丄平面PAM,那么PA丄BC ；(2)解：记0是等边三角形的中心，那么 PO丄平面ABC . ABC是边长为6的等边三角形，二也今骊冷冥6><爭二0.- - r-.i:'一厂弘區X "=9亦，二知-啟吉%敬叩0二6弋；隆二S底十S侧=9V3+3 Xy X 6 X盲曲屁审.18. 如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 A处，此时测得 其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正 东18

24、海里处.(1) 求此时该外国船只与D岛的距离；(2) 观测中发现，此外国船只正以每小时 4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处(E在B的正南方向)，不让其进入D岛12 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1 °,速度精确到0.1海里/小时).【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)依题意，在ABD中，/ DAB=60，由余弦定理求得DB ;(2)法一、过点B作BH丄AD于点H，在RtAABH中，求解直角三角形可得 HE、AE的值，进一步得到sin/EAH，那么/EAH可求，求出外国船只到达 E处 的时间t，由丄求得速度的最小值

25、.法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴.可 得A ,D ,B的坐标，设经过t小时外国船到达点.：. :-'，结合ED=12,得£10,叽®,列等式求得t，那么向乂閃二卑冬iQpl，AH 105.81"，再由求得速度的最小值.【解答】解：1依题意，在ABD中，/ DAB=60，由余弦定理得DB2=AD2+AB2 - 2AD?AB?cos60 =182+202 -2X18X15 >Cos60 =364，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；2法一、过点B作BH丄AD于点H，在 RtMBH 中, AH=10，二 HD=AD - A

26、H=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E,连结AE、DE，在RtADEH中，HE刃盯2 -旳亠砸，昭1皿-昭, 又AE刃吊十HE6打，HF9,2l sin/ EAH二西二乜，寸亏，贝UEAH=arcsirT41.81/外国船只到达点E的时间-' - I, .!小时.血 海监船的速度- ° 海里/小时.2又 90°- 41.81 °=48.2 °,故海监船的航向为北偏东48.2°,速度的最小值为6.4海里/小时.法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴. 那么A 0, 0 , D 18, 0 ,设经过t小时外

27、国船到达点肚3 必-4t|,又ED=12，得Eg 4街，此时上二丄咗朋切 09 小时.贝U-，一丄.一- ：-r .； 一 ,AH 1055监测船的航向东偏北41.81 °海监船的速度, 1 (海里/小时).419. 二次函数f (x) =ax2-4x+c的值域为0, +x).(1) 判断此函数的奇偶性，并说明理由；(2) 判断此函数在二，+ 的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；a(3) 求出f (x )在1, +上的最小值g ( a),并求g (a)的值域.【考点】二次函数的性质.【分析】(1)由二次函数f (x) =ax2- 4x+c的值域，推出ac=4,判断f (-1) M

28、f(1) ，f (- 1) f (1)，得到此函数是非奇非偶函数.(2) 求出函数的单调递增区间.设X1、X2是满足-:,.-.=二的任意两个数，列 出不等式，推出f ( X2)> f (X1),即可判断函数是单调递增.(3) f (x) =ax2- 4x+c，当阳*?I，即 Ova=2时，当禺*<1，即 a>2 时u au a求出最小值即可.【解答】解：(1)由二次函数f (x) =ax2-4x+c的值域为0，+x)，得a>0且4 at - 16=0猪，解得ac=4./ f (1) =a+c- 4，f (- 1) =a+c+4，a> 0 且 c> 0，从而

29、 f ( - 1) Mf(1)，f (1) f (1)，此函数是非奇非偶函数.(2) 函数的单调递增区间是 总，+X).设X1、X2是满足£>工?的任意两个 数，从而有 七-二 r吕?)，(七逹严-台2 .又a > 0，二 就七一石)>且3_石)，从而-1- '-7V. 7-2即3谥-1 4"仕，从而f (X2)>f (X1)，函数在，+ 上是 单调递增.2 2(3) f (x) =ax2 - 4x+c，又 a>0，“，x 1， +当 k仃二;>1,即 OvaW2时，最小值 g (a) =f (xo) =0当K仃鼻<1,即a

30、>2时，最小值爲(二F二卅厂4二且泄-mu aa100< a< 2冷Q2当Ov aW2时，最小值g (a) =0当 a>2 时，最小值 g(a)=a+- 4E (th +°°)a综上y=g (a)的值域为0，+x)2 220椭圆C:冷+分过点M (2, 0)，且右焦点为F (1，0)，过F a. b的直线I与椭圆C相交于A、B两点设点P (4, 3)，记PA、PB的斜率分别为 ki 和 k2.(1)求椭圆C的方程；(2)如果直线I的斜率等于-1,求出ki?k2的值；(3) 探讨ki+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出ki+k2的取值范

31、围.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)利用条件求出b,即可求解椭圆方程.fy=-甘 1(2)直线I: y= - x+1，设AB坐标，联立 .利用韦达定理以及斜率公式求解即可.(3)当直线AB的斜率不存在时，不妨设 A, B,求出斜率，即可；当直线 AB 的斜率存在时，设其为k,求直线AB : y=k (x - 1),联立直线与椭圆的方程组， 利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可. 2 2【解答】解：(1) a=2,又c=1,匚二, J.椭圆方程为+冷-二!.(2)直线 l: y= - x+1,设 A (X1, y1)B (x2, y2),y=- x+l2 /匚二13消 y 得 7x2

32、 8x - 8=0，有耳：十 x ，r a?-7rx2=_|Vi亍 -ya _ 3- j t - 2-_ 24 - x t _乂El 七 一4引 + */+西 P卽，B 1，(3)当直线AB的斜率不存在时，不妨设 A (1,3+a-，故 k1+k2=2.叶41-2)，当直线AB的斜率存在时，设其为k，那么直线AB : y=k (x - 1),设A (xi, yi)B x2，y2，- 12 2U 3消 y 得4k2+3 x2- 8k2x+ 4k2- 12 =0，4k2 -124k2+3y2 "3 北 7 kxj-k-S k 辺3 2k+ 上 二+ 二二 2 耳_4 呵- 4代1_4呂2 - 4k 耳？ _ 4直+w 2十S1-5k*