高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综合检测 苏教版选修21

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5第第 2 2 章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分把答案填在题中横线上)1.椭圆x220y2k1 的焦距为 6，则k的值为_解析：由已知 2c6，c3，而c29，20k9 或k209，k11 或k29.答案：11 或 292.双曲线mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m_.解析：由题意知，mb0)，则有2b2a 2a2cc1，即2b2a 2，b2c1，得e22.答

3、案：224.与x24y21 有相同的渐近线，且过m(4， 3)的双曲线方程为_解析：设方程为x24y2(0)，将m(4， 3)代入方程得4，所以方程为x24y21.答案：x24y215.已知双曲线 3x2y29，则双曲线右支上的点p到右焦点的距离与点p到右准线的距离之比等于_解析：即求离心率，双曲线化为标准方程x23y291，可知a 3，ca2b2 392 3，eca2 332.答案：26.若抛物线y22px的焦点与椭圆x26y221 的右焦点重合，则p的值为_解析：椭圆x26y221 的右焦点为(2，0)，而抛物线y22px的焦点为(p2，0)，则p22，故p4.答案：46 e d b c

4、3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3

5、5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 57.设o为坐标原点，f为抛物线y24x的焦点，a是抛物线上一点，若oaaf4，则点a的坐标是_解析：由题意得f(1，0)，设a(y204，y0)，则oa(y204，y0)，af(1y204，y0)，由oaaf4，解得y02，此时点a的横坐标为y2041，故点a的坐标是(1，2)答案：(1，2)8.设p是椭圆x225y2161 上的任意一点，又点q的坐标为(0，4)，则pq的最大值为_解析：设p的坐标(x，y)，则pq2x2(y4)225(1y216)

6、(y4)2916(y649)26259(4y4)，当y4 时，pq2最大，此时pq最大，且pq的最大值为25（14216）（44）28.答案：89.以双曲线x29y2161 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_解析：由题意知圆心坐标应为(5，0)又因为点(5，0)到渐近线y43x的距离为 4，所以圆的方程为x2y210 x90.答案：x2y210 x9010.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为 3，则这个椭圆方程为_解析：由题意知ac 3ca12，解得a2 3c 3，椭圆方程为x212y291 或y212x291.答案：x21

7、2y291 或y212x29111.已知两点m(2，0)，n(2，0)，点p为坐标平面内的动点，满足|mn|mp|mnnp0，则动点p(x，y)的轨迹方程为_解析：设p(x，y)，m(2，0)，n(2，0)，则mn(4，0)，|mn|4，mp(x2，y)，np(x2，y)；由|mn|mp|mnnp0，得 4 （x2）2y24(x2)0，化简整理得y28x.答案：y28x12.设过点p(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a，b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点， 若bp2pa且oqab1， 则点p的轨迹方程是_解析：设p(x，y)，则q(x，y)，又设a(a，0)，b(0

8、，b)，则a0，b0.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8

9、 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5于是bp(x，yb)，pa(ax，y)，由bp2pa可得a32x，b3y，所以x0，y0.又ab(a，b)(32x，3y)，由oqab1 可得32x23y21(x0，y0)答案：32x23y21(x0，y0)13.抛物线y2x上存在两点关于直线ym(x3)对称，则m的取值范围是_解析：法一：设两对称点的坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab所在直线的方程可设为：y1mxb，代入y2x，得y2mymb0

10、，y1y2m，且m24mb0.设a、b的中点为(x0，y0)，则y0y1y22m2，又a、b的中点在直线ym(x3)上，所以x052，又(x0，y0)在直线y1mxb上by01mx0m252m，代入并整理得：m210， 10m 10，m的取值范围是( 10， 10)法二：设两对称点的坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a、b的中点为(x0，y0)，依题意，则有：y21x1y22x2y1y2x1x21my1y22y0，x1x22x0y0m（x03）y20 x0得：(y1y2)(y1y2)x1x2，将代入上式得：y0m2，将代入得：x052，将代入得m2252，m210， 10m 10.m

11、的范围是( 10， 10)6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d

12、 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5答案：( 10， 10)14.已知f1，f2为双曲线x2a2y2b21(a0，b0 且ab)的两个焦点，p为双曲线右支上异于顶点的任意一点，o为坐标原点下面四个命题：pf1f2的内切圆的圆心必在直线xa上；pf1f2的内切圆的圆心必在直线xb上；pf1f2的内切圆的圆心必在直线op上；pf1f2的内切圆必通过点(a，0)其中真命题有_(写出所有真命题的代号)解析：设pf1f2的内切圆分别与pf1，pf2切

