第2章平面问题的基本理论20130421-1

1、周道祥周道祥平面问题的基本理论平面问题的基本理论第二章第二章合肥工业大学本科生教学合肥工业大学本科生教学弹性力学弹性力学授课班级：勘查授课班级：勘查11级级主讲教师：袁海平主讲教师：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方

2、程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999) 两类平面问弹的概念两类平面问弹的概念 建立平面问题的基本方程：平衡微分方程；建立平面问题的基本方程：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程几何方程；物理方程；变形协调方程 平面问题的边界条件平面问题的边界条件 相容方程相容方程第一章绪论第一章绪论重点与难点重点与难点弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)重点重点 两类平面问题的异同点两类平面问题的异同点 列出应力边界条件列出

3、应力边界条件难点难点弹性力学平面问题的基本理论41. 平面应力问题平面应力问题(1) 几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。btat , 平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2) 受力特征受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。方向不变化。平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一弹性力学平面问题的基本理论5如图选取坐标系，以板的中面为如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂

4、直于中面的任一直线为平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy板薄，外力沿板薄，外力沿 z 轴方向不变轴方向不变整个薄板各点整个薄板各点由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有0z0zx0zy0yzzy0 xzzx1. 平面应力问题平面应力问题(3) 应力特征应力特征平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一xyyztba弹性力学平面问题的基本理论6平面应力问题只有三个应力分量平面应力问题只有三个应力分量),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量仅为应变

5、分量、位移分量仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关无关1. 平面应力问题平面应力问题结论：结论：平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一弹性力学平面问题的基本理论7(1) 几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。尺寸不变化。 近似认为无限长近似认为无限长(2) 外力特征外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度用，且沿长度 z 方向不变化。方向不变化。 约束约束 沿长度沿长度 z 方

6、向不变化。方向不变化。2. 平面应变问题平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一弹性力学平面问题的基本理论8(3) 变形特征变形特征以任一横截面为以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则, u, x, x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。2. 平面应变问题平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一水坝水坝任一横截面均可视为对称面，则有任一横截面均可视为对称面，则有0w弹性力学平面问题的基本理论9所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都

7、平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但但0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：)0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。(3) 变形特征变形特征2. 平面应变问题平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一滚柱滚柱弹性力学平面问题的基本理论10 教学互动：教学互动：如下三种情形，是否都属平面问题？是平面如下三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应

8、变问题？应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一弹性力学平面问题的基本理论11问题：问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：静力学关系：静力学关系：应力与体力、面力间的关系应力与体力、面力间的关系几何学关系：形变与位移间的关系几何学关系：形变与位移间的关系物理学关系：形变与应力间的关系物理学关系：形变与应力间的关系建立边界条件：建立边界条

9、件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程应力边界条件应力边界条件位移边界条件位移边界条件3. 平面问题的求解平面问题的求解平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题一一一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体

10、力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论13xyxyxyPBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近），），dxPA dyPB DXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：yxxyyx,体力：体力：X ，YAC面：面：222)(! 21dxxdxxxxxdxxxx222)(! 21dxxdxxxyxyxydxxxyxy平衡微分方程平衡微分方程二二BC

11、面：面：dyyyxyxdyyyy 注：这里用了小变形假定，以变注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。形前的尺寸代替变形后尺寸。弹性力学平面问题的基本理论14以通过中心并平行于以通过中心并平行于z轴轴的直线为矩轴，由微的直线为矩轴，由微元体元体PABC平衡，得平衡，得 0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyxdyydxxyxyxxyxy2121平衡微分方程平衡微分方程二二yxxy当当0, 0dydx时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy弹

12、性力学平面问题的基本理论150 xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dyXdx两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Xyxyxx0yF1)(11)(dxdyxdxdxdyyxyxyyyy011dyYdxdyxy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0Yxyxyy平衡微分方程平衡微分方程二二弹性力学平面问题的基本理论16平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00YyxXyxyxyyxx说明：说明：平衡微分方程平衡微分方程二二（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，

13、需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。xyxyxyPBACxyODXYdyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方

14、程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论181. 斜面上的应力斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量）斜面上应

