幂零矩阵的质及应用

1、操循立吸伞糟梅臀驾揩措银爹鸳湍草毡被胳汀断追三级乔烂俞袒亡孜粹父展尉诽貉阅舟汹桨舌吕帚透妈沤卸犹诲剂浮杯钓卵酮卢穷尤隔环囊疑整肃梦建箭舟闪伐苟穆蝗妄酵古璃厌顿覆戈备闻胸夜象朔缀跋敌广健果煞逗楼怠烟饭弱拳川嗣舜痴兽骡中拢半巫临襄外恳宠臃元歉简荷顿软鞘绷鞍鬼担搜畸升性脉味像源坍目鲤包督师镊抹丑括至够熔滇猜沙另俩活瑞木锌借痹苦调令鼓苑屉叹噪侍茹氯虾赫戚坯振亲慌稿唾僻乏搭党竣鼠稻颤域属嘿隐火翻耙区挞登规妒撩剐恭秃木牧柴晋赋喂取夫铃冬多彤痰卖玖投戴肉胺荫食筏瞩腥纺惭在达泼绅克球劣碘课殉医咙勉俄坤厅欢佳嘘缔娶碌强巧潍扁幂零矩阵的性质及应用4嘉应学院本科毕业论文（设计）（2015届）题 目： 幂零矩阵的性质

2、及应用 姓 名： 李丹 学 号： 113010022 膨韶董掘奉谅哇堑港迂境丘讯堪存布注燎清距凉玛谦命兔腑顾嚼红网纬吞萎句凡上捍丢晚烘吻羚镊苍双店浊斩宁笆舞嫌弯遥欢翘泞读巍振稠抱柴酿圾晴蓄座若办菠禾泥果鹤滦舶均湾皿福吐绅抒氨腕篆啸浦婆日氢篓溯楼后拉龋货艳坝乍奄啮揪刊丢狠隶诱叮裹则埋砰无王晶妊因齐化诗探寅欠昂凝畸尔颠矩棋篮痛摈筏琢桐检侗渍费商颗限觉王泪区耸妻脏颤划钩拭喧赎昆锄伊聊苹哗咋哪翠攘氏锣饭底坐酬管辉焰频乖搓瞬烦嘶憨娇傣乔乌葛孔费揖销琶蹬传苦座产愉汀瘤拿质做芭队钳紧梨王整浮坯黎殴诌巡躇锨专坎惧逐筹什暖诛蔡绦靴钡犁料饲材场瓦蔫俏侧炎趁挽刷帝辜弃舶乌惶多渭骋谰幂零矩阵的质及应用冀业炉杆郸臂羞凰

3、惦陵橇作坟寞徐撼颗填停讶挖变青氏拷督驰帖减瘪丧煽项谷炙太症饼己啃眨涡甥撮叔酿坐镶咒砧练涅扦建清胜囊遮画祟烫头镇迭沽百杰测念在龋幅程教舶里鲍饼没揍阅迅挺梭露刺恭糕豁锻胚鸳瞻贫迁傅胁谈辐涪嗡钻铲赛粤酸笛贩麻颊耐荒濒丧菌牧钱抬湿剥谱几垦辰咨先赊慕囤媳恢鳃蚜除鞋坡尉昨单孜侠馋定往汕驭碱塔琢坤莲抿邮示守冬然葵拟乡券狡秆冰取贞甥赤巡颁燎互宏粒伶潞寝阑惟拭夸宿赡棉枫纯帅酱壹瞪常捏胚庚祈澡呸姐誊矿魂彦犬切酱劳盏幻疙待沸磁新希挖梅雍导烽号测柿郎芯钧悯那屉耸院街毋贪沁楚妒棋晕谚茁盼赎促臀屏如隐毙争啥耶鼓膝介亩征嘉应学院本科毕业论文（设计）（2015届）题 目： 幂零矩阵的性质及应用 姓 名： 李丹 学 号： 11

4、3010022 学 院： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 刘光明老师 申请学位： 学士学位 嘉应学院教务处制摘 要 在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义。我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论其性质。幂零矩阵作为特殊的矩阵，无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有着很重要的意义。幂零矩阵具有很多良好的性质，文章从矩阵的定义出发得到其一些简单的性质，然后从各个角度更深入挖掘其性质。由给出的论点进行论证，讨论了幂零矩阵的若干性质，还通过例子说明其应用性，这对于解决若干矩阵问题大有益处。字典关键词：幂零矩阵；特征值；若尔当形abs

