线性代数同济六版知识点总结归纳

1、暮葺=«U«221. 二阶行列式2. 三阶行列式?11对角线法则a2 1 a 22 a 23a3 1 a32 a33对角线法则二 8118228+ a 1 2a 2383 1 + 81 S8 2 183 2 81 18 2 38 32 8 1 28 2 18 33 8 1 38 2 Q 31 按行（列）展开法则3. 全排列：n个不同的元素排成一列。所有排列的种数用几 表示，=n !逆序数：对于排列E儿小，如果排在元素前面，且比卩大的元素个数有个, 则乩这个元素的逆序数为人。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列:逆序数为偶数的排列。n个

2、元素的所有排列中，奇偶各占一半，即二4.对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性a 12a 228238 13823833八（一1）t (jj 2j3)a1j1a2j283j其中:川人是1,2,3的一个排列,t( J'/;)是排列5.a1 1a2 18226.下三角行列式对角行列式：入1式的性质:an 1an2a nn二 a1 1a22.ann副三角跟副对角相识行列副对角行列式：入1入2行列式与它的转= 入1入2置行列式相等.（转置：行变列，列变行）n(n .1)二(-1)2 入 1 入2入 n。D= »互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论：两行（列）相同的行

3、列式值为零。互换两行：厂仃 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数 k,等于用数k乘此行列 式。第i行乘k：匚x k推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式 之和。如： 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去， 行列式的值不变。如第j列的k倍加到第i列上：门 Z7. 重要性质：利用行列式的性质 心）或*，可以把行列式化为上（下）a 1 l' J三角行列式，从而计算n阶 行列式的值。（P11页例7）8. 行列式按

4、行（列）展开法则（*重要*） 重要概念：余子式：在n阶行列式中，把元素aj所在的第i行和第j列划去，剩下的 （n ?1 ）2个元素按原来的排法构成的n ? 1阶行列式叫做aij的余子式，记为M代数余子式：记 A = （ ?1 ）i+j Mij为元素aij的代数余子式。 重要性质，定理1 ）第i行各元素的余子式，代数余子式与第i行元素的取值无关。2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与Daii Aiai2 A2''An或 D = aij Aij'a2j Aj''anj Anj其对应的代数余子式乘积之和，即：或推论：行列式某一行（

5、列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘 积之和等于零.即或使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0 元素a，并将该行其他元素通过性质化为0,则D = ay Aj9. 利用Cramer法则求解n个n元线性方程组：若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0,则无解其中门勺=1,2n）是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右边的常数项代替 后所得到的的n阶行列式5 L ' 1 f'即：对于齐次线性方程组，如果系数行列式 D工0 ,则该方程组只有零解，若 D= 0, 则存在非零解。第二章1.矩阵相关的概念： ： I、其广

6、番!>'矩阵：由 论n个数 5 （i=1,2,m; j=1,2,n）排成的m行n列的数表（是 一组数）。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B :矩阵A和矩阵B为同型矩阵，且对应的元素相等。零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为Q不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵：对角线元素为 人S川卫n，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素 为1,其余元素为0的方阵,2. 矩阵的运算2）数与矩阵相乘油12IIIQn= AZ =，一 a2i油22III32nJ"IIIIIIIIIl'am1-am1III人amn起来。满足

7、交换律和结合律1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B等于对应元素相加()A = (I A)，()A 二 A ' A (A B) = A 丁 x.B3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；九、八小"乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列 数；即：乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j£、I t "J" I行元素对应相乘再相加。、亠"、'注意：一般情况下：AB工BA。但是满足结合律和分配律。EA = AE = A4)矩阵的幕：若 A是n阶方阵

8、，贝y：AkAi = Ak+ (A*)1 = Akl；'一i /P A .1 /V /if 屮 打屮 1 显然：(AB)k = AkBk宀(A + B)2 = A? + 2AB + B2» a b可交换时才成立(A+ B)(A _ B)= A2 _ B23.矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作AT .At如:（1 2 2、A =(4) (AB)t -8BtAt.性质：（4 5 8丿（3）（九A）T = »AT;设A为n阶方阵，如果满足：，即"邛 7 ,则A为对称阵如果满足： -屮，即J 一 J ,则A为反对称阵4. 方阵的行列式：由n阶

