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文档简介
1、第1课时等比数列学习目标:1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)自 主 预 习·探 新 知1等比数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q0)(2)符号语言:q(q为常数,q0,nn*)思考:能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗?提示不能2等比中项(1)前提:三个数a,g,b成等比数列(2)结论:g叫做a,b的等比中项(3)满足的关系式:g2ab.思考:当
2、g2ab时,g一定是a,b的等比中项吗?提示不一定,如数列0,0,5就不是等比数列3等比数列的通项公式一般地,对于等比数列an的第n项an,有公式ana1·qn1.这就是等比数列an的通项公式,其中a1为首项,q为公比4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an·qn,而y·qx(q1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列·qn中的各项的点是函数y·qx的图象上的孤立点思考:除了课本上采用的不完全归纳法,还能用什么方法求数列的通项公式提示还可以用累乘法当n>2时,q,q,q,ana1·
3、3;·a1·qn1.基础自测1思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()答案(1)×(2)×(3)×(4)×提示:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列(2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零(3)错误,当常数列不为零数列时,该数列才是等比数列(4)错误当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项2下列数列为等比数列的序号是_2
4、,22,3×22;,(a0);s1,(s1)2,(s1)3,(s1)4,(s1)5;0,0,0,0,0.,所以不是等比数列;是首项为,公比为的等比数列;中,当s1时,数列为0,0,0,0,0,所以不是等比数列;显然不是等比数列3等比数列an中,a22,a5,则公比q_.【导学号:91432189】由定义知q,则a2a1q2,a5a4qa3q2a2q3a1q4,所以÷得q3,所以q.4在等比数列an中,a427,q3,则a7_.729由等比数列定义知q.所以a5a4q27×(3)81,a6a5q81×(3)243,a7a6q243×(3)729.
5、合 作 探 究·攻 重 难等比数列的通项公式及应用在等比数列an中(1)已知a13,q2,求a6;(2)已知a320,a6160,求an.【导学号:91432190】解(1)由等比数列的通项公式得,a63×(2)6196.(2)设等比数列的公比为q,那么解得所以ana1qn15×2n1.规律方法1等比数列的通项公式涉及4个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个,在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解2关于a1和q的求法通常有以下两种方法:(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an
6、,这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算跟踪训练1在等比数列an中,(1)若它的前三项分别为5,15,45,求a5;(2)若a42,a78,求an.解(1)a5a1q4,而a15,q3,a5405.(2)因为所以由得q34,从而q,而a1q32,于是a1,所以ana1qn12.等比中项(1)等比数列an中,a1,q2,则a4与a8的等比中项是()a±4b4c±d.(2)已知b是a,c的等比中项,求证:abbc是a2b2与b2c2的等比中项. 【导学号:91432191】思路探究:(1)用定义求等比中
7、项(2)证明(abbc)2(a2b2)(b2c2)即可(1)a由an·2n12n4知,a41,a824,所以a4与a8的等比中项为±4.(2)证明:b是a,c的等比中项,则b2ac,且a,b,c均不为零,又(a2b2)(b2c2)a2b2a2c2b4b2c2a2b22a2c2b2c2,(abbc)2a2b22ab2cb2c2a2b22a2c2b2c2,所以(abbc)2(a2b2)·(b2c2),即abbc是a2b2与b2c2的等比中项规律方法等比中项应用的三点注意:(1)由等比中项的定义可知g2abg±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异
8、号时,没有等比中项.(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a,g,b成等比数列等价于g2ab(ab>0). 跟踪训练2若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为()a± b. c1 d±1d由题知2a13,a2.由b24得b±2±1.3设等差数列an的公差d不为0,a19d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于()【导学号:91432192】a2 b4 c6 d8ban(n8)d,又aa1·a2k,(k8)d29d·(2k8)d,解得k2(舍去),
9、k4.等比数列的判断与证明探究问题1若数列an是等比数列,易知有q(q为常数,且q0)或aan·an2(an0,nn*)成立反之,能说明数列an是等比数列吗?提示:能若数列an满足q(q为常数,q0)或aan·an2(an0,nn*)都能说明an是等比数列2若数列an是公比为q的等比数列,则它的通项公式为ana1·qn1(a,q为非零常数,nn*)反之,能说明数列an是等比数列吗?提示:能根据等比数列的定义可知已知数列的前n项和为sn2na,试判断an是否是等比数列思路探究:如何由求和公式得通项公式?a1是否适合ansnsn1(n2)?需要检验吗?解ansnsn1
10、2na2n1a2n1(n2)当n2时2;当n1时,.故当a1时,数列an成等比数列,其首项为1,公比为2;当a1时,数列an不是等比数列母题探究:1.(变条件)将例题中的条件“sn2na”变为“sn2an”求证数列an是等比数列证明sn2an,sn12an1,an1sn1sn(2an1)(2an)anan1,an1an.又s12a1,a110.又由an1an知an0,an是等比数列2(变条件变结论)将例题中的条件“sn2na”变为“a11,an12an1”证明数列an1是等比数列,并求出数列an的通项公式解因为an12an1,所以an112(an1)由a11,知a110,从而an10.所以2(
11、nn),所以数列an1是等比数列所以an1是以a112为首项,2为公比的等比数列,所以an12·2n12n,即an2n1.规律方法判断一个数列an是等比数列的方法:(1)定义法:若数列an满足q(q为常数且不为零)或q(n2,q为常数且不为零),则数列an是等比数列.(2)等比中项法:对于数列an,若an·an2且an0,则数列an是等比数列.(3)通项公式法:若数列an的通项公式为ana1qn1(a10,q0),则数列an是等比数列. 当 堂 达 标·固 双 基1下列数列是等比数列的是()【导学号:91432193】a2,2,2,2,2,2,2,2,b1,1,1
12、,1,1,c0,2,4,6,8,10,da1,a2,a3,a4,ba.从第2项起,每一项与前一项的比不是同一常数,故不选a.b由等比数列定义知该数列为等比数列c等比数列各项均不为0,故该数列不是等比数列d当a0时,该数列不是等比数列;当a0时,该数列为等比数列2若2a,b,2c成等比数列,则函数yax2bxc的图象与x轴的交点个数是()a0b1c2 d0或2b由题意,得b24ac,故函数yax2bxc的图象与x轴相切3在等比数列an中,若a24,a532,则公比q应为()【导学号:91432194】a± b±2c. d2d因为q38,故q2.4在等比数列an中,若公比q4,且前三项之和等于21,则该数列的通项公式an_.4n1由题意知a14a116a121,解得a11,所以通项公式an4n1.5已知数列an是首项为2,公差为1的等差数列,令bnan,求证数列bn是等比数列,并求其通项公式.
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