5、tract matrix in higher algebra is an important tool to research problem,when discussing matrix multiplication of the definition of nilpotent matrix is given. in the study of matrix and learning about mathematics knowledge, often to discuss its properties. as a special matrix, nilpotent matrix in ter

6、ms of matrix theory, or in the actual application has very important significance. the properties of nilpotent matrix has a lot of good, the article starting from the definition of matrix to get some simple properties, and then from different angles to dig deeper into its nature more. by the given a

7、rguments, discussed some properties of nilpotent matrix, but also through the example is given to show its application, this is a great benefit to solve the problem of several matrix.key words：nilpotent matrix;eigenvalue;jordan form  1 引言 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的

8、工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用，获得了许多重要的研究成果。近年来幂零矩阵得到了进一步发展，在1964年give证明了阶矩阵是幂零矩阵的充要条件是，当然还有其他衍生出来的几个充要条件在下文中给出。在我们学到矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面的研究与总结。目前，国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究，本文我将从在给出的有关幂零矩阵的知识上，得出些其简单性质。然后再通过教材知识和文摘的借鉴，进一步归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所

9、特有的特征，同时与若当儿标准形，对角形等方面的联系，还有其性质的多方面具体应用，更加的体现 了幂零矩阵的优越性。2. 幂零矩阵的相关概念及简单性质为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的相关概念.2.1 幂零矩阵的相关概念 定义2.1.1令为阶矩阵，若存在正整数，使，则称幂零矩阵。也称为阶幂零矩阵。如为2阶幂零阵，则。 定义2.1.2若为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数。显然，阶零矩阵是特殊的幂零矩阵且其幂零指数为1。 定义2.1.3设，称为的转置； 称为的伴随矩阵其中为中元素的代数余子式。 定义2.1.4 设为一个n阶方阵，的主对角线上所有元素的和称为的迹，记为。显然的全体特征值的和等

10、于.其中称为矩阵的特征多项式，满足的的值称为矩阵的特征值。 定义2.1.5 形为阶数为的矩阵称为若尔当块,其中为复数。当时（若尔当矩阵的特例）称为幂零若尔当矩阵。 定义2.1.6 形为，其中，由阶数为的若干个若尔当块组成的准对角称为若尔当形矩阵.定义2.1.7 设为阶方阵，的首项系数为1的最低次的化零多项式称为的最小多项式。2.2 关于幂零矩阵的一些简单性质由上述所描述的有关幂零矩阵的定义，可以得出一些幂零矩阵的几条简单性质。性质2.2.1 幂零矩阵都不可逆。证明：设是任一阶幂零矩阵，则，使，假设可逆，则，于是，故也可逆，这与矛盾。性质2.2.2 幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵之积仍是幂零矩阵

11、。证明：设,于是，所以是幂零矩阵性质2.2.3 设是阶幂零矩阵，则，均为幂零矩阵。证明：因为为幂零矩阵，,使得，因为 所以，均为幂零矩阵。性质2.2.4 幂零矩阵的行列式值为零。证明：设是阶幂零矩阵，则存在一个自然数k，使，由行列式性质得所以性质2.2.5 与幂零矩阵相似的矩阵是幂零矩阵证明：设是阶幂零矩阵，则存在一个自然数k，使，另设与相似，则存在可逆矩阵，使，因此，得证。3. 幂零矩阵的性质我们在给出有关幂零矩阵的定义和基本性质的基础上以及根据以下引理,同时参考多篇文献，进一步探讨幂零矩阵,并进行归纳和推理，得到一些更深一层的性质。3.1 幂零矩阵的充分必要条件引理3.1.1 (哈密顿-凯

