高等数学：12_8 周期为2l的傅立叶级数

1、1一般周期函数的傅立叶级数12.8 2l一、周期为的周期函数的傅立叶级数二、傅立叶级数的复数形式(选学)22( )lf x周期为函数( )2F z周期为函数xzl变量代换( )F z求的傅里叶级数展开式( )xzf xl的傅里叶级返代，得数展开式2l一、周期为的周期函数的傅立叶级数301( )cossin2( )()()21( )cos(0,1,2,)1( )si2nnnnlnllnlf xan xn xabllf xffn xaf xdxlllnn xbfxxdxxxlxl设周期为的周期函数满足收敛定理条件，则它的傅里叶级数收敛，且有为连续点为间，其中，断点.定定理理4xzl证：令，, ,

2、.xl lz 则由( )( )()lzF zf xf记，则(2 )(2 )(2 )()( )l zlzlzF zfflfF z2.( )F z是以为周期的周期函数，且满足即收敛定理条件，( )F z 的傅里叶则级数收敛，且有11( )cos( )sinnnaF znzdzbF znzdz其中，01cossin2( )()()2nnnaanzbnzFFzzzfzz为连续点，为间断点.5( )( ).xzF zf xl令，并注意到011( )cos(0,1,2,)1( )sin(1,2,)cossin2( )()()2lnllnlnnnn xaf xdxnlln xbf xdxnllan xn x

3、abllf xxxffxx为连续点则，为间断点.证毕601( )2( )sinsin(1 2,( ),)lnnnn xbf xn xbf xdxnllxlf的傅里叶若为奇函数，则其中级为，数010( )2( )cos(0,1,2,(cos2)lnnnan xaf xn xaf xdfxnllxl的傅里叶若为偶函数，则级其中为，数( )( )( )()().2xf xf xxf xf xf x无论哪种情况，若 为在连续点，傅立叶级数 收敛于；若 为在间断点，傅立叶级数 收敛于注注：7( )sin1.E tEt例交流电压经半波整流后负压消失，试求半波整流函数的傅立叶级数，2,00,( )sin,0

4、f tEtxt 解：这个半波整流函数的周期是，它在上的表达式为0sincosnaEtn tdt0sin(1)sin(1)2Entnt dt10sin202Eatdtto)(tf2280sin(1)sin(1)2nEantnt dt2,3,n 时，111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn20,21(,1,)22 (1 4)0nkkEnkk11cos(1)cos(1)2(1)(10)Entntnn10sin202Eatdt910sinsinbEttdt0cos(1)cos(1)2Entnt dt0sin(1)sin(1)02(1)2,3,(1)nEtbnnnntn

5、时，0sinsinnbEtn tdt0(1 cos2)2Et dt2E10),)(f t 由于半波整流函数在上连续，由收敛定理得2121( )sincos2()21 4kEEEf ttk ttk 210,21(0,1,)22 (1 4)0 (2,3,)2nnnkakEnkkEbbn，直流部分直流部分交流部分交流部分to)(tf2211( ), f xxl l ，周期延拓周期延拓( ), )( )2(2),f xxl lF xlf xk ，以其它为周期傅立叶展开傅立叶展开( )l lf x 定定义义在在- ,- ,上上的的的的傅傅里里叶叶级级数数展展开开( )F x 的傅里叶级数展开( ), f

6、 xl l在上的傅里叶级数展开限制限制12( )0, f xxl，( ),(0, ( )0,0(),(,0)f xxlF xxfxxl ( )F x周期延拓( ),(0, ( )(),(,0)f xxlF xfxxl 奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xoy( )0, f xl在上展成正弦级数xoyl 在在0,0,上上的的函函数数展展成成正正弦弦级级数数与与余余弦弦级级数数( )F x周期延拓( )0, f xl在上展成余弦级数132(1)(2).( )(02)f xxx例把展开成正弦级数余弦级数( )f x解：(1)将作奇周期延拓，则有2oyx0(0,1,2,)nan202sin22nn xbxdx2

7、2022cossin22n xn xxnnnncos414( 1)(1,2,)nnn114( 1)( )sin2(02)nnxn xf xn14(2)( )f x将作偶周期延拓2oyx0(1,2,)nbn202cos22nn xaxdx22022sincos22n xn xxnn224( 1)1nn 220,2(1,2,)8,21(21)nkknkk200222axdx22181(21)( )1cos(21)2)20kxkxf xxk15( ) , f xxa b，方方法法1 1.22babaxzzx令，即，( )( )()222baba baF zf xf zz ，( )22ba baF z

8、上展成傅在，立叶级数周期延拓周期延拓2bazx将代入展开式( ) , f xa b 上展在成傅立叶级数 , a b 函函数数定定义义在在任任意意有有限限区区间间上上时时展展开开傅傅立立叶叶级级数数16( ) ,2f xxa b方，法( )( )(),0,F zf xf zazba( )0,F zba上展成正弦或在余弦级数奇延拓或偶延拓奇延拓或偶延拓zxa将代入展开式( ) , f xa b 上的正在弦或余弦级数xzazxa令，即，17( )10(5153.)f xxx例将函数展成傅立叶级数10( )( )(1( 55).0)zxF zf xfzzz，解：令设z)(zF550(0,1,2,)nan502(sin)55nn zbzdz10( 1)(1,2,)nnn 110( 1)( )sin( 55)5nnn zF z