勾股定理的十六种证明方法

1、_勾股定理的证明【证法 1】（ 课本的证明 ）abbaaacaacbabcbcbbbcacabab做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等 . 即a 2b241 ab c241 ab2b2c2.22 ， 整理得 a【 证法 2】（ 邹元治证明 ）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1形的面积等于 2 在一条直线上， Rt HAE AHE =AEH +AEH +abA、E、B 三点. 把这四

2、个直角三角形拼成如图所示形状，使B、 F、 C 三点在一条直线上， C、G、D 三点在一条直线上 . Rt EBF,DbGaCBEF .aAHE = 90 o,cbcBEF = 90 o.HHEF = 180 o90o= 90 o. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形 . 它的面积等于 c2. Rt GDH Rt HAE,HGD = EHA .HGD + GHD = 90 o,EHA +GHD = 90 o.FbccaAaEbB精品资料_又 GHE = 90 o,DHA = 90 o+ 90 o= 180 o. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于a b 2.2

3、1 abc 2a b4 a2b222.c .【证法 3】（赵爽证明）以 a、 b 为直角边（）b>a ， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角c1 ab三角形的面积等于 2 .把这四个直角三ADbGFaC角形拼成如图所示形状 . Rt DAH Rt ABE,HDA =EAB .HAD +HAD = 90 o，EAB +HAD = 90 o， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 EF = FG =GH =HE = b a ,HEF = 90 o.H EBc2. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于ba 2.41 abbac 222. a 2b2c

4、 2.【证法 41876 年美国总统 Garfield 证明）】（以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1 abA、E、B 三点形的面积等于 2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使C在一条直线上 .D RtEAD RtCBE,ccbADE =BEC .aAED +ADE = 90 o,EaBAED +AbBEC = 90 o.精品资料_DEC = 180 o90o= 90 o.DEC 是一个等腰直角三角形，1 c2它的面积等于 2 .又 DAE = 90 o, EBC = 90 o, AD BC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于1 ab 22.

5、1ab 221 ab1 c 2 222 . a 2b2c 2.【 证法 5】（ 梅文鼎证明 ）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F 在一条直线上 . 过 C 作 AC的延长线交 DF 于点 P. D、 E、 F 在一条直线上 , 且 Rt GEFEGF =BED ，EGF + GEF = 90 °，BED +GEF = 90 °，BEG =180 o90o= 90 o.又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形 .ABC +CBE = 90 o. R

6、t ABC Rt EBD,ABC =EBD .EBD +CBE = 90 o.即CBD= 90 o.又 BDE = 90 o，BCP = 90 o， RtEBD,FbaGcEPbCbccaHDbaaAcB精品资料_BC = BD = a . BDPC 是一个边长为 a 的正方形 .同理， HPFG 是一个边长为 b 的正方形 .设多边形 GHCBE 的面积为 S，则a 2b2S21 ab,c2S 21 ab22 , a 2b2c2.【证法 6项明达证明）】（做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a ） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成

7、如图所示的多边形，使E、EA、 C 三点在一条直线上 .过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P.过点 B 作 BM PQ ，垂足为 M；再过点FF 作 FNPQ，垂足为 N.BCA = 90 o，QPBC ，cMPC = 90 o，BMPQ，BMP = 90 o，Q BCPM 是一个矩形，即 MBC = 90 o.QBM + MBA = QBA = 90 o， ABC + MBA = MBC = 90 o，QBM =ABC ，又 BMP = 90 o，BCA = 90 o，BQ = BA = c ， Rt BMQ Rt BCA .同理可证 RtQNF RtAEF .从而将问题转化为 【 证

8、法 4】（梅文鼎证明） .bacAM cNcBPbCa【 证法 7】（ 欧几里得证明 ）做三个边长分别为 a、b、cB 三点在一条直线上，连结BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点的正方形，把它们拼成如图所示形状，GH使 H、C、L.aCF精品资料abMABKb_ AF=AC，AB=AD， FAB = GAD ，FAB GAD ，1 a 2FAB 的面积等于 2 ，GAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积= a 2 .2同理可证，矩形MLEB 的面积 = b .= 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 c 2a 2b 2

9、 ，即a 2b 2c2 .【 证法 8】（ 利用相似三角形性质证明）如图，在 Rt ABC 中，设直角边 AC 、BC长为 c，过点 C 作 CD AB，垂足是 D.在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90 o， CAD = BAC ，的长度分别为 a、b，斜边 AB 的Cab ADC ACB .ADAC = AC AB ，A即 AC2ADAB .同理可证， CDB ACB ，从而有 BC 2 AC2BC 2AD DB AB AB2，即【 证法 9】（ 杨作玫证明 ）DcBBDAB .a 2b2c 2 .做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ b>a

10、 ），斜边长为 c. 再做一个边长为c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作GaDDE 与 CB 的延长线垂直，垂足为E，DE 交 AF 于 H.BAD = 90 o，PAC = 90 o，DAH = BAC .又 DHA = 90 o，BCA = 90 o，AD = AB = c ，cb921cF 8RHPAT3456bcc精品资料Q7EBaC_ Rt DHA Rt BCA . DH = BC = a ，AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 R

