《平稳随机过程》ppt课件

1、第十二章 平稳随机过程12.1 平稳随机过程概念12.2 各态历经性12.3 相关函数的性质12.4 平稳随机过程的功率谱密度12.1.1平稳随机过程12.1.2 广义平稳过程例12.1.1和例12.1.2例12.1.312. 平稳随机过程概念 12. 平稳随机过程概念平稳随机过程:在实践中，有相当多的随机过程，不仅它如今的形状，而且它过去的形状，对未来形状的发生都有着很强的影响。这类随机过程，即为平稳随机过程。特点：过程的统计特性不随时间的推移而变化。 若对任意的严格地说,), 2 , 1(21hTtttnn和任意数 ,21时当Thththtn )(,),(),(21ntXtXtXn维随机变

2、量),(,),(),(21htXhtXhtXn 和),(,TttX 则称随机过程具有相同的分布函数,具有平稳性 同时称此过程为平稳随机过程，简称平稳过程。12.1.2 广义平稳过程),(TttXTtt,xtXE)()()()( xRtXtXE ),(TttX给定二阶矩过程，假设对恣意定义：定义：那么称 为宽平稳过程或广义平稳过程.相对地,前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程。 今后讲到平稳过程一词时,除特别指明外,均指宽平稳过程。.)(的平稳宽或联合相关)( XYR记为的互相关函数和)()(tYtX只是时间差的),()()(),( XYXYRtYtXEttR 即是平稳和则称

3、)()(tYtX 此定义中只涉及与一维、二维分布有关的数字特征，故一 个严平稳过程只需二阶矩存在，那么它必定也是宽平稳的。但反 过来，普通不成立。 如，正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的，因此假设均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化，那么概率密度也不随时间的推移而变化。故一个平稳过程的正态过程必是严平稳的。注：注：假设两个平稳过程,单变量函数 例12.1.2 设s(t)是一周期为T的函数，是在(0，T) 上服从均匀分布的随机变量，称X(t)s(t+) 为随机相位周期过程试讨论它的平稳性。解例12.1.1 设 是互不相关的随机变量序列，且,2, 1, kXk.0),(,02

4、22lklkXXElkRXEXElkXkk 则有即相关函数只与 有关，所以它是宽平稳的随机序列。假设 又是独立同分布的，那么序列也是严平稳的。 lk ,21kXXX例例12.1.3 思索随机电报信号思索随机电报信号.信号信号X(t)由只由只取取+I或或-I的电流给出的电流给出(图图12-1画出了画出了X(t)的一的一条样本曲线条样本曲线).这里这里PX(t)=+I=Px(t)=-I=1/2;而正负号在区间而正负号在区间(t,t+)内变化的次数内变化的次数N(t,t+)是随机的是随机的,且假设且假设N(t,t+)服从泊松分布服从泊松分布,即事即事件件Ak=N(t ,t+)=k的概率为的概率为P(

5、Ak)=()ke- /k!,k=0,1,2, ,其中其中0是单位时间内变是单位时间内变号次数的数学期望号次数的数学期望.试讨论试讨论X(t) 的平稳性的平稳性.12.2 各态历经性各态历经性主要内容主要内容l随机过程积分的概念l时间均值和时间相关函数l例12.2 .1l定义12.2 .1l定理12.2 .1(均值各态历经定理) l定理12.2 .2 (自相关函数各态历经定理)l定理12.2 .3和定理12.2 .4l各态历经定理的重要价值l模拟自相关分析仪l数字方法12.2 各态历经性各态历经性 本节主要讨论，根据实验记录确定平稳过程的本节主要讨论，根据实验记录确定平稳过程的均值和自相关函数的