15、力在坐标方向的分量Xn，YnxyOdxdydsPABsXnYnnyxxyxy设设P点的应力分量已知：点的应力分量已知：yxxyyx,斜面斜面AB上的应力矢量上的应力矢量: s 斜面外法线斜面外法线 n 的关于坐标轴的方向余弦：的关于坐标轴的方向余弦： 由微元体平衡：由微元体平衡： 0111dsXdxdynyxx整理得：整理得： yxxnmlX外法线外法线 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态三三0111dsYdydxnxyyxyynlmY整理得：整理得： myn),cos(lxn),cos(ldsdymdsdx0 xF0yF弹性力学平面问题的基本理论19（2）斜面上的正应力与剪应力

16、）斜面上的正应力与剪应力nnnmXlY nnnmYlX 说明：说明：将将 n 转动转动90而到达而到达 的方向是顺时针，则为正；反之为负。的方向是顺时针，则为正；反之为负。nxyOdxdydsPABsXnYnnyxxyxynn1. 斜面上的应力斜面上的应力平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态三三xyyxnlmml222xyxynmllm)()(22任意斜截任意斜截面上应力面上应力运用了剪应力互等定理：运用了剪应力互等定理： 的正负号规定：的正负号规定：yxxynXn，Yn已求出已求出弹性力学平面问题的基本理论20nnnmXlY nnnmYlX 若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上

17、的正应，则该斜面上的正应力力 称为该点一个主应力称为该点一个主应力 。0nn当当 时，有时，有0nsnmYlXnnxyynlmYyxxnmlXmlmxyylmlyxx求解得：求解得：0)()(22xyyxyx222122xyyxyx 平面应力状态主应力的平面应力状态主应力的计算公式计算公式2. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向主应力主应力平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态三三yyxlmyxxlm和和yx21xyOdxdydsPABsXnYnnyxxyxynn弹性力学平面问题的基本理论21主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为主平面称为主平面主应力主应力 所在平面的法

18、线方向所在平面的法线方向 称为应力主向称为应力主向yyxlmyxxlm 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的与坐标轴正向的方向余弦为方向余弦为 l1、m1，则则2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则则1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1xyx2)(1yxy或2. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向主应力方向主应力方向平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态三三弹性力学平面问题的基本理

19、论22应力主向计算式：应力主向计算式：yxyxyx2211tantanyx21)(12xyxxy12tan1tantan211 与与 2 互相垂直。互相垂直。xyOsnn2dxdydsPABn12. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向 的主应力表示的主应力表示平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态三三n结结论论由由22122212)(lmln)(12 lmnxyyxnlmml222xyxyNmllm)()(220 xy任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 互相垂直的主应力互相垂直的主应力 分别为最大和最小应力分别为最大和最小应力21、21、弹性力学平面问题的基本理论23由

20、由)(1122lln221minmax2. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向最大、最小剪应力最大、最小剪应力平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态三三)(12 lmn)1 (2lm122ml)(2141)(12221242llln显然，当显然，当 时，时， 为最大、最小值：为最大、最小值：21ln 、 的方向与的方向与1 （ 2 ）成成45。maxminxyOsnn2dxdydsPABn1一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体

21、位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论25建立：平面问题中应变与位移的关系建立：平面问题中应变与位移的关系 几何方程几何方程一点的变形一点的变形线段的伸长或缩短线段的伸长或缩短线段间的相对转动线段间的相对转动xyOP考察考察P

22、点邻域内线段的变形：点邻域内线段的变形：PAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPB dxPA变形前变形前变形后变形后PPuv四四dxxuuAAdxxvvBBdyyuudyyvv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。几何方程几何方程 刚体位移刚体位移几何方程几何方程弹性力学平面问题的基本理论26PA的正应变：的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化点两直角线段夹角的变化xyyuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvv几何方程几何

23、方程 刚体位移刚体位移几何方程几何方程四四xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv弹性力学平面问题的基本理论27整理得：整理得：yuxvyvxuxyyx几何方程几何方程说明：说明：（1）反映任一点位移与应变关系，是弹性力学的基本方程之一。反映任一点位移与应变关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；反之，已知可完全确定；反之，已知 ，不能确定不能确定u、v。xyyx,xyyx,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy 以两线段夹角减小为正，增大为负。以两线段夹角减小为正，增

24、大为负。几何方程几何方程 刚体位移刚体位移几何方程几何方程四四xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv弹性力学平面问题的基本理论28物体无变形，只有刚体位移。物体无变形，只有刚体位移。 即：即： ,0, 0, 0时当xyyxxvxfyuyf0201)()(0 xux0yvy0yuxvxy(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得： 或写成：或写成： dxxdfdyydf)()(21上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，的函数，右边仅右边仅 x 的函数，的函数，两边只能等两边只能等于同一常数，即于同一常数，即 dyydf)(1(e)积分积分(e) ，

