高等数学：06第一章 第6节 极限存在准则及两个重要极限

1、1要极限两个重极限存在准则第六节一、极限存在准则二、两个重要极限三、小结及作业2一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 3,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立

2、成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限4准则准则 如果当如果当),(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则1 和和准则准则 2称为称为夹逼准则夹逼准则.5例例1 1).12111(

3、lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn6记住结果：记住结果：11nnnlim)()(lim)(012aannnnnnn43212lim例例解：解：nnnnn4443214444nnlim而而44321nnnnnlim7x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单

4、调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM8例例3 3.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx94例例),()(321211nxaxxnnn设设.lim,nnxax求求001解：解：)(nnnxaxx211nnxax annxx1)(

5、2121nxa)1 (21aa1nnxx1即即,limAxnn设设存在，存在，nnxlim),(AaAA21由由,aA.limaxnn10AC二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 AOB 的面积圆扇形AOB的面积 AOC的面积,tan2121sin21xxx即即11,tansinxxx, 1sincos xxx即即,coslim10 xx. 1sinlim0 xxx

6、xxxcossin1112例例4 4.cos1lim20 xxx 求求解解22022xxxsinlim原式原式220)2(2sinlim21xxx 说明：说明：）更一般形式：）更一般形式：（1,)()(sinlim)(10 xfxfxf1330 xxxsinlim如如）不要混淆：）不要混淆：（2sinlim0.xxx例例3 3xxxtanlim0 xxxxcossinlim101111320)22sin(lim21xxx 2121 .21 5例例.arcsinlimxxx0解解:,arcsin xt 令令,sintx 则则原式tttsinlim0tttsinlim10114(2)exxx )1

7、1(lim存在：存在：先证先证nnn)(lim11nnnx)(11设设2121111nnnnn!)(!).()(!)(!nnnnnn1121111112111nnnnnnn1!)1()1( 15).11 ()221)(111 ()!1(1)111 ()221)(111 (!1)111 (! 21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,16.)11 (limexxx可证：可证

8、：注：注：exxx1011)(lim）等价形式：）等价形式：（exfxfxf)()()(lim1012）一般形式：）一般形式：（例例6 6xxx231)(lim6331xxx)(lim6331)(limxxx6e17 鹦鹉螺的贝壳像对数螺线 菊的种子排列成对数螺线 鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物 昆虫以对数螺线的方式接近光源 蜘蛛网的构造与对数螺线相似 旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12。 低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线 对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在

9、对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。 18例例7 7.)(limxxx521求求解解10221)(limxxx原式原式10 e例例8 8xxxxcot)(lim110 xxxxxxxxxsincos)(lim12210121xxxxxxxxxsincos)(lim122101212e199例例.)cos(sinlimxxxx112211xxxx)cos(sinlim221xxx)sin(limxxxxx22212

10、1sinsin)sin(lime2010例例 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e21三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 22作业作业5561P习题)5 , 3 , 2(4),4 , 2 , 1 (2),6 , 5 , 4 , 3( 123思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 24思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319

11、lim xxxxx 313311lim9990 e25._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc26xxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、27 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22,