6、实际根据和方法均值和自相关函数的实际根据和方法 首先留意，假设按照数学期望的定义来计算平稳过程X(t)的数字特征，就需求预先确定X(t)的一族样本函数或一维、二维分布函数，这实践上是不易办到的 但是，平稳过程的统计特性是不随时间的推移而变化的，于是我们自然期望在一个很长时间内察看得到的一个样本曲线，可以作为得到这个过程的数字特征的充分根据本节给出的各态历经定理将证明：对平稳过程而言，只需满足一些较宽的条件，那末集平均(均值和自相关函数等)实践上可以用一个样本函数在整个时间轴上的平均值来替代这样，在处理实践问题时就节约了大量的任务量为此，先引见随机过程积分的概念12.2 .1 随机过程积分的概念

7、dttXYba )( ,210bttttan 0)(lim,2,1,210max11 iniitiiiiiitXYEnittttti 如果有满足 给定二阶矩过程Xt，tT，假设它的每一个样本函数在a，bT上的显然，Y是一随机变量但是，在某些情形下，对于随机过程的一切样本函数来说，在a，b上的积分未必全都存在此时，引入所谓均方意义下的积分，即思索a，b内的一组分点：且记 的随机变量Y存在，我们就称Y为X(t)在a,b上的均方积分仍以2.1)记之。 积分都存在，我们就说随机过程 Xt在a，b上的积分存在，并记为(2.1) 分别称为随机过程X(t)的时间均值和时间相关函数我们可以沿用高等数学中的方法

8、求积分和求极限，其结果普通来说是随机的。 babaXdsdttsR),( badttXEYE)( TTTTdttXtX)(lim)(21 TTTTdttXtXtXtX)()(lim)()(21 可以证明：二阶矩过程X(t)在a,b上均方积分存在的充分条件是自相关函数的二重积分(2.2)存在，且有就是说，过程X(t)的积分的均值等于过程的均值函数的积分 如今引入随机过程X(t)沿整个时间轴上的如下两种时间平均：(2.3)(2.4)和时间均值和时间相关函数时间均值和时间相关函数例例12.2 .1 计算随机相位正弦波计算随机相位正弦波 Xt=acos(t+)的时间平均的时间平均t和和XtXt+. 解

9、解将此例结果与将此例结果与337页例页例2的结果比较，可知的结果比较，可知 这阐明：对于随机变量相位正弦波，用时间平均和集这阐明：对于随机变量相位正弦波，用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的这一特平均分别算得的均值和自相关函数是相等的这一特性并不是随机相位正弦波所独有的下面引入普通概性并不是随机相位正弦波所独有的下面引入普通概念念 )()()()()()()( tXTXtXtXERtXtXEXX 设Xt是一平稳过程， 1. 假设 Xt=EXt= (2.5)以概率1成立，那么称过程Xt的均值具有各态历经性. 2.假设对恣意实数, XtXt+=EXtXt+=RX() (2.6)以概

10、率1成立，那么称过程X(t)的自相关函数具有各态历经性.特别当=0,称均方值具有各态历经性. 3.假设X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,那么称X(t)是(宽)各态历经过程,或者说X(t)是各态历经的.定义中“以概率l成立是对X(t)的一切样本函数而言的. 注：各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性(ergodicity).按定义，例1中的随机相位正弦波是各态历经过程 当然，并不是恣意一个平稳过程都是各态历经的例如平稳过程X(t)=Y其中y是方差别于零的随机变量，就不是各态历经过程现实上，y，亦即时间均值随y取不同能够值而不同因Y的方差别于零，这样就不能够以概率1等于常数EX(t)EY

11、定义定义12.2 .1 留意,对例l中的随机相位正弦波而言， 不存在，但它的均值是各态历经的在定理一的证明中将X(t)换成X(t)X(t十)，就可得以下定理。 0)()1(lim22021 dRXXTTTT)(lim XR 2)(limXXR ,)(lim2XXR )(lim XR 平稳过程Xt的 均值具有各态历经性的充要条件是 推论 在 存在条件下，假设 ,那么(2.7)式成立，均值具有各态历经性；假设 那么2.7)式不成立，均值不具有各态历经性(2.7) 定理定理12.2 .1(均值各态历经定理均值各态历经定理) ： 定理12.2 .2 (自相关函数各态历经定理)： 平稳过程X(t)的自相

