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文档简介
1、常见的辅助线的作法总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.
2、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而
3、为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种:最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与
4、角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时
5、,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答一、倍长中线(线段)造全等例1、已知,如图ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_.解:延长AD至E使AE2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图,ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEDF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.解:(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG2EF,连BG,EG,显然BGFC,在EFG中,注意到DEDF,由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中,由三角形性质知EG<BG
6、+BE 故:EF<BE+FC例3、如图,ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:AD平分BAE. 解:延长AE至G使AG2AE,连BG,DG,显然DGAC, GDC=ACD由于DC=AC,故 ADC=DAC在ADB与ADG中, BDAC=DG,ADAD,ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG,故有BAD=DAG,即AD平分BAE有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线,底边中线,底边高线例:已知,如图,AB = AC,BDAC于D,求证:BAC = 2DBC证明:(方法一)作BAC的平分线AE,交BC于E,则1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2A
7、CB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC(方法二)过A作AEBC于E(过程略)(方法三)取BC中点E,连结AE(过程略)有底边中点时,常作底边中线例:已知,如图,ABC中,AB = AC,D为BC中点,DEAB于E,DFAC于F,求证:DE = DF证明:连结AD.D为BC中点,BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB,DFACDE = DF将腰延长一倍,构造直角三角形解题例:已知,如图,ABC中,AB = AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE = AF,求证:EFBC证明:延长BE到N,使AN = AB,连结CN,则AB = A
8、N = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例:已知,如图,在ABC中,AB = AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD = CE,连结DE交BC于F求证:DF = EF证明:(证法一)过D作DNAE,交BC于N,则DNB = ACB,NDE = E,AB = AC,B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF(证法二)过E作EMAB交BC延长线于M,则EMB =B(过程略)常过一腰上的某一已知点做底的平行线例:已知,如图,ABC中,AB =AC,E在AC上,D在BA延长线上,且AD = AE,连结DE求证:DEBC证明:(证法一)过点E作EFBC交AB于F,则AFE =BAEF =CAB = ACB
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