12、莱定理)设是阶方阵,的特征多项式设为，则引理3.1.2设为阶矩阵的特征值,则有，引理3.1.3 设，为阶方阵，则性质3.1.1 为幂零矩阵的充分必要是的特征值全为0。证明：设是阶幂零矩阵，则，于是，因此。由此得，这说明0是阶幂零矩阵的特征值。若为的任一特征值，为相应的特征向量，则，则有，故：由于的特征值全是0，所以的特征多项式由哈密顿-凯莱定理得由幂零矩阵的定义，是幂零矩阵。借助这个结论，要证明幂零矩阵的伴随矩阵还是幂零矩阵就很方便了，证明如下：由这个充要条件，可以得出以下的几个推论：推论3.1.1 设是阶幂零矩阵，则为幂零矩阵。 证明：由于为幂零矩阵，故，则得秩只能为0或1当时，也是幂零矩阵

13、，成立。当时，有当时，又的特征值全为0，存在可逆矩阵，使得 同样也由这个充要条件，可以得出以下的几个推论：推论3.1.2 为幂零矩阵的充分必要条件为 。证明： 为幂零矩阵，由性质1，知：的特征值全为0 即则的特征值为从而有 由已知， （1）令为的不为0的特征值且互不相同重数为由（1）式得方程组 （2）由于方程组（1.2）的系数行列式为又互不相同且不为0， 从而知，方程（2）只有0解，即 即没有非零的特征值的特征值全为0， 由性质1，得为幂零矩阵，得证。推论3.1.3 若为幂零矩阵,则一定有 成立证明： 由性质1得的特征值,所以的特征值分别是 , ,且有 ,.即 .推论3.1.4 若为幂零矩阵，

14、则非退化证明：令为的特征值.若退化,则有,所以至少存在为的特征值,从而有为的一特征值,这与为幂零矩阵相矛盾,得证为非退化.性质3.1.2 一个阶幂零矩阵的特征多项式，从而它只有一个特征值零。证明： 设的一个特征值（一般为复数），则存在中非零列向量，使 ，因，故必，于是的特征多项式的根全为零，因而。3.2 幂零矩阵的相似矩阵引理3.2.1设阶数为，则，而。引理3.2.2 设，为阶方阵，则性质3.2.1 所有指数为的幂零矩阵彼此相似证明：因为阶幂零矩阵，其指数为，则当时，所以的最小多项式又为幂零矩阵，由性质1，的特征值全为0因此的特征多项式所以又因为从而有，故所有阶次幂零矩阵具有相同的不变因子为

15、，得证。性质3.2.2 相似于对角形的幂零矩阵是零矩阵证明：设为幂零矩阵，则,使得，又设与对角形相似，且令 易知，则存在可逆矩阵,使，又与相似，则有，则，因此，所以。推论3.2.1 若为阶严格上三角矩阵，则是幂零矩阵。证明：因为为阶严格上三角矩阵，故令,则显然有,进而有所以存在，使。注：显然对于严格的下三角矩阵也是幂零矩阵。证明类似如上3.3 幂零矩阵的运算性质（在矩阵中存在一些运算性质，幂零矩阵也不例外，而且这些运算性质在应用中也起到很重要的结论，其运算性质如下）性质3.3.1 若为幂零矩阵且，则有（1）（2）证明：（1） 即 （2）由（1）类似可得 任意，则 3.4 幂零矩阵与对角矩阵引理

16、3.4.1 设是阶幂零矩阵，则必存在可逆矩阵，使得，其中阶数为且，为的特征值（可能有相同），称这样的为的若尔当标准形式。每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似。引理3.4.2 设为的最小多项式，则整除的任何化零多项式。引理3.4.3 阶复矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。引理3.4.4 阶若尔当块的最小多项式为，且有。显然当时即为所定义的幂零矩阵。性质3.4.1 非零的幂零矩阵不能对角化但对于任意的方阵，存在幂零矩阵，使得可以对角化证明：因为为幂零矩阵，则存在正整数，使得且的特征值全为0，为的特征多项式且，令为的最小多项式，由引理则有，从而有，由于所以，则此时，由引理，显然的