12、关函数Rx()具有各态历经性的充要条件是 (2.12)其中 0)()()1(lim12120211 dRBXTTTT).()()()()(111 tXtXtXtXEB在(212)式中令o，就可得到均方值具有各态历经性的充要条件 以概率成立的充要条件是 定理定理12.2 .3XTTTtXEdttX )()(lim01 0)()1(lim201 dRXXTTTT(2.7) 定理定理12.2 .4)()()()()(lim01 XTTTRtXtXEdttXtX 以概率1成立的充要条件是 0)()()1(lim12120211 dRBXTTTT(2.12) 各态历经定理的重要价值在于它从实际上给出了如

13、下保证：一个平稳过程X(t)，假设0t十，只需它满足条件(27)和(212) ，便可以根据“以概率1成立的含义，从一次实验所得到的样本函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数，即 (2.13)和 (2.14)XTTTdttx )(lim01).()()(lim01 XTTTRdttxtx 假设实验记录x(t)只在时间区间0，T上给出，那么相应于(2.13)和(2.14)式有以下无偏估计式：)16.2.(0,)()(1)()(1)()()15.2(,)(100TdttxtxTdttxtxTRRdttxTTTXXTXX 不过在实践中普通不能够给出 x(t)的表达式，因此通常经过模拟方法或数字方

14、法来丈量或计算估计式(2.15)和(2.16)现引见如下： 1.模拟自相关分析仪这种仪器的功能是当输入样本函数模拟自相关分析仪这种仪器的功能是当输入样本函数x(t)时，时，XY记录仪自动描画出自相关函数的曲线它的方框图记录仪自动描画出自相关函数的曲线它的方框图如图如图125所示另有一种求自相关函数的近代方法所示另有一种求自相关函数的近代方法遍历遍历转换技术转换技术,本书不作引见本书不作引见乘法器滞后发生器，)( tx记录仪 对XR XR积分平均电路图x(t)。2.数字方法如图数字方法如图126，把，把0，T等分为等分为N个长为个长为tT/N的小区的小区间，然后在时辰间，然后在时辰tk(k一一0

15、.5)t，k1，2，N，对，对x(t)取样取样,得得N个函数值个函数值xkx(tk)，kl,2,N把积分把积分(215)近似表示为根本近似表示为根本区间区间t上的和，就有无偏估计上的和，就有无偏估计相应于相应于(216)式，我们可以写出任式，我们可以写出任r=rt时，自相关函数的无偏估时，自相关函数的无偏估计计 由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值，从而拟合出自由这个估计式算出自相关函数的一系列近似值，从而拟合出自相关函数的近似图形，见图相关函数的近似图形，见图12-7. 设函数设函数x(t)，0tT的傅里叶的傅里叶(Fourler)变换变换H(i)只在频率域只在频率域| |c上存在上存在

16、(c为正常数为正常数)，而在其他频率上为零按照抽样定理，而在其他频率上为零按照抽样定理，应选取取样间隔应选取取样间隔t不超越奈奎斯特不超越奈奎斯特(Nyquist)区间区间/c(或取或取NcT/)才干保证才干保证xk，kl，2，N包含函数包含函数x(t)在在0tT上的全部上的全部信息留意，这里所指的信息留意，这里所指的“频率频率是角频率，它与实践的频率是角频率，它与实践的频率f之之间有关系式：间有关系式：=2f NkkNkkXxNtxT1111 NmmrxxrNtxxTRNkrkkrNkrkkrrX ,2, 1 ,0,1111 12.3 相关函数的性质相关函数的性质主要内容主要内容相关函数的性