13、于点a、b，与f1f2切于点m，则papb，f1af1m，f2bf2m，又点p在双曲线右支上，所以pf1pf22a，故f1mf2m2a，而f1mf2m2c，设m点坐标为(x，0)，则由f1mf2m2a可得(xc)(cx)2a解得xa，显然内切圆的圆心与点m的连线垂直于x轴，故正确答案：二、 解答题(本大题共 6 小题， 共 90 分， 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)15.(本小题满分 14 分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶 4 m 时，水面宽 8 m.(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；(2)若水面上升 1 m，求水面宽度解：(1)如图，以拱顶为原点，水平线为x轴，建

14、立坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)由已知条件可知，点b的坐标是(4，4)，代入方程，得 422p(4)，即p2.所以，所求抛物线标准方程是x24y.(2)若水面上升 1 m，则y3，代入x24y，得x24(3)12，x2 3，所以这时水面宽为 4 3 m.16.(本小题满分 14 分)已知双曲线过点(3， 2)， 且与椭圆 4x29y236 有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程解：(1)把椭圆方程化为标准形式为x29y241，焦点坐标为f1( 5，0)，f2( 5，0)故设双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则a2

15、b259a24b21，解得a23b22，故所求双曲线的标准方程为x23y221.(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x3 55，即为抛物线的准线方程故设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则有p23 55，故p6 55.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7

16、 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5所以抛物线的标准方程为y212 55x.17.(本小题满分 14 分)已知双曲线x29y2271 与点m(5，3)，f为右焦点，试在双曲线上求一点p，使pm12pf最小，并求出这个最小值解：双曲线的右焦点f(6，

17、0)，离心率e2，右准线为l：x32.作mnl于n，交双曲线右支于p，连结fp，则pfepn2pnpn12pf.此时pm12pfpmpnmn53272为最小值在x29y2271 中，令y3，x212x2 3；又x0，取x2 3.即当所求p点的坐标为(2 3，3)时，pm12pf取最小值72.18.(本小题满分 16 分)已知f1，f2是椭圆c：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦点， 点n( 2，1)在椭圆上，线段nf2与y轴的交点m满足nmf2m0 0；(1)求椭圆c的方程；(2)设p为椭圆c上一点，且f1pf23，求f1pf2的面积解：(1)由已知，点n( 2，1)在椭圆上，有2a21

18、b21，又nmf2m0 0，m在y轴上，m为nf2的中点， 2c0，c 2.有a2b22，由，解得b22(b21 舍去)，a24，故所求椭圆c的方程为x24y221.(2)设pf1m，pf2n，则sf1pf212mnsin334mn.由椭圆的定义知pf1pf22a，即mn4.又由余弦定理得pf21pf222pf1pf2cos3f1f22，即m2n2mn(2 2)2.由2，得mn83，sf1pf2233.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8

19、 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 519.(本小题满分 16 分

20、)已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a是抛物线上横坐标为 4，且位于x轴上方的点，a到抛物线准线的距离等于 5.过a作ab垂直于y轴，垂足为b，ob的中点为m.(1)求抛物线方程；(2)过m作mnfa，垂足为n，求点n的坐标；(3)以m为圆心，mb为半径作圆m，当k(m，0)是x轴上一动点时，讨论直线ak与圆m的位置关系解：(1)抛物线y22px的准线为xp2，于是 4p25，p2.抛物线方程为y24x.(2)点a的坐标是(4，4)，由题意得b(0，4)，m(0，2)，又f(1，0)，kfa43；mnfa，kmn34，则fa的方程为y43(x1)，mn的方程为y234x.解方程组y43（

21、x1）y234x，得x85y45，点n的坐标为(85，45)(3)由题意得，圆m的圆心是点(0，2)，半径为 2.当m4 时，直线ak的方程为x4，此时，直线ak与圆m相离，当m4 时，直线ak的方程为y44m(xm)，即为 4x(4m)y4m0，圆心m(0，2)到直线ak的距离d|2m8|16（m4）2，令d2，解得m1.当m1 时，直线ak与圆m相离；当m1 时，直线ak与圆m相切；当m1 时，直线ak与圆m相交20.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3

22、 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(本小题

23、满分 16 分)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x29y251 的左、右顶点为a、b，右焦点为f.设过点t(t，m)的直线ta、tb与此椭圆分别交于点m(x1，y1)、n(x2，y2)，其中m0，y10，y20.(1)设动点p满足pf2pb24，求点p的轨迹；(2)设x12，x213，求点t的坐标；(3)设t9，求证：直线mn必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)解：由题设得a(3，0)，b(3，0)，f(2，0)(1)如图，设点p(x，y)，则pf2(x2)2y2，pb2(x3)2y2.由pf2pb24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x92.故所求点p的轨迹为直线x92.(2)如图，由x12，x219y2151 及y10，得y153，则点m2，53 ，从而直线am的方程为y13x1；由x213，x229y2251 及y20，得y2209，则点n13，209 ，从而直线bn的方程为y56x52.由y13x1，y56x52，解得x7，y103.所以点t的坐标