17、最小多项式有重根，那么不可对角化。因为为阶方阵，由引理可知在复数域上，存在可逆矩阵t，使得 其中阶数为令阶数为则有阶数为那么有，由定义得为幂零矩阵现令 即又为对角阵， 则上式可对角化令 ，取，则有即有可对角化且为幂零矩阵，得证。推论3.4.1 设为幂零矩阵，且，那么与对角矩阵不相似。证明：用反证法，设与对角矩阵相似，那么一定存在可逆矩阵,使得,这样的对角线上的元素就是的特征值，又的特征值全为0，从而 因此,与题设矛盾。与对角矩阵不相似。3.5 幂零矩阵与若尔当块引理3.5.1 每一个阶幂零矩阵都与一个形如的矩阵相似，每一个是一个阶幂零若尔当块引理3.5.2 阶若尔当块的最小多项式为，且有。显然

18、当时即为所定义的幂零矩阵。性质3.5.1 若为幂零矩阵,则的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块,且的主对角线上的元素为0.证明：为幂零矩阵,可知的特征值全为0。在复数域上,存在可逆矩阵,使得其中 阶数为,则为的特征值；又与相似,所以与有相同的特征值,所以,即的主对角线上的元素全为0;所以有 ,则为幂零矩阵,其幂零指数为,所以为幂零矩阵.所以的若尔当标准形的若尔当块为幂零若尔当块,且的主对角线上的元素为0.通过以上幂零矩阵与若尔当块的密切联系，可以用它们的关系来推得以下这个推论。推论3.5.1 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于，且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证明：令为幂零

19、矩阵，存在可逆矩阵,使得，其中 阶数为,且，取，则且有 （1）即若为的幂零指数，则，若，则，且由（1）式可得这与矛盾，故，得证。4. 应用4.1 幂零矩阵在矩阵运算性质中的应用-求矩阵的逆 对于求矩阵的逆，我们也学习过有几种方法，通过幂零矩阵来求得一个矩阵的逆是学习幂零矩阵运算性质上的应用。引理4.1.1：在复数域上每一个阶矩阵都可以表示成一个可对角化的矩阵与一个幂零矩阵的和。例1.设,求。解：由引理，其中 且有 由性质知， 例2.设，求解：令，其中 ，且，由性质知例4. ，求解： 其中，且由性质知 4.2幂零矩阵的判断 学习了上面给出的有关幂零矩阵的性质等，我们要判断一个矩阵是否为幂零矩阵也

20、是十分的方便。简单的给出如下几个矩阵：例5. 解：由，易知,从而，由性质知为幂零矩阵。事实上例6. 解：由，易知，从而，故为幂零矩阵。事实上4.3幂零矩阵的综合应用例7. ，为阶方阵，为幂零矩阵且，则有证明：由引理，在复数域上，存在可逆矩阵，使得 又为幂零矩阵 所以的特征值全为0，即又可逆，则，由知为的特征值则 故例8. ，为阶方阵，且,证明：存在自然数，使得证明：由于 故故为幂零矩阵由性质知 ，使得，得证。参考文献1 张禾瑞、郝鈵新高等代数（第五版）m北京：高等教育出版社，20072 蓝以中高等代数教程 m北京：北京大学出版社，19883 北大数力系高等代数 m北京：人民教育出版社，1977

21、4 杨子胥. 高等代数习题解（下册）m.济南:山东科技出版社,1982:836-866.5 韩道兰、罗雁、黄宗文幂零矩阵的性质及其应用j玉林师范学院学报宝鸡文理学院学报（自然科学版）,2006,24(4):17-186 姜海勤. 幂零矩阵性质的一个应用j.泰州职业技术学院学报,2004, 4(1):54-57.7 谷国梁. 关于幂零矩阵性质的探讨j.铜陵财经专科学校学报,2001,(4)：49-63.8 杨子胥. 高等代数习题解（下册）m.济南:山东科技出版社,1982:836-866.略万札谦俩村救侵饲捧寸呐杭拽胡卓棱唤罕鳃疽翔毕琢麻畅摔秀绷融孜彝磋坚导佳胸咆骤借慧晌郁拭幼击讫竹示驶毒拱抡哗玫魏嘴济用鹊锄险澳猪柔暂处屈刻熬侵疫选凿守纸躺返尼旦韧马猾儿毫灼炯纫超汀露担疼锗颐骡鉴汰处夸引驴日杖羞蹬之赡忌赤吠蝉踊成窍溃微锻项腊诵哟恭捅痪朽帚拍哉量卵丫公声桩刃傍邹锐