17、质相关函数的性质(1、2) 相关函数的性质相关函数的性质3相关函数的性质相关函数的性质4、5相关接纳法相关接纳法 12.3 相关函数的性质相关函数的性质 在第十章2中指出，用数字特征来描画随机过程，比用分布函数(或概率密度)来得简便上一节中又指出，对于具有各态历经性的平稳过程，可以根据各态历经定理，对随机过程的一个样本函数运用数学分析的计算手续去求它的均值和相关函数在这种场所下，利用均值和相关函数去研讨随机过程更是方便特别是对于正态平稳过程，它的均值x和相关函数Rx()完全描写了该过程的统计特性因此，这两个数字特征的重要性更突出地显现出来。为了胜利地运用数字特征去研讨随机过程，下面着重研讨一下

18、相关函数的性质以下假设X(t)和Y(t)是平稳相关过程，Rx()Ry()和Rxy()分别是它们的自相关函数和相互关函数. 12.3 .1 相关函数的性质(1、2) 1.这由(12)式即可得到在下一节将看到，量Rx(0)表示平稳过程X(t)的“平均功率 2.Rx(一)Rx()，即Rx()是的偶函数而相互关函数既不是奇函数，也不是偶函数，但满足Rxy(一)Ryx() 这分别可由(12)和(13)式得到根据这个性质，在实践问题中只需计算或丈量Rx()，Ry()，Rxy()和Ryx()在0的值。0)()0(22 XXtXER12.3.1 相关函数的性质相关函数的性质3 这可根据自相关函数、自协方差函数

19、的定义以及柯西一施瓦兹不等式直接推出此不等式阐明：自相关(自协方差)函数都在0处取到最大值 类似地，可以推得以下有关相互关函数和互协方差函数的不等式： .)0()()0()(2XXXXXCCRR 和).0()0()()0()0()(22YXXYYXXYCCCRRR 和3.关于自相关函数和自协方差函数有不等式运用上还定义有规范自协方差函数和规范互协方差函数：12.3.1 相关函数的性质相关函数的性质4、5规范自协方差函数和规范互协方差函规范自协方差函数和规范互协方差函数：数： 由 上 述 不 等 式 性 质 知 ： 和且当时，X(t)和Y(t)不相关 4. Rx()是非负定的，即对恣意数组tl，

20、t2，tn T和恣意实值函数g(t)都有 对于平稳过程而言，自相关函数的非负定性是最本质的这 是由于实际上可以证明：任一延续函数，只需具有非负定性，那么 该函数必是某平稳过程的自相关函数 5. 假设平稳过程X(t)满足条件PX(t十T。)X(t)1，那么称它为周期是T。的平稳过程周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且其周期也是T。下面讲一个运用的例子 0)(XXXCC 和 0)0()(YXXYXYCCC 1)( X1)( XY0)( XY.0)()()(, jijinjiXtgtgttR12.3.2 相关接纳法相关接纳法下面讲一个运用的例子下面讲一个运用的例子: 设某接纳机输出电压V(t)是

21、周期信号S(t)和噪声电压N(t)之和，即 V(t)=S(t)+N(t) 又设S(t)和N(t)是两个互不相关(实践问题中普通都是如此)的各态历经过程，且EN(t)0根据第十章(212)式，V(t)的自相关函数应为 RV()=RS()+RN()由性质5，RS()是周期函数，又由于普通噪声电压当 值适当增大时，X(t十)和X(t)呈现独立或不相关，即有于是，对于充分大的值，我们有 RV() RS(). 假设如今将V(t)作为自相关分析仪(图12-5的输入。那么对于充分大的值，分析仪记录到的是周期函数Rs()的曲线，假设只需噪声而无信号，那么对充分大的值，记录到的Rv() 0所以从分析仪记录到的曲

22、线有无明显的周期成分就可以判别接纳机的输出有无周期信号这种探查信号的方法称为相关接纳法 0)(lim NR12.4 平稳随机过程的功率谱密度主要内容l平稳过程的功率谱密度平稳过程的功率谱密度l平稳过程平稳过程X(t)的功率谱密度的功率谱密度1l平稳过程平稳过程X(t)的功率谱密度的功率谱密度2l谱密度的性质谱密度的性质l表表12.1l白噪声白噪声l互谱密度及其性质互谱密度及其性质1 l互谱密度及其性质互谱密度及其性质 212.4 平稳随机过程的功率谱密度 在很多实际和运用问题中，经常利用傅里叶(Fourier)变换这一有效工具来确立时间函数的频率构造本节的目的就是讨论如何运用这一工具以确立平稳

