高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算训练案 北师大版选修21

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 52.62.6 距离的计算距离的计算,学生用书单独成册)a.基础达标1若a(3cos，3sin，1)，b(2cos，2sin，1)，则|ab|的取值范围是()a0，5b1，5c(1，5)d1，25解析：选 b.|ab| （2cos3cos）2（2sin3sin）2 9412coscos12sinsin 1312cos（），因为1cos()1，所以 1|ab|5.2正方体abcda1b1c1d1中，棱长为 2，则异面直线ac与a1d的

3、距离为()a.2 33b.33c. 2d1解析：选 a.建立如图坐标系，连接b1c，ab1，因为a1d平面ab1c，所以异面直线ac与a1d的距离为a1到平面ab1c的距离d(0，0，0)，a(2，0，0)，c(0，2，0)，b1(2，2，2)，a1(2，0，2)，ac(2，2，0)，ab1(0，2，2)，aa1(0，0，2)设n n(x，y，z)为平面ab1c的法向量，由n nac0，n nab10得：xyz， 可取n n(1， 1， 1)， 故a1到平面acb1的距离为|aa1n n|n n|2 33.3若正四棱柱abcda1b1c1d1的底面边长为 1，ab1与底面abcd成 60角，则

4、a1c1到底面abcd的距离为()a.33b1c. 2d. 3解析：选 d.以d为坐标原点，da，dc，dd1为x，y，z轴正向建立坐标系，c(0，1，0)，c1(0，1， 3)，a(1，0，0)，cc1(0，0， 3)，ac1(1，1， 3)，易知c1c平面abcd，可取cc1为平面abcd的法向量，故a1c1到平面abcd的距离为|cc1ac1|cc1| 3.4把边长为a(a0)的正abc沿高线ad折成 60的二面角，则点a到bc的距离是()aab.62a6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e

5、d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d

6、4 4 3 5 f 3 7 5c.33ad.154a解析：选 d.建立如图所示的空间直角坐标系，因为正abc边长为a，所以|bd|dc|a2，所以b(a2，0，0)，a(0，0，32a)，c(a4，34a，0)，所以ba(a2，0，32a)，bc(a4，34a，0)与bc同向的单位向量为s s0(12，32，0)所以d|ba|2|bas s0|2154a.5正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a，则平面ab1d1到平面bdc1的距离为()a. 2ab. 3ac.23ad.33a解析：选 d.明显a1c平面ab1d1，以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴建立空间直角坐标系，则平面

7、ab1d1的一个法向量为n n(1，1，1)，a(a，0，0)，b(a，a，0)，ba(0，a，0)，则两平面间的距离为d|ban n|n n|a333a.6已知点a(1，2，1)，b(1，3，4)，d(1，1，1)，若ap2pb，则空间p，d两点间的距离为_解析：设p(x，y，z)，由ap(x1，y2，z1)2pb2(1x，3y，4z)(22x，62y，82z)，得x122x，y262y，z182z，即x13，y83，z3，故|pd|（131）2（831）2（31）2773.答案：7737三棱锥sabc中，sa平面abc，abac，且asabac2，d是sa的中点，则点d到bc的距离为_解析

8、：如图所示，建立空间直角坐标系，则d(0，0，1)，b(2，0，0)，c(0，2，0)，所以bd(2，0，1)，bc(2，2，0)，所以bd在bc上的投影长为|bcbd|bc|42 2 2，故d到bc的距离为|bd|2（ 2）2 3.6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5

9、 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5答案： 38已知abca1b1c1是各条棱长均等于a的正三棱柱，d是侧棱cc1的中点，则点c1到平面ab1d的距离为_解析： 建立如图所示的空间直角坐标系， 则a(0， 0， 0)，b(32a，12a