25、得：，得： dxxdf)(2(f)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（方向的刚体位移），代入（d）得）得:)()(21xfvyfu(d) 刚体位移表达式刚体位移表达式将将(d)代入代入(c)，得：，得： 0)()(21dxxdfdyydfxvvyuu00几何方程几何方程 刚体位移刚体位移刚体位移刚体位移四四弹性力学平面问题的基本理论29讨论：讨论： xvvyuu00 刚体位移表达式刚体位移表达式（1）2222yxvu,0, 00时当vu仅有仅有x方向平移。方向平移。（2）, 0,0vuu则,0, 000时当uv仅有仅有y方向平移。方向平移。, 0,0

26、uvv则（3）,0, 000时当uvxvyu则xyOPyxrrxyxyxytantan说明：说明：OPr P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 绕绕O点转过的角度（刚性转动）点转过的角度（刚性转动）几何方程几何方程 刚体位移刚体位移刚体位移刚体位移四四弹性力学平面问题的基本理论30内容回顾：内容回顾：两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应力特征。应力特征。几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变特征。应变特征。yxxyyx,xyyztba水水坝坝滚滚柱柱几何方程几何方程 刚体位移刚体位移四四yxxyyx,一、平面应力问

27、题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论32建立：平面问

28、题中应力与应变的关系建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1. 各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（力学中的广义虎克（Hooke）定律。）定律。)(1yxzzE)(1zyxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1其中：其中：E为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，为侧向收缩系数，又称泊松比。又称泊松比。)1 (2EG物理方程物理方程

29、五五弹性力学平面问题的基本理论33)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1由于平面应力问题中由于平面应力问题中)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2 注：注：(1) 物理方程的另一形式物理方程的另一形式)(12xyyE)(12yxxE0zxyzz物理方程物理方程平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程五五0z)(yxzE(2) xyxyE)1 (2弹性力学平面问题的基本理论34由于平面应变问题由于平面应变问题中中 注：注：)1(12yxxExyxyE)1 (2)1(12xyyE)(yxz0zxyzz平面应变问题中平面应变问题中0z但但0

30、z)(yxz物理方程物理方程平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程五五)(1yxzzE)(1yxzzE)(1zxxxE)(1xzyyExyxyG1yzyzG1zxzxG1一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况

31、下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论36（1）平衡方程）平衡方程00YyxXyxyxyyxx（2-2）（3）物理方程）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2(2-12)或(2-13)边界条件边界条件弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程六六（2-8）未知量数：未知量数：vuxyyxxyyx,8个个方程数：方程数：8个个结论：结论：在适当的边界条件下，上述在适当的边界条件下，上述8个方程可解。个方程可解。（2）几何方程）几何方程

32、yuxvyvxuxyyx弹性力学平面问题的基本理论37边界条件边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力间的关系表示在边界上位移与约束，或应力与面力间的关系式，是力学计算建模的重要环节。式，是力学计算建模的重要环节。 xyOqPuSSuSSS边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界SuS（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us 、 vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量， 表示边界上位移分量的已表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：知函数，则位移边

33、界条件可表达为：vu,vvuuss 边界条件边界条件边界条件及其分类边界条件及其分类六六说明：说明：称为固定位移边界。称为固定位移边界。,0时当 vu弹性力学平面问题的基本理论38xyOqPuSSuSSS（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界YX,xyOdxdydsPABXnYnnyxxyxy由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得xyynlmYyxxnmlX式中取：式中取：YYXXnn,sxyxysyysxx,得得平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件YlmXmlsxysysxysx)()()()(六六 边界条件边界条件边界条件及其

34、分类边界条件及其分类垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：. 1, 0ml垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：. 0, 1mlYXsxysx,XYsyssy,弹性力学平面问题的基本理论39例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)0, 000, 0 xvyuvuxss(2)0, 00, 1,YXmlaxYlmXmlsxysysxysx)()()()(00sxysx(3)qYXmlhy, 01, 0,qsxysysxysx0) 1(0) 1(00sxysyq说明：说明：x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果

35、：0, 0vu六六 边界条件边界条件边界条件及其分类边界条件及其分类弹性力学平面问题的基本理论40(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y = 0）：）：1, 0ml0)(, 0plxxpYX代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有00yxy)(0) 1(0) 1(0 xpyxyxyxN0)sin(cos0cos)sin(yxyxyx00)(plxxpyy(2) BC段（段（x = l）：）：0, 1ml0|, 0|lxlxvu0, 0lxlxxvyu(3)AC段（段（y =x tan ）:sin)90cos(),cos(xNlcos),cos(yNm例例2 如图所示，试写出其边界条件。