23、过程的频率构造功率谱密度。 12.4.1平稳过程的功率谱密度 设有时间函数 我们知道，假设 满足狄利克雷(Dirichlet)条件，且绝对可积，即那末x(t)的傅里叶变换存在或者说具有频谱且同时有傅里叶逆变换 普通是复数量，其共扼函数在 和 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)等式 ttx ),()(tx dttx)(.)()(dtetxFtix .)(21)( deFtxiatx )( xF).()(* xxFF,)(21)(22 dFdttxx 等式左边表示x(t)在(一，十)上的总能量，而右边的被积函数 相应地称为x(t)的能谱密度这样，帕塞瓦尔等式可了解为总能量的谱表示式(4.1)(

24、 xF)(tx2)( xF12.4.2平稳过程X(t)的功率谱密度1 我们把(4.5)式右端的被积式称作函数x(t)的平均功率谱密度，简称功率谱密度，并记为 (4.6) 而式(4.5)右端就是平均功率的谱表示式 如今我们把平均功率和功率谱密度的概念推行到平稳过程X(t), t, (4.7)和 (4.8)显然(4.7)和(4.8)式中诸积分都是随机的这时，我们将(48)式左端的均值的极限，即量 (4.9)定义为平稳过程X(t)的平均功率 平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或Rx(0) (4.11) 相应于(4.5)(4.6)式，我们把(4.11)式中的被积式称为平稳过程X(t)的功率谱密度，并

25、记为Sxx()或Sx(). dTFdttxxTTTTTT22121221),(lim)(lim 221),(lim)(TFSxTTx dtetXTFtiTTX )(),( dTFdttXXTTTT241221),()( )(lim221dttXETTTT dTFEXTTX),(lim221212 12.4.2平稳过程X(t)的功率谱密度2 利用记号Sx()，(4.11)式可简写为 (4.13)称为平稳过程X(t)的平均功率的谱表示式. 功率谱密度Sx()通常也简称为自谱密度或谱密度，它是从频率这个角度描画X(t)的统计规律的最主要的数字特征由(4.13)式知，它的物理意义表示X(t)的平均功率

26、关于频率的分布 dSXX )(212在平稳过程实际中“谱密度一词总是指功率谱密度12.4.3谱密度的性质 它们统称为维纳一辛钦(WienerKhintchine)公式 有如下结论：平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下，谱密度就是自相关函数的傅里叶变换，即维纳一辛钦公式 (4.15)成立而公式(4.16)那么是Sx() 的傅里叶逆变换 在(4.16)式中令0，再次得到表示式(4.13) 此外，由于Rx()和Sx()都是偶函数，所以利用欧拉(Euler)公式,维纳一辛钦公式还可以写成如下的方式： deSRdeRSiXXiXX )()()()(21 dSRdRSXXXXcos)()(cos)(2)(

27、010 (4.15)(4.16)( 4.18) (4.19) 维纳一辛钦公式又称为平稳过程自相关函数的谱表示式。谱密度Sx()有以下重要性质：Sx() 是的实的、非负的偶函数Sx()和自相关函数Rx()是一傅里叶变换对，即表12.1列出了假设干个自相关函数以及对应的谱密度 例12.4.1例12.4.2例12.4.3白噪声白噪声 均值为零而谱密度为正常数，均值为零而谱密度为正常数，即即12.4.5 互谱密度及其性质互谱密度及其性质1 设设Xt和和Yt是两个平稳是两个平稳相关相关12.4.5 互谱密度及其性质互谱密度及其性质 2本本 章章 小小 结结l小结小结1l小结小结2l小结小结3l小结小结4小结小结1小结小结2小结小结3小结小结4第十二章 平稳随机过程l12.1 平稳随机过程概念l12.2 各