圆锥曲线中的定点与定值问题]教学设计说明

1、课题名称：圆锥曲线中的定点与定值问题教学内容分析圆锥曲线在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一.由于圆锥曲线内容的丰富性， 与其他章节知识交叉的综合性，决定了圆锥曲线在高考中地位的特殊性 . 定点、定值问题与运动变化密切相关，这类问题常与函数，不等式，向量等其他章节知识综合， 是学习圆锥曲线的一个难点， 这就要求我们在圆锥曲线的复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线的整体把握.学情分析在学习本节课以前，学生对圆锥曲线中的基础知识和基本方法有了一定的理解和掌握，学生具备一定的探究问题、 分析问题和解决问题

2、的能力，但对圆锥曲线中的定点和定值等综合问题的解决缺乏一个明确的“主线”，正确解答这类问题既要有较强的分析问题能力、几何直观能力还要有较强的运算能力，是对学生数学能力的综合体现， 但这几方面学生都比较欠缺， 这也是本节课需要对学生数学素养进行培育的重要着眼点.教学目标（ 1）掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法和解题策略；（ 2）通过师生互动探究的过程，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法在处理定点和定值综合问题中的应用，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线章节的整体把握；（ 3）通过合作学习，让学生在团队协作中，自我探究，进一步让学生学会思考问题的方法，培养学生计算能力，严谨的

3、推理能力和多角度思考问题的数学素养。教学重点掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法；参变量的选取原则教学难点对圆锥曲线基本知识与方法的综合运用；分析问题的能力和运算能力的突破教学方法启发式、讨论探究式 .教学过程设计教学师生活动环节（一）课提问学生：前面我们主要学习了圆锥曲线的哪些内题容？引入这节课我们来利用这些知识和方法一起研究圆锥曲线中的一些综合问题 .设计意图通 过提问，让学 生 总结 归 纳之 前 学习 的 圆锥 曲 线的 基 础知 识 和基 本 方法，为接下 来 的定 点 和（二）例 1：已知椭圆 x2y21，过点 F (1,0) 的直线与椭圆交于43范A, B 两点，点 A 关于

4、x 轴的对称点为A ，求证：直线 A B 横例过一定点 .讲解教师活动： 让学生思考，小组讨论解决这一问题的策略.分析：直线 A B 是变化的，本质是由于过点F (1,0) 的直线的变化引起的，所以可以设过点F (1,0) 的直线的斜率为参变量，将直线 A B 的方程用斜率加以表示， 由于定点是与参变量的变化是无关的，然后通过代数变形，将参变量分离出来，令参变量的系数为零，即可求出定点.解法 1 ：设 lAB : x my1 ( m0) ， A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 A (x1,y1 ) ，联立3x24y212xmy，得1(3m24) y26my90y1y26m

5、,y1 y293m23m244直线 l A B : y y2 y2y1 (x x2 ) ，x2x1又 Q x2x1m( y2y1 ) ，代入上式，得定 值 问题 的 探究 作 铺垫.立足 于 学生 现 有认 知 水平，通过此 中 等难 度 的例题，与学 生 一起 探 究分 析 解决 圆 锥曲 线 中的 定 点问 题 的主线，并对 解 决策 略 和( y1 y2 ) xm( y1 y2 ) y 2my1 y2( y1y2 )0 ，不妨设 y1y2 ，上式化为x 2 m2 1y 4 0因为定点与 m 的变化无关，所以y0，即 x4x4 0y0直线 A B 恒过点 (4,0) ，经检验，当直线A B

6、 的斜率为 0 时，结论也成立综上，直线 A B 横过定点 (4,0)进一步提问： 这个定点能否通过分析，提前确定下来呢？解法 2 ： l A B : y y2y2y1 ( x x2 )x2x1根据椭圆的对称性，再结合几何直观感受，猜想直线很可能过 x 轴上一定点 .在直线 A B 方程中，令 y0 ，得y2 (x2 x1 )(my21)y1y2 (my1 1)x x2y1y2y1y2= 2my1 y2( y1 y2 )y1y2将 y1 y26m, y1 y29代入上式，3m23m244化简得 x4所以，直线 A B 横过定点 (4,0)深入分析解题过程，与学生一起归纳定点问题的解决策略：（1

