《波形估计》ppt课件

1、波形估计波形估计Estimation of Continuous Waveforms刘皓引言引言n对随时间变化的参量进展估计，也称为时变信号估计。n本质是对随机过程的估计，即根据观测数据对随机过程的样本函数作出尽能够好的估计。n课程重点讨论线性估计问题，即估计量经过对观测波形的线性运算得到。线性估计器线性估计器n=0，那么称为滤波。n0，那么称为预测或预测n0，那么称为平滑或内插线性估计器线性估计器n课程中讨论的准那么：n线性最小均方误差准那么n典型的有:n维纳滤波n卡尔曼滤波维纳滤波维纳滤波n线性滤波器n对平稳随机过程的最小均方误差意义下的最正确估计。n适用于从噪声中分别出有用信号的整个波形

2、维纳滤波维纳滤波 2222,1lim2TTTy ts te ts ty tE etEs ty tE ets ty tdtTx ty ty tg us tun tudu设估计器的输出是而信号是因此估计误差:则，均方误差：假设该随机过程是平稳随机过程，且各态历经，所以假设和都是平稳随机过程，且联合平稳，因此维纳滤波维纳滤波 220:00 xxssssxxssnnsxsnxssE etg u g v Ruv dudvg u Ru duRRs tRs tRx ts tn tRx ts tn ts tRRRRRRR 的自相关函数：的平均功率：的自相关函数：与的互相关函数如果信号与噪声不相关，那么：因此有

3、：g(t)的求解的求解n变分法 220( )200,|0,xxssxsxg uug uuE etg uug vvRuv dudvg uuRu duRE etRg u Rudu 用代替上式中的， 被称为扰动因子。是一任意有连续导数的函数，被称为扰动函数。这样，因为上式有极小值，求极值的问题就转为求并交换积分变量后，即：0d非因果解非因果解n不对待求的g(t)做因果性限制，上式比较容易求解。但是g(t)是物理不可实现的。 0,xsxxxssxxssxsxsxsRg u Rudu dg u RuduRG s SsSs eSs eG sSsSs eG sSs 如果对 的积分为零，那么方括号中的项为0：

4、两端取拉氏变换，即如果信号与噪声不相关，那么：性能性能n假设g(t)是最正确加权函数，那么： 222200012012xxsssxssxsjsxssnsxsxE etg u g v Ruv dudvg u Ru duRRg u Ru dug uduRg u Ru duE etSjG jSjedSjSjERug vetSjRuv dv 频域表示：如果噪声与信号不相关，且，那么：ndSj例例n如以下图所示的高斯-马尔可夫信号和白噪声的混合105051000.511.5St ()Sn ()2222,snSSA 22222222233123111211 02213311133331,031,03xsn

5、xsssuuASSSSSSSSSeSG SSSSsseug ueu 假设：，因为信号与噪声不相关,所以有：那么有：g u( )ifu( )013e3u13e3u4202400.20.4g u( )ug(u)均方误差均方误差 210.5772snsnSjSjE etdSjSj因果解因果解 000;0,000 0 xsxxsxRg u Rudu dRg u Rudu 为求解上述方程的因果解，因此要求:当时，可以为任意值。所以当时，上述方程总是成立。当，方程要成立，就要求维纳维纳-霍夫方程霍夫方程n时域解法n频域解法 0 0 xsxRg u Rudu维纳维纳-霍夫方程霍夫方程_频域解法频域解法 ,

6、xxssxxssxxxssxsxxxag u RuduRaG s SsSs eA sG s Ss SsSs eA sA sSs eG s SsSsSs 用一未知负时间函数代替方程的右边，把方程扩展到对 :成立做拉氏变换：维纳维纳-霍夫方程霍夫方程_频域解法频域解法 1.0sxsxxxxxsxsxsxsxxsxsxxA sSs eG s SsSsSsg uG sG s SsaA sA sSsSs eSsSs eG s SsSsSs eG s SsSs是正时间函数，因此的极点都在左半平面。因此的极点都在左半平面。2.是负时间函数，因此的极点都在右半平面。因此的极点都在右半平面。3.的极点分布在左、