11、tAPB RtBCA . 即 PB =CA = b ， AP= a ，从而 PH = b a. Rt DGT Rt BCA , Rt DHA Rt BCA . Rt DGT Rt DHA . DH = DG = a ，GDT = HDA .又 DGT = 90 o，DHF = 90 o，GDH = GDT +TDH = HDA+ TDH = 90 o， DGFH 是一个边长为 a 的正方形 . GF = FH = a . TFAF ，TF = GT GF = b a . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b a，下底 BP= b ，高 FP=a + （ ba） .用数字表示面积的编号 （如

12、图 ），则以 c 为边长的正方形的面积为c 2S1S2S3S4S5S8S3S41 b b aa b ab2 1 ab2=2 ，S5S8S9 ，S3S4b 21 ab S8= b2S1S8 .2把代入，得c 2S1S2b2S1S8S8S9= b 2S2S9 = b 2a 2 . a 2b2c 2.【 证法 10 】（ 李锐证明 ）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ b>a），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、 G 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号 （如图 ） .TBE =ABH = 90 o，TbBTBH =ABE

13、.8D 2 CR又 BTH =BEA = 90 o，6H31a精品资料G7MEAF45c_BT = BE = b ， Rt HBT Rt ABE . HT = AE = a . GH = GT HT = b a.又 GHF +BHT = 90 o，DBC + BHT = TBH +BHT = 90 o，GHF =DBC . DB = EB ED = b a， HGF = BDC = 90 o， Rt HGF Rt BDC . 即 S7 S2 .过 Q 作 QM AG ，垂足是 M. 由BAQ = BEA = 90 o，可知 ABE= QAM ，而 AB = AQ = c ，所以 RtABE R

14、t QAM . 又 Rt HBT Rt ABE . 所以 Rt HBT Rt QAM.即S8S5.由 Rt ABE Rt QAM ，又得 QM = AE = a ，AQM = BAE .AQM +FQM = 90 o，BAE + CAR = 90 o，AQM = BAE ，FQM =CAR .又 QMF =ARC = 90 o，QM = AR = a ， RtQMF Rt ARC . 即 S4S6 . c 2S1S2S3S4S5 ， a 2S1 S6 ， b 2S3 S7 S8，又 S7S2，S8S5， S4S6 ， a 2b2S1S6S3S7S8= S1S4S3S2S5= c 2 ，即a 2

15、b2c 2 .【 证法 11 】（ 利用切割线定理证明 ）在 Rt ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c . 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a . 因为BCA = 90 o，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线 . 由切割线定理，得AC 2AEAD= ABBE AB BDCab精品资料cEaBaDA_= cac a= c 2a2 ，即 b 2c2a2 ， a 2b2c 2.【 证法 12 】（ 利用多列米定理证明 ）在 Rt ABC 中，设直角边 BC = a ，AC

16、 = b ，斜边 AB = c （ 如图 ）. 过点 A作 AD CB ，过点 B 作 BD CA ，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABDCADBC AC BD， AB = DC = c ， AD = BC = a ，DbBAC = BD = b ， AB2BC 2AC 2 ，即 c2a2b 2 ，acca a 2b2c 2.AbC【 证法 13 】（ 作直角三角形的内切圆证明）在 Rt ABC 中，设直角边 BC = a ，AC = b ，斜边 AB = c . 作 Rt ABC 的内切圆O，切点分别为

17、D、E 、 F（ 如图 ），设O 的半径为 r. AE=AF，BF=BD，CD=CE， ACBCABAECEBDCDAFBF=CECD = r + r = 2r,即 abc2r ， ab2rc .A a22b2rc，c即 a2b22ab4 r2rc c2b，F rS ABC1 abrEO r2，a 2ab4S ABC ，BDC又 S ABCS AOBS BOCS AOC=1 cr1 ar1 br1 a b c r222=21c c r=2r= r 2rc ，2 4 r 2rc4S ABC ，精品资料_ 4 r 2rc2ab ， a 2b22ab2ab c 2 ， a 2b 2c2.【 证法 1

18、4 】（ 利用反证法证明 ）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC 、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD AB，垂足是 D.假设 a 2b2c 2，即假设 AC 2BC 2AB 2，则由AB2AB AB=AB ADBD =AB ADAB BD可知 AC2ABAD ，或者 BC 2AB BD . 即 AD ：AC AC ：AB ，或者 BD ：BCBC：AB.在 ADC 和 ACB 中，A = A，C若 AD：ACAC：AB，则bADC ACB .a在 CDB 和 ACB 中，B = B，ADcB若 BD：BCBC：AB，则CDB ACB .又 ACB =

19、90 o，ADC 90o，CDB 90 o.这与作法 CD AB 矛盾 . 所以， AC 2BC 2AB 2 的假设不能成立 . a 2b2c 2.【证法 15】（ 辛b卜松证明 ）aDAbaDA11a 2aababaaba2c2bcc2bb2abbbcc1 ab1 ab aBbaCB2a2Cb设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形 ABCD . 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形精品资料_ABCD 的面积为ab2a 2b 22ab ；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示a b 241 abc 2.的几个部分，则正方形ABCD 的面积为2= 2ab c2 a 2b22ab2abc 2, a 2b2c 2.【 证法 16 】（ 陈杰证明 ）设直角三角形两直角边的长分别为 a、bb>a ，斜边的长为 c. 做两个边长（）分别为 a、 b 的正方形（b>a ，把它们拼成如图所示形状，使E、H、M 三点在）一条直线上 . 用数字表示面积的编号 （如图 ） .B在 EH = b 上截取