9、方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A的行列式，记作 | A| 或 det A性质： I At|=| A |, | A n | A |, I AB |=| A | B |5.伴随矩阵：其中M是5的代数余子式，A*称为A的伴随矩阵。（特别注意符号）A11A216.逆矩阵：逆，"1 AnJ对于AAa 注意：元素化的代数余子式J是位于A1nA2nIIIn：2阶方阵A，2如果有n阶方阵B使得AB = BA = E，则称A可 的第j行第i列（类似于转置）性质：荷 八儿 祖丨上 B为A的逆矩阵，记为。且A的逆矩阵是唯一的。Ann推论：若J工0，则“'.：。此时称A为非奇异矩阵。若V 11

10、，则称A为奇异矩阵。> :!判断方阵A是否可逆：H 工0 A可逆，且逆矩阵八八 '/I二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。 单位矩阵E是可逆的卜 / -零矩阵是不可逆的。对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么八'、屮、入A （入工0）、AB也可逆 1 1且：（A）= A,（At）=（A）t,（ 5）用逆矩阵求解线性方程组：已知AXB L，若AB可逆，贝卩、八1 （A在X左边，则""必须在C左边，B也如此）7. 矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进 行分块；每一个小

11、块称为矩阵的 子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）1 ）加法：要求矩阵A和B是同型矩阵，且采用相同的分块法（即相对应的两个子块也是同型的）2）分块矩阵A的转置：除了 A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。8. 分块对角矩阵:设A是n阶矩阵，若:A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,A)其余子块都为零矩阵 对角线上的子块都是方阵则称A为分块对角矩阵。A，性质： | A | = | Ai | |若| A |工0,则A T - II A I 工0,并且'、F MA/分块副对角矩阵:A = O的充分必要条件：川'

12、（丿第三章1. 初等行变换：（运算符号：-）-注意与行列式的运算加以区分-I J,互换两行，记做仃第i行乘以非0常数k,记做八从 第j行的k倍 |:.I . I 'X二 > ." F »加到第i行上，记做"丿2. 若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵 B,则称A与B等价，记做 ”A> if "小的充要条件是存在 m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q ,使PAQ3. 矩阵之间等价关系的性质：反身性： ' “对称性：若"，则匕 ' 传递性：若I"，贝4. 行阶梯形矩阵：1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零;2）每

13、个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素行最简形矩阵：4）非零行的首非零元为1；5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5. 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。（是可逆的）1） 单位矩阵对换i ， j行，记作he " mj）2）以常数k工0乘单位矩阵第i行（列），记作卜“心山!1 =為（咗）；-' 1 .：W I/:/3）以 k乘单位矩阵第j行加到第i行，记作（订- fc）二.'I j I*、1L'性质1:左行右列设 A是一 -个n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在 A的左边乘以相应的 m阶初等矩 阵；对A施行一次初等列变换

14、，相当于在 A的右边乘以相应的n阶初等矩 阵.性质2：方阵A可逆的充要条件A是存在有限个初等矩阵R, P,，R,使A= PiP2 ，P .推论：方阵A可逆的充要条件 是rr如果，则存在可逆矩阵P,使PA = B。? 2上“；：即当A变换成B是 时，E变为P （求P）求方阵A的逆矩阵方法总结:方法1:判断A可不可逆：若帆 0? A可逆-书中P41页/I - '：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法2：本身蕴含了判断A可不可逆的条件，即 E 卜;?A可逆 - 书中P64页例2 r爪门"祖一：即对矩阵(A,E)进行初等行变换，当A变成E时，E就变 成了所求的1 _ 1求W：该

15、方法用来求方程组讥 ” ? V. 1 - 1 H 若”，可先化为rAtXt = Bt方法：；几旳 打"八心：即对矩阵(A,B)进行初等行变换，当 A变成E 时，B就变成了所求的1 _ J?二、矩阵的秩1. k阶子式：在 mx n矩阵A中，任取k行k列(k < m, k< n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的 k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.mx n矩阵A的k阶子式共有C幕化个2. 矩阵的秩：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有r +1阶子式(如果存在的话)全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称< | r；X

16、)为矩阵A的秩，记作R(A)。零矩阵的秩等于0。常用：1) 对于n阶方阵A, R(A) = n (称A满秩)？祖 ° ? A可逆2) 若",则R(A) = R(B)T求秩方法：将矩阵化为行阶梯3) 对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数g阵4) 贋广"5) 若 P、Q可逆，则 R(PAQ) = R(A) ( ." HZ 1$)即：可逆矩阵与任何矩阵 A相乘，都不会改变所乘矩阵 A的秩6) max R(A), R(B) < R(A, B) < R(A) + R(B)当B = b为非零列向量时，R(A) < R(A, B) < R(

