求导法则与求导基本公式ppt课件

1、2 求导法那么和求导根本公式v四那么运算v反函数求导v复合函数求导v高阶导数一. 四那么运算并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu定理推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikk

2、kinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf。，求，求设设的导数；的导数；，求求的导数；的导数；求函数求函数的导数；的导数；，求求yxxxyxxaaxayxxax 62coshsinh)0(lncottan32例1例2例3例4二. 反函数求导 xy),(yxxy)(xfy )(yx o.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .例例1 1.arcsin的的导导数

3、数求求函函数数xy .11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc同理可得例例2 2.log的导数的导数求函数求函数xya .1)(lnxx 三. 复合函数求导.)()()()()()(dxdududydxdyxxufyxuufxufyxuuufy 可可导导，且且在在存存在在，则则与与。若若复复合合而而成成的的函函数数与与由由函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.( .(链式法那链式法那么么) )定理推行推行),(),(),(xv

4、vuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 处的导数。处的导数。在在求求，处可导，又处可导，又在在设设；为实数，为实数，求证求证0)(0001sin)(0)(|ln)1ln(102221 xxgfxxxxgxxfxyxxyxyxxx 例2例3例4例5例10sincos),(cos)(sin)(22 dudyxdxdyxuxfxfyxf，证证明明若若令令为为可可导导函函数数，设设例6证明：)sin(cos2)(coscossin2)(sin22xxxfxxxfdxdy )(cos)(sincossin222xfxfxx ，时时，又又因因)(

5、)1(cos22ufufyxu uufuufdudy2)()2)(1(22 )1()(222ufufu )(sin)(coscos222xfxfx 0sin dudyxdxdy小 结1. 1. 反函数的求导法那么留意成立条件反函数的求导法那么留意成立条件; ;2. 2. 复合函数的求导法那么复合函数的求导法那么留意函数的复合过程留意函数的复合过程, ,合理分解正确运用链合理分解正确运用链导法导法; ;已能求导的函数已能求导的函数: :可分解成根本初等函数可分解成根本初等函数, ,或常或常数与根本初等函数的和、差、积、商数与根本初等函数的和、差、积、商. .xxxxxxxCtansec)(sec

6、sec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和根本初等函数的导数公式常数和根本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法那么函数的和、差、积、商的求导法那么设设)(),(xvvxuu 可导，那么可导，那么1 vuvu )(, 2uccu )(3vuvuuv )(, 4)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数)

7、)C v导数四那么运算v反函数求导).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.Oct. 13 Wed. Review3.复合函数的求导法那么复合函数的求导法那么).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法那么初等函数求导问题可完全利用上述公式及法那么初等函数求导问题可完全处理处理.留意留意: :初等函数的导数仍为初等函

8、数初等函数的导数仍为初等函数. .xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 处的导数。处的导数。在在求求的导数；的导数；求求；，求，求；，求，求031)2ln()(. 4)12ln(arctan. 31,)(. 2. 123tan)(1sin2 xxxexfxyxxyxyyxuyyeyxxxxvx例Hw：p96 2(1,3,6,7,9,10)，3(3),6(6,7,8)，7(单),8(单),9,10(2),12(2,6,7, 8,9)。四. 高阶导数1. 概念问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. . )()()( tftvta.)()

9、 )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 定义记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称

10、称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf2. 二阶导数的力学意义： 瞬时加速度。，求，求；，求，求；，求，求；，求，求；，求，求)()()()()(sin. 5)1, 0(. 4. 3)1ln(. 2)0(. 1nnxnaxnnyxyyaaayyeyyxyyxy 例 留意留意 求求n n阶导数时阶导数时, ,求出求出1-31-3或或4 4阶后阶后, ,不要急不要急于合并于合并, ,分析结果的规律性分析结果的规律性, ,写出写出n n阶导数阶导数.(.(数学数学归纳法证明归纳法证明) )3. 运算规那么则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu Leibniz莱布尼兹公式莱布尼兹公式。求求；，求，求；，求，求)50()()(32)1(1. 311. 2. 1yxxyyxxyyexynnx 例nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(