利用几何变换求解多动点线段和的最值问题

1、利用几何变换求解多动点线段和的最值问题多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广， 表现形式灵活， 已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意， 但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1垂线段最短，或模型 2两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析.一、求两动点到一定点距离和的最小值此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型 1、2 求解 .例 1 如图 1，菱形 ABCD的边长

2、为 4，B60 .E为 BC上的一动点，F 为 AB上的一动点， P 为 AC 上一个定点，则PEPF 的最小值为.解析如图 2，根据菱形的对称性作点F 关于 AC 的对称点F1 ，连结 PF1 ，则有PEPF PE PF1 . 所以，当点E 、 P 、 F1 三点共线且垂直BC时 PEPF 最小 .作AGBC点G，所以 PEPF 的最小值即为AG 为长 .因为菱形ABCD 的边长为 4 ,B60 ，所以 BE 2， AG23 ，从而 PE PF 的最小值为 2 3 .二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点

3、的折线段上，利用模型2求解 .例 2如图 3，AOB45，P是AOB内一点，PO 10QROA和OB，、 分别是上的动点，求V PQR 周长的最小值 .解 析如 图4，分别作点P 关 于OA ，OB的对称点C，D， 连 结CD， 则PRPQRQCD， 当Q、R在 线 段CD上 时 ，V PQR周长最小.因 为COD 2A O B9 0，OCODOP10 ，所以CD2OC102，则V PQR周长的最小值为102.三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1 解法求解.例3如图5，在平面角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标

4、原点，顶点A、B分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA3， OB4 ，D 为边OB 的中点.若E、F为边OA 上的两个动点， 且EF2 ，当四边形CDEF的周长最小时， 求点E 、F的坐标.如图 6，作点 D 关于 x 轴的对称点 D1 ，则 OD1OB2 ， D1(0, 2)解析OD2将点 C 向左平移 2个单位 ( EF 2 )到 C1 点，定点 D 、 C 分别到动点 E 、 F 的距离和等于为定点 D1 、 C1 到动点 E 的距离和，即 DE CFD1 EC1E ，从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型 .连 结 D1C1交 x轴于点E，四边形EF

5、CC1为 平 行四边形，此时DE CFD1 EC1ED1C1 值最小， 则四边形 CDEF 的周长最小 .由 D (0, 2) 、C1 (1,4)可求直线 D1C1 解析式为 y6x 2 .当 y1170 时， x，即 E(,0)，则 F( ,0) .333四、求两动点到另一动点距离和的最小值一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型 1、 2 求解 .例 4 如图 7，菱形 ABCD 中 AB3，A60， A 、 B 的半径分别为2和1，P、 E、 F 分别是边 CD、 A和 B上的动点，求PE PF 的最小值 .解析如图 8，与上例类似，

6、仍然要作某一动点( P )所在直线 ( CD )同侧的两个动点( E 、F)中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F，但考虑到F是圆上动点，因此作菱形ABCD 和B 的对称图形A1 B1CD和B1 .根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A、D、B1 三点共线，PFPF1 .欲求PEPF 的最小值，即求PEPF1 的最小值，所以当PAPB1 最小时， PEPF1的最小值为:PAPB1AEBF1PAPB13显然，点 P 运动到 D 时， PAPB1 最小值为 6 ，所以 PEPF 的最小值是 3 .五、求三动点构成的三角形周长的最小值三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键

7、是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用模型 1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2 求解 .例 5如图 9，在平面直角坐标系中，已知A(0, 2) ， B( 3,0) ， C (1,0) .点 P 是线段 BC 上的动点 (点 P不与 B 、C重合 )，点 Q 是线段 AB 上动点 (点 Q不与 A、B 重合 )，点 R 是线段 AC 上动点 (点 R 不与 A、 C 重合 )，求 V PQR 周长的最小值 .解析如图 10，不妨作 P 关于 AB 的对称点P ，交 AB 于 G ，作 P 关于 AC 的

8、对称点1P，交 AC于H，连结 PQ、PR、AP、AP.21212由对称性可知:lPQQRPR,VPQR12当 lV PQR 最小时， P1 、 Q 、 R 、 P2 四点共线，即Q 、 R 分别为 P1P2 与边 AB 、 AC 的交点， l的最小值为P P .VPQR12由对称性可知AP1APAP2 ，P1 ABPAB ，P2 ACPAC ,所以PPP2BAC .12所以 PP2APsinBAC2APsinBAC( 作等腰三角形底边的高，根据三线121合一可得 ).从条件不难发现BAC 为定值，根据模型 1(垂线段最短 )，当 APBC (点即 P 运动到点 O )时， AP 最小，从而

9、P1 P2最小 .又根据条件，不难求出AP2， PC1， BP3， AB13， AC5,Q SV ABC1ACsinBAC1ABBC AP,22sin865BAC,651228653265.PP265 65即 lV PQR 最小值为： 32 65 .65六、求三动点到一定点距离和的最小值解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1 求解.例 6 如图 11，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， M 为对角线 BD 上任意一点，当 M 在何处时， AM BM CM 最小，并求出最小值 .解析如图 12，将 V ABM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 V EBN ，连结 MN ，由旋转性质 得E NA MBN BM，V BMN为等边三角形，所以M NB M， 此 时，A MB MC M转化为折线 ENNMCM .根据模型 2, C