7、 ）找到变化的根源，探究这一变化是由哪些量的变化引起的；进而引进参变量，根据题意建立这些参变量与已知通 性 通法 加 以梳理，体会 特 殊到 一 般思 想 的运用，培养 学 生的 逻 辑推 理 和数 学 运算 核 心素养 .与 学 生一 起 板书 解 决例 1，学生 能 够对 例 1的 分 析和 解 决有 清 楚量之间的关系；要使参变量的变化对建立的关系没有影响，的梳理 .其系数或整个代数结构就应满足一定的条件，而恰恰是这些条件决定了我们要探究的定点，这是解决定点问题的基本思路。（2 ）特殊到一般的思想可以先通过特殊情况找到这个定点，明确解决问题的通 过 对目标，然后就一般的情形进行推理计算证

8、明 .例 1 的探究，再例2 ：设点 A, F 分别是双曲线 9x23 y 21的左顶点和右焦分 析 此点, 点 P 是双曲线右支上的动点 .问：是否存在常数, 使得例可知，PFAPAF 对于任意 的动点 P 恒成立？证明你的结定 值 问论.题 本 质教师活动： 引导学生类比例1的解题策略进行分析，上与例 1PFA,PAF 大小的变化是由于动点 P 在双曲线右支上移中 的 定动导致的，若存在满足条件的常数，则其值与动点 P 的变点 问 题化无关，所以可以设点 P 的坐标为参变量；进一步引导学是 类 似生通过观察图形，可以把探究PFA,PAF 的倍数关系，的，即这转化为探究直线 PF 与直线 P

9、A 斜率间的关系；两 个 问解：由题意知： A( 1 ,0), F ( 2 ,0) ,题 都 是33寻 求 运（1 ）当直线 PF 与 x 轴垂直时，易知 PF 1 AF ，所以动 变 化PFA2 PAF过 程 中2（2 ）以下证明当直线 PF 与 x 轴不垂直时， PFA 2 PAF的 不 变即可，设 P(x0, y0 ) ， PFA, PAF，性，而这直线 PA 的斜率 k1tany03 y0；x013x013直线 PF 的斜率 k2tan()y03y0，x023x023tan3y03x026y0而 tan22k13x016 y0 (3x01)1k123 y0 )2(3x01)29 y02

10、1 (3x01又Q 9x023y021得 3 y029 x021 代入上式，得tan26 y03y0tan(3x01)3(3x01)3x02Q(0,)(,2(0,)(,),2234432综上，存在常数2,使得PFAPAF 对于任意的动点 P恒成立.回顾分析解题过程，归纳定值问题的解决策略：与解决定点问题类似， 首先寻找变化的根源， 引入合适的参变量，建立参变量与其他已知量的关系； 其次，把几何定值用引入的参变量表示； 最后，利用代数恒等变形进行化简或消参变量， 求得定值。可根据特殊情形， 先确定定值，这对一般情形的推理指明了解决方向 .教师补充总结： 定值问题的含义比较丰富： 可以是一些几何量

11、：线段长度， 三角形面积，向量的数量积、 线段的比些 不 变性 常 常反 映 了数 学 对象 的 本质属性，通 过 类比思想，探 究 定值 问 题的 解 决策略 .学生 的 难点 在 于把 代 数恒 等 式进 行 变形 化 简或消参（三）课堂练习例系数等，但都有有个共同特征， 即：在变化过程中表现出来的不变量。1 、（2017 上海春考 20 改编）已知双曲线 : x2 y2通 过 前1，4面 两 道过点 M (0,2) 的直线 l 与双曲线 交于 P, Q 两点， P 为 P 关例 题 的于 y 轴的对称点，是否存在一个定点， 使得直线 P Q 总经过分 析 和此定点？若存在，求出该定点的坐