36、如图所示，试写出其边界条件。六六 边界条件边界条件边界条件及其分类边界条件及其分类弹性力学平面问题的基本理论41左侧面：左侧面：sin,cosmlsinyY cosyX 由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(sin)cos()sin(cos)sin()cos(yyxyyxyx右侧面：右侧面：sin,cosmltanyxtanyx 0YX0cossin0sincosxyyxxyx例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。六六 边界条件边界条件边界条件及其分类边界条件及其分类弹性力学平面问题的基本理论42例例4 图示薄板，

37、在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。处无应力存在。解：解： 平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。边界上无面力作用。即即0YXAB 边界：边界：111sin,cosml由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有YlmXmlsxysysxysx)()()()(0cossin0sincos1111xyyxyx（1）AC 边界：边界：12122sincoscosml代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有0cossin0sincos1111xyyxyx（2）A 点同处于点同处于

38、 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得0 xyyx A 点处无应力作用点处无应力作用六六 边界条件边界条件边界条件及其分类边界条件及其分类弹性力学平面问题的基本理论43例例5 图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。YlmXmlsxysysxysx)()()()(上侧：上侧：0YXsin)90cos(lcos)180cos(m0cos)(sin)(0cos)(sin)(sysxysxysx下侧：下侧：10ml，qYX ，0qsysxysxysx) 1()(0)(0) 1()(0)(qsysxy)(0)(六六 边界条件边界条件边界

39、条件及其分类边界条件及其分类弹性力学平面问题的基本理论44例例6 图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。上侧：上侧：0,YqX10ml，0) 1()(0)() 1()(0)(sysxysxysxq0)()(sysxyqYlmXmlsxysysxysx)()()()(下侧：下侧：NpYX ，0cossin)90cos(ml，psysxysxysxcos)(sin()(0cos)()sin()(六六 边界条件边界条件边界条件及其分类边界条件及其分类弹性力学平面问题的基本理论45（3）混合边界条件）混合边界条件(1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的

40、一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：一为应力边界条件。如：图图(a)：0Ysxy 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：0sx0 uus0 vvs 位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件六六 边界条件边界条件边界条件及其分类边界条件及其分类一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、

41、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论47问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、形求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足变分量、位移分量完全满足8个基本方程相个基本方程相对容易，但要使边界

42、条件完全满足，往往很对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条件无如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。法列写。1. 静力等效的概念静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。)(iOOFmMiFR 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体而言完全正确，但对变形这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。体而言一般是不等效的。七七 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用弹性力学平面问题的基本理论482.圣维南原理圣维南原

43、理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP七七 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用弹性力学平面问题的基本理论493.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。有

44、些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1)必须满足静力等效条件；必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界次要边界七七 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用弹性力学平面问题的基本理论50左侧面：左侧面：0, 1mlYlmXmlsxysysxysx)()()()(代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：0, 1ml0hxxyhxxy代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维

45、南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：0YX0,YyX00hxxyhxxyyxsin)(0Pdxyhhy对对O点的力矩等效：点的力矩等效：xdxyhhy0)(sin2hPx方向力等效：方向力等效：dxyhhyx0)(cosPxyy,按正向假设！按正向假设！注意：注意：例例 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。七七 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用弹性力学平面问题的基本理论51Pxy上端面：上端面：（方法（方法2）取图示微元体，取图示微元

46、体，0yF0sin0Pdxyhhysin0Pdxhhyy 0OM0sin20hPxdxyhhyxdxyhhy0)(sin2hP由微元体的平衡求得，由微元体的平衡求得，yyx 0 xFdxyhhyx00cosPdxyhhyx0)(cosP注意：注意：xyy,必须按正向假设！必须按正向假设！可见，与前面结果相同。可见，与前面结果相同。七七 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件

47、六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论53（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应

48、力，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。形变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，先以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，先求这些未知量，再求出其余未知量。求这些未知量，再求出其余未知量。八八 按位移求解平面问题按位移求解平面问题求解方法求解方法弹性力学平面问题的基