7、右两个平面。因此，对于求的解，有：的正时间部分，即： 1sxsxxSs eG sSsSs维纳维纳-霍夫方程霍夫方程_频域解法频域解法 11.3.2sxsxxxsxssxsxSs eG sSsSsSsSseSs eSs求的逆变换，并保留所有的正时间、负时间部分2.因为有，把步骤1的结果时间上平移对步骤 的结果取单边拉氏变换，就求得例例n如以下图所示的高斯-马尔可夫信号和白噪声的混合105051000.511.5St ()Sn ()2222,snSSA 2222223123111211 03311221331131311313131133131xsnxsssxxxxsxuASSSSSSSSSeSS

8、SS SSSSSSSSSSSSG SSSSSeg u 假设：，因为信号与噪声不相关,所以有：那么有：,00,0uu21012300.20.40.60.8g u( )ug(u)性能性能 20.732E et正交性正交性 0111101101t 0tttxsxxxse ts ty ts tg us tun tudutE x te tEs tn ts tg us tun tuduRttg u Rttu dug u RuduRtE x te t滤波器输出误差：时刻滤波器输入与 时刻滤波器误差的数学期望：由于有所以上式：10 0tt标量卡尔曼滤波器标量卡尔曼滤波器n递推算法n两个特点：n随机过程的矢量模

9、型n递归算法n最正确的递归估计器被称为卡尔曼滤波器标量信号模型和观测模型标量信号模型和观测模型ns(k)=a*s(k-1)+w(k-1)n上式表征待估时变信号s(k)的形状方程，或称为信号模型。n式中s(k)是k时辰的形状，a是模型的系统参数nw(k)是零均值的白噪声序列，其均值为零，方差为 ，不同时辰的样本独立。2w一阶自回归过程的模型一阶自回归过程的模型 22220001swssj RsE s kE skRaE s ks kjRja 线性观测方程线性观测方程 220,0nnx kc s kn kx ks kn kcE n kE n k n jk jE w k n j 是观测序列；代表状态信

10、号序列；是观测噪声,均值为0，方差为；被称为观测参数。有：一维线性信号和观测模型一维线性信号和观测模型标量卡尔曼滤波算法标量卡尔曼滤波算法n表示s(k)的估计是上一个估计值与当前观测值的加权和。n系数a(k)和b(k)是时变的系数。 ,1kks ks ka k s kb k x k个数据到来时， 时刻的估计有如下形式：标量卡尔曼滤波算法标量卡尔曼滤波算法n按均方误差最小准那么，确定加权系数a(k)和b(k)。 222110210100p kE ekEs ks kp kEs ka k s kb k x ks ka kp kEs ka k s kb k x kx kb kE e k s kE e

11、k x k 即：估计的均方误差估计的均方误差 21p kE ekE e ks ks kE e k s ka k E e k s kb k E e k x kE e k s kak1111111111111001kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkE e sEsssEa sb xssEb xssE a ssa sEcb sb nssa Essssaacb把观测方程代入，并在第二项中同时加、减：再利用正交条件等关系，最终可求得：11kkkkksasbxa cs卡尔曼增益卡尔曼增益bk112222111111110kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkskksnk

12、kkkkkkkkE e xEssxEsa sb xcsncE s sca E ssb E x xE s sE x xcE ssE saswaE ssE sw由正交条件：其中：11111111111111111221111111122222111111101kkkkkkkkkkkkkkkkksknkkkkkkkkksksknksE ssE sxncEsexE snccE sxEasbxnccbcE swEasbxwE e xacbcbbc代入正交条件公式中，得：220nbk2222122222212221222221221222111,1sknkknsnwknknwnkwkncaa bbca b

13、caca bca bccAa bAc Aca b估计的均方误差估计的均方误差222211kkkkkkkkkkssknknpE e sEsssE s sE s sbcbc卡尔曼滤波的根本公式卡尔曼滤波的根本公式2212221,1kwkkncAa bbAc Aca b11kkkkksasbxcas221,kkknkncppbbc起始条件确实定起始条件确实定 2 000002000 0 00spEsspEssssE s 选择使下式最小为此，令：因此，标量卡尔曼预测标量卡尔曼预测Q维向量信号的一阶自回归模型维向量信号的一阶自回归模型 112211121212221211,qqqqqqqqs kAs kw kqskw kskwks kw kskwkaaaaaaAaaa维向量：例：高阶动态系统转化为一阶自例：高阶动态系统转化为一阶自回归模型回归模型 12112112212111111111100s kas kbs kw ksks k