12、标，若不存在，请说明策 略 总理由。结，学生对 解 决圆 锥 曲线 中 的定 点 与2 、过抛物线 y2 x 上一点 A(4，2) 作倾斜角互补的两条直线定 值 问AB, AC ，它们分别交抛物线于 B, C 两点，求证：直线 BC 的题 有 了斜率为定值 .整 体 把握，利用这 两 道题，当堂检 验 学生 的 课堂 学 习效果；并让 学 生在 亲 自的 解 题体 验 中感悟“解决 圆 锥曲 线 的定 点 定值 问 题关 键 在于 寻 找产 生 变化 的 本质原因”.通 过 与学 生 一起 尝 试找 出 突破 圆 锥曲 线 的定 点 定值 问 题之“难”的对策，从 而 实现 对 圆锥 曲 线内

13、 容 的“ 整 体把握” .（四）结合本节课所学内容，谈谈你的收获，与学生一起总结：小1 、数学知识：结2 、思想与方法：特殊到一般、类比、化归、设参的原则（五）1 、（2016格致三模 22 ）这 六 道布已知抛物线 C : y22 px( p 0) ，过点 M (a,0) ( a 0) 与作 业 题置x 轴不垂直的直线 l 与 C 交于 A( x1 , y1) 、B( x2、 y2 ) 两点。设 A分 别 选作关于 x 轴的对称点为 D ，求证：直线 BD 过定点。自 上 海业各 区 模拟考，有2 、（2017金山一模 19 ） 已知椭圆 C 以原点为中心，左很 强 的焦点 F 的坐标是

14、( 1,0)，长轴长是短轴长的 2 倍，直线 l 与代表性，椭圆 C 交于点 A 与 B ，且 A、 B 都在 x 轴上方，满足一方面，OFAOFB 180让 学 生（1）求椭圆 C 的标准方程；练 习 课（2）对于动直线 l ，是否存在一个定点，无论OFA 如何上 分 析变化，直线 l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，问 题 的若不存在，请说明理由。思 路 和计 算 能3 、（ 2017 黄浦二模 20 ）设椭圆力，另一y方面，通M: x2y2 1(a b 0) 的a2b2过 这 些左顶点为 A 、中心为 O ，x题 目 的若椭圆 M 过点 P( 1,1)，22选取，让且 APPO

15、学 生 感（1 ）求椭圆 M 的方程；（2 ）若 APQ 的顶点 Q 也在椭圆 M 上，试求 APQ 面受 圆 锥积的最大值；曲 线 中（3 ）过点 A 作两条斜率分别为 k1 , k2 的直线交椭圆 M 于 D, E两点，且 k1 k21，求证：直线 DE 恒过一个定点的 这 类22问 题 在4 、（2017 虹口一模20 ） 椭圆 C : x2y2 1 （ a b0 ）ab高 考 中过点 M (2,0) ，且右焦点为 F (1,0) ，过 F 的直线 l 与椭圆C 相交于 A 、B 两点，设点 P(4,3) ，记 PA 、PB 的斜率分别为 k1的 重 要和 k2 ；（1）求椭圆 C 的方程；地位，并（2）探讨 k1 k2 是否为定值？如对 学 生果是，求出该定值，如果不是，求的 数 据出 k1 k2 的取值范围；分析，直观想象，5 、（2017 奉贤一模 20 ）过双曲线 x2 y 2数 学 运1的右支上的算，逻辑4一点 P 作一直线 l 与两渐近线交于 A 、 B 两点，其中 P推 理 的是 AB 的中点 . 求证： OA OB 是一个定值数 学 素养 的 培6、 （2017青浦一模 19 ）如图， F1 、 F2 分