圆锥曲线中的定点定值问题

1、第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题一.直线恒过左点问题切点为例1已知动点E在直线/: y = -2上，过点E分别作曲线C .x2= 4y的切线EA. EB ,A、B,求证：直线A3恒过一左点，并求岀该定点的坐标；解：设 E(a,2), A(X, ), B(x-, ) > / y = y =x444'2v2i过点q的抛物线切线方程为y - 乂 =斗E(X -山),切线过E点2X21. -2- = xa - X),整理得：屛 一 2axx -8 = 02同理可得：x? 2cix2 8 = 0X,勺是方程，2ax - 8 = 0的两根x, + x2 = 2a, xx -x2 = -8可得

2、佔中点畑3),又忍厂心=£ =匕上2xx - x2 x -x2422直线A別勺方程y-( + 2) = -(x-«),即y = -x+2:. A3过定点(0, 2).2 2 2v*y y例次已知点P(x0,y()是椭圆E: + y2 = 1上任意一点，直线/的方程为冷- + y°y = l,2 2点与直线/垂直，点M(-!> 0)关于直线人的对称点为N,直线PN恒过一左点G,求点G的坐标。解:直线£的方程为xQ(y-yQ) = 2yQ(x-xQ)9即2护一卞一心乙=°2兀'+ 4兀4m =:xo - 4n _ 2尤+4无3 _4无

3、2 _8兀2y0(4-v)设M(-1Q)关于直线厶的对称点N的坐标为Ng n)“_儿则<曲2儿，解得.只？ _ 1xn n小2儿丸儿=0 直线PN的斜率为& =仝二也=甫+4兀：+2占一盹-X兀2凡(一兀_ 3吋+4)从而直线的方程为：宀=密嘗董穿（7即牙=2y()( - M _3兀_ +4)x()4 + 2无_ 8xo _ 8从而直线/W恒过泄点G（l, 0）二、恒为立值问题例/已知椭圆两焦点人、禺在y轴上，短轴长为20,离心率为车2P是椭圆在第一象限弧上一点，且pE PF； =过P作关于直线F&对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求

4、证直线AB的斜率为立值：2 2解：（1）设椭圆方程为二+1=1,由题意可得/ r“ = 2,b = Qc = 2j5,所以椭圆的方程为y + y =则斥(0,向,坊(0,-血)，设 Pg,%)(心 > O,yo > 0)则;=(XQiy/2y0),PF2 = (Xo, y/2 y0),.耳两=璋一 (2-泌)=1.点P（无,儿）在曲线上，则¥ +手=1球=土淳 厶乙从而士电一（2-元）= 1,得儿=近,则点P的坐标为（1,/2）2 °（2）由（1）知PFJ/x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k伙0）,则PB的直线方程为： ，一血=£（兀一

5、1）y-忑=由4 r2 v2得（2 +疋）疋+2£（血一幻尤+ （血一幻24 = 0= 1124设3(勺,卄)，则勺=疋_2屈_22 + k2-宀2娅_2 H14娅同理可 2 +疋，则忑一九 - )6 = - g -1) -心-1) =所以直线AB的斜率心=丄匸也=>/2为定值。 心一必2 2例4、已知动直线y = k(x+l)与椭圆C：y+y = 1相交于人、3两3点，已知点M(?,0),求证：莎屈为泄值解：将$ = k(x + l)代入二 + = 1 中得(1 + 3R2)* +6k2x + 3k2 -5 = 0 5 A3.I = 36k4 一4(3疋 +1)(3/-5)

6、= 48疋 + 20 > 0 ,6/3疋 一5"V护'V2 = 3FTT 7777所以 MA MB =(州 +-.yi)(x2 +-.y2) =(加 + -)(x2 +-) + yxy2 77=(齐 + -)(2 + -) + 2( + 1)(X2 + 1)wZwZ= (l + k2)xlx2+(- + k2)(xi+x2) + - + k2=(")学+(?+宀_芈)+空+疋32+1 33疋+ 1 9-3*岁*心99课后作业:1.在平而直角坐标系xOy中，已知椭圆C:二+ b=i.如图所示，斜率为k伙>0)且不过原点的直线/交椭圆C于A, B两点,线段A

7、3的中点为E, 射线OE交椭圆C于点G,交直线x = -3于点0(-3, m)(I )求m2+k2的最小值；< II)若OG = OD - 0E,求证:直线/过定点;y = kx + n>A" 2 t + ' = 13"解：(I )由题意:设直线l:y = kx + n(nO)9消 y 得：(l + 3疋)疋+6如x + 323 = o. = 36kF 一4(1 + 3疋)X3(n2-1) =12(3疋 +l-w2)>0设A(X|)、B(x2,y2), AB的中点E(x(pyo),则由韦达泄理得:-6kn lln一 3knf-3kn fnX + 二