17、A) + 17) R(A+B) < R(A) + R(B)8) R(AE) < min F(A), F(B)3. 线性方程组的解? I- ' -I i- r；?卜, f： 1 卜n元非齐次线性方程组认 力 -P75 页例13 P79页17题1) 无解军?卜:；丿"；/!有唯一解1有无限解2) 有解？心n元齐次线性方程组涂 有非零解？ R(A ) < n第四章 x_. *"厂小 ；/一、向量组及线性组合1. n维向量：n个有次序的数ai , a2 ,a n所组成的数组。这n个数称为该向量n个分量,第i个数ai称为第i个分量.2.3.向量组：若干个同维

18、数的列向量(行向量)所组成的集合给定向量组A：ai, a2,am，对于任何一组实数ki,k?,k m，表达式k1a1 + k2a2 + +km am称为向量组A的一个线性组合。k1, k2,，km称为这个线性组合的系数.4. 给定向量组A： ai, a2,am和向量b,如果存在一组实数h, b,，使得b = liai + 上2 + +lm am则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量b能由向量组A的线性表示.向量b能由向量组A的线性表示？ R(A) = R(A, b) ?方程组xiai + x2a2 +Xm am = b 有解5. 设有向量组A： ai, a2,am及B： 3, b2,bi

19、,若向量组B中的每个向量都 能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组 A线性表示.若向量组A与向量组B能互相线性表 示，则称这两个向量组等价.两个向量组等价 ？ R(A) = R(B) = R(A, B)6. 向量组B能由向量组 A线性表示 ？存在矩阵K,使B = AK ?矩阵方程AX=B 有解? R(A) = R(A,B) ? R(B) < R(A)(这是必要条件)二、向量组的线性相关性1. 给定向量组A： ai, a2,am，如果存在不全为零的实数ki,転 km ,使得kiai + k2a2 + +km am =0 (零向量)则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的.2.

20、只含一个向量a的向量组A，当a = 0时，A线性相关；a工0时，A线性无关 只含两个向量ai, a2的向量组A,线性相关？ ai, a?的分量对应成比例。向量组A： ai, a2,am(m丝)线性相关？向量组A中至少存在一个向量能由其余 m-1个向量线性表示。3. 向量组A线性相关？ m元齐次线性方程组Ax = 0有非零解？ R(A) < m向量组A线性无关 ？ m元齐次线性方程组 Ax = 0只有零解？ R(A) = m4. n维单位坐标向量组E: e-i, e2,，£，是线性无关的，且是最大的线性无关组之。维单位坐标向量组E: ©, ez,，nd能由向量组A ai

21、, a?,a m线性表示？R(A) = n5. 定理1)若向量组 A :ai,a2,，am线性相关，则向量组 B : ai,&,，aman+i也线性相关.其逆否命题也成立，即若向量组 B线性无关，则向量组 A也线性无关.2）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数 m时，一定线性相关.特别地，n + 1个n维向量一定线性相关.3）设向量组 A :ai,a?,，am线性无关，而向量组B :ai,a?,，am,b线性相关，则向量b必能由向量组 A线性表示，且表示式是唯一的三、向量组的秩1. 设有向量组 A，如果在 A中能选出r个向量ai, &,&，满足向量组A： ai

22、, a2,，ar线性无关；向量组A中任意r + 1个向量（如果 A中有r + 1个向量的话）都线 性相关；那么称向量组 A是向量组A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组. 最大无关组所含向量个数 r称为向量组 A的秩，记作 甩。FA <向量组A 中向量的个数只含零向量的向量组没有最大无关组，秩 二0。2. 向量组A和它自己的最大无关组 A是等价的.< | I推论：向量组A线性无关；向量组A中任意一个向量都能由向量组 A线性表示； 那么称向量组 A是向量组 A的一个最大无关组.3. 全体n维向量构成的向量组记作 R1,向量组E是R1的一个最大无关组，且 R1的 秩等于n4. 矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩.5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。女口：向量组 A : a1, a?, a3 , a4, a5,假设 A）： a, a?, a4是一个最大无关组，把 a3 , as用a1, a2, a4线性表示:2 -1 -A 1 211-21410-1001-10四、7线性方程组的解4的结构06-971.设有齐次线性方程组4、3 =B0x1 =:，可以看出：b3 = ? bi ? b2bs = 4bi