10、，0)，b1(32a，a2，a)，d(0，a，a2)，c1(0，a，a)，设平面ab1d的法向量为n n(x，y，z)，则n nod0，n nob10，即aya2z0，32axa2yaz0.所以2yz0，3xy2z0，取z2，则y1，x 3，所以n n( 3，1，2)，c1d(0，0，a2)，则点c1到平面ab1d的距离为|n nc1d|n n|24a.答案：24a9.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体abcdabcd，且abad1，bb2，m，n分别是ad，dc的中点，求直线ac与直线mn的距离解：依据长方体的性质可知acmn，故两直线间的距离为点m到直线ac的距离由题意得ac(1，1，0

11、)，am(0，12，2)所以点m到直线ac的距离d|am|2|amac|ac|217418664.10如图，在四棱锥sabcd中，adbc且adcd，平面csd平面abcd，csds，cs2ad2，e为bs的中点，ce 2，as 3.求点a到平面bcs的距离解：如图，以s(o)为坐标原点，od、oc所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系设a(xa，ya，za)，因平面cod平面abcd，adcd，故ad平面cod，即点a在xoz平面上，因此ya0，za|ad|1.又x2a12|as|23，xa0，解得xa 2.从而a( 2，0，1)因adbc，故bc平面csd，即平面bcs与平面yoz重

12、合，从而点a到平面bcs的距离为xa 2.b.能力提升6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1

13、 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 51空间直角坐标系中(o为坐标原点)，在坐标平面xoy上到点a(3，2，5)，b(3，5，1)距离相等的点有()a1 个b2 个c不存在d无数个解析：选 d.过ab的中点(3，72，3)且以ab(0，3，4)为法向量的平面上的点到a、b的距离相等2在棱长为 1 的正方体abcda1b1c1d1中，p，q分别为线段bd1，cc1上的动点，则pq的最小值为()a. 2b.33c. 3

14、d.22解析：选 d.pq的最小值即为异面直线cc1，bd1间的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b(1，0，0)，d1(0，1，1)，c(1，1，0)，c1(1，1，1)，所以bd1(1，1，1)，cc1(0，0，1)，设q(1，1，z)，z0，1，令bpbd1(0，1)，则bp(，)，所以opobbp(1，)，pqoqop(，1，z)，因为pqbd10，pqcc10，所以1z0，z0，所以z12，即p(12，12，12)，q(1，1，12)，故|pq|（112）2（112）2（1212）222.3如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若

15、二面角b1dcc1的大小为 60，则ad的长为_解析：建立如图坐标系，设|ad|，c(0，0，0)，d(1，0，)，b(0，2，0)，b1(0，2，2)，cd(1，0，)，cb1(0，2，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1

16、9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 52)，cb(0，2，0)为平面c1dc的法向量，设n n(x，y，z)为平面b1dc的法向量，由n ncd0，n ncb10 得：xz0，yz0，可取n n(，1，1)则n ncb|n n|cb|2222cos 60，得 2.故|ad| 2.答案

17、： 24在棱长为 1 的正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱a1b1，bb1的中点，则异面直线am与cn的距离为_解析：以d为坐标原点， 以da，dc，dd1为x，y，z轴正向建立坐标系，在线段ab上取点e，使|be|14|ab|，易得neam，则am平面enc，则异面直线am与cn的距离等于m到平面enc的距离，e(1，34，0)，n(1，1，12)，c(0，1，0)，m(1，12，1)，en(0，14，12)，ec(1，14，0)，em(0，14，1)，设n n(x，y，z)为平面enc的法向量，由n nen0，n nec0 得y2z4x，可取n n(1，4，2)，故am与cn

18、的距离为|n nem|n n|217.答案：2175已知正方形abcd的边长为 1，pd平面abcd，且pd1，e，f分别为ab，bc的中点(1)求点d到平面pef的距离；(2)求直线ac到平面pef的距离解：(1)建立以d为坐标原点，da，dc，dp分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示则p(0，0，1)，a(1，0，0)，c(0，1，0)，e(1，12，0)，f(12，1，0)，ef(12，12，0)，pe(1，12，1)，设平面pef的法向量n n(x，y，z)，则n nef0 且n npe0，6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f

19、3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5所以12x12