8、r，即x() =y0 = kx +n =rxk + n = 1 + 3/1 + 3 疋 1 + 3 疋1 + 3疋所以中点E的坐标为(二),1 + 3L l + 3/r因为0、E、D三点在同一直线上，所以心=K“，即=解得匸丄，°E OD 3k 3k所以m2+k2 = X + k2>2.当且仅当"1时取等号，m2+k2的最小值为2 lc(II)证明：由题意知:n>0,因为直线0D的方程为y = -xmy = -xI ；7 3 得交点G的纵坐标为儿=, f 7,Y 广+3+ y" = 1 3又因为比=7T5F，儿'且Wf= lODl卫可所以化 汙

9、知又由(I)知：?=丄，所以解得k = nf所以直线/的方程为l:y = kx + k9 k即有/ ： y = k(x + ),令x =1得,y=0,与实数k无关,2.已知点N为曲线y2=4x(x>0)上的一点，若A(4,0),是否存在垂直兀轴的直线/被以AN为直径的圆截得的弦长恒为左值？若存在，求出直线/的方程：若不存在， 请说明理由. 解：设AN的中点为3,垂直于尤轴的直线方程为尤=",以AN为直径的圆交/于C,D两点，CD的中点为H.= -x-2a + 4CB = -1A7V| =-血-4)2+ 于,BH =4则x/M入，=(4a -12)x - 4a2 +1&J

10、 = ("-3)x-/ +4</4所以，令“ = 3,则对任意满足条件的i都有|C7/=-9 + 12 = 3 (与x无关)，即|C纠=2書为左值.已知推物线/二4y的焦点为F，是抛物线上的两动点，且万=XfF(X>0)过两点分别作抛物线的切线，设其交点为M <【证明药云为走值(U )设AABM的面稅为S，写出S=f (Z)的表达式，并求S的最小值.胡咨；曙 <1> ISA <xr . B <x2> y2)，M (x0> y0> > 垃前(0> I > > 准线方程为T=-l-竖燃AB科至冷在且过F

11、(0, 1)设绘盲线方程为7=匕时】，联立4尸乂'消去y得：x2-<3kx-4=O* 脑式A = 16 (k-+l >0.X.+X2=4k，注2=-q于是曲红如7上任倉一点舸卓为厂必易傅切统m BM75程分别为尸 申X,"叩+“ y= <|> x2 <x-x2> %，*勿严J, 4y,=x?>敍立方程易滔得交克M坐标，汇=工22=21 y_=li-=-l RH丄厂2, -l>FKl 石(z.+x2> (x2-z.) -2 (72-7, > =| <x22-x12) -2| (疔-讦> =°,)命

12、题得证.运貳说用AB J.Fh(U > ffl < I > 炖在厶ABK巾，FN±AB，BffiS=|AB| |FH| . 万=XF5 (入>0)，<-z. l-y1) =k <x2« y2l 八 印I 2.1 21 4X1 +4X2 VlX2+=I Fid寸(耳决(_2)2= 貯拧唇严同炉乐 因.|AFh |BF|tf别等于到地物线维线y=7的距蛊折以|AB | = | AF| + |DF|=y,-*-y2H-2=-x j +Xj?Ss=-|ab| |fm|= <由返42知S4且当X=1W. S取徉最小值4（20M东茕二慎妇因己知

13、楣fC：3>b>D）的諾心萃为总，以務fC的左顶点T为国心作目T：a甘2（z+2） 2+y2=r2 （r>0）.设目I与艄同C交于点K与点Nci）gratae的方程*（2）求而不的最小值，笄术比时的方程；（3）设点P是希區IC上异于恥N的任意一点且亘銭MP，貯分别与芸甘交于J5R- S. 0为坐愫匣点求证：|OR|*|OS|为定值皓：解：依题意，徉一2七二2二学 a 2 c=j3« b二（4-3二 1 ,葩柄圆U的方程为疋->2 = 1<3>4<2）方法一：臣T（与唱I关于龙轴対称，设M （x1 > y1> n <x5 &g

14、t; -yt） » 不妨设y,>Da山干点M在物阅C上，所以y 2 = 1-1_U）X分14由己知T （-2. 0） 贝云 =9十2, vp-示=务十2, -丁1） m rv 二（X+2,儿）（勺+2, ->j）=<x2） R/=%+2）2_牛）二討 2-4x 严 5分）由于-2<x,<2,故当y=-|时，Taz 云小佰为-g由（4式'Vj =Z?故M（-£, ）»天点M在同T上，代入国的方程得到故脚的方程知（"2）2+异二黑代分(3方法一：设P <r0> >则百竝冊的方程为：x-j.-Cx-x )

15、> U xoxi UWon 令尸0,得q=R "FXi'o+Vi冋理：Xq=T .(10分) s_I1V-Io'i2恥 R9XS1 1 ) (11 分)>0 儿交亡itmp在衙圆上，故x02 = 4(l-y02)> xL2 = 4(l->L2)，(12) 代入<*x)式-儿彷0=斗(】-儿亠)儿_4% -儿)_xrxS=2n=2 =花旳>0 儿AS KJ. |OR| |OS | = |xR | lxsl = |xRexsl=4 为定値.方法二：设JT ( 2cos6 » sine ) ，1( ( 2cos6 > -sin9 ) » 不彷设P < 2cosa> sina)