49、本理论54（1）平衡方程）平衡方程00YyxXyxyxyyxx（2-2）（2）几何方程）几何方程（2-8）（3）物理方程）物理方程)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-12/13）（4）边界条件）边界条件yuxvyvxuxyyx（2-14）（2-15）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss,八八 按位移求解平面问题按位移求解平面问题位移法思路位移法思路弹性力学平面问题的基本理论55（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示)(12xyyE)(12yxxExyxyE)1 (2由应变表示的物理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有x

50、uyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有八八 按位移求解平面问题按位移求解平面问题基本方程基本方程021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE弹性力学平面问题的基本理论56（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,应力边界条件：应力边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(xuyvEy21yvxuEx21yuxvExy)1 (2（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEss

51、ss21121122八八 按位移求解平面问题按位移求解平面问题基本方程基本方程说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。弹性力学平面问题的基本理论57（1）平衡方程：）平衡方程：021211021211222222222222YyxuxvyvEXyxvyuxuE（2-18）（2）边界条件：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：vvuuss,（2-14）应力边界条件：应力边界条件：YyuxvlxuyvmEXxvyumyvxulEsss

52、s21121122（2-19）八八 按位移求解平面问题按位移求解平面问题式（式（2-18）、（）、（2-14）、（）、（2-19）构成按位移求解问题的基本方程）构成按位移求解问题的基本方程一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十

53、、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论591.变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：平衡微分方程：),(),(),(yxyxyxxyyx0Yyxyyx0Xyxxyx2个方程方程，个方程方程，3个未知量，为超静定问题。个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，需寻求补充方程， 从形变、形从形变、形变与应力的关系建立补充方程。变与应力的关系建立补充方程。将几何方

54、程：将几何方程：xvyuyvxuxyyx,（2-8）作如下运算：作如下运算：2322yxuyx2322xyvxy九九 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2323xyvyxuxvyuxyyxxy22弹性力学平面问题的基本理论60显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然有：显然有：yxxyxyyx22222（2-20） 形变协调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即： 必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协的存在与协调，才能求得这些位移分量。调，才能求得

55、这些位移分量。xyyx,例：例：Cxyxy0 x0y其中：其中：C为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：0, 0yvxu积分得：积分得：)x(fv)y(fu21由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：CxyxvyuxyCxydxxdfdyydf)()(21九九 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程弹性力学平面问题的基本理论61将将 物理方程物理方程 代入代入形变协调方程形变协调方程，得：，得：yYxXxyyx)1 ()(2222将将 上式整理得：上式整理得：yYxXyxxyyxxyyx22222222)1 ()()(应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变

56、情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式中的泊松比代为：代为： ， 得得1（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）yYxXyxyx11)(2222当体力当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即0)(2222yxyx九九 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程弹性力学平面问题的基本理论62（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyxy0Xyxyxx（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）yYxXxyyx)1 ()(2222（2-22）说明：说明：（

57、1）对位移边界问题，不易按应）对位移边界问题，不易按应力求解。力求解。（2）对应力边界问题，且为单连）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。件，才是唯一正确解。（3）边界条件：）边界条件：YlmXmlsxysysxysx)()()()(（2-15）（平面应力情形）（平面应力情形）九九 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程一、平面应力问题与平面应变问题一、平面应力问题与平面应变问题二、平衡微分方

58、程二、平衡微分方程三、平面问题中一点的应力状态三、平面问题中一点的应力状态四、几何方程四、几何方程 刚体位移刚体位移五、物理方程五、物理方程六、边界条件六、边界条件七、圣维南原理及其应用七、圣维南原理及其应用八、按位移求解平面问题八、按位移求解平面问题九、按应力求解平面问题九、按应力求解平面问题 相容方程相容方程十、常体力情况下的简化十、常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章平面问题的基本理论第二章平面问题的基本理论内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学平面问题的基本理论641.常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的相容方程令：令：2222

59、2yx 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：yYxXyx11)(2yYxXyx)1 ()(2 平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力当体力 分量分量X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即0)(2yx0)(2222yxyx或或十十 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 弹性力学平面问题的基本理论65（1）平衡方程）平衡方程0Yyxyyx0Xyxxyx（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件YlmXmlsxysysx

60、ysx)()()()(（2-18）0)(2yx（1）0)(2yx Laplace方程，方程， 或称调和方程。或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果x 相同相同xyy,yxzvuxy,）不同。）不同。（但（但（b）不同材料，具有相同外力不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结和边界条件时，其计算结果相同。果相同。 光弹性实验原理。光弹性实验原理。满足：满足： 的函数的函数0),(2yxf),(yxf称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言