高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式学案 新人教A版必修4

1、第1课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标：1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法自 主 预 习·探 新 知1两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式c()cos()cos_cos_sin_sin_，r两角和的余弦公式c()cos()cos_cos_sin_sin_，r2两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦s()sin()sin_cos_cos_sin_

2、，r两角差的正弦s()sin()sin_cos_cos_sin_，r3重要结论辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .基础自测1思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，r，使得sin()sin sin 成立()(3)对于任意，r，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54°cos 24°sin 36°sin 24°sin 30°.()解析(1)正确根据公式的推导过程可得(2)正确当45°，0°时，sin()sin sin .(

3、3)错误当30°，30°时，sin()sin sin 成立(4)正确因为sin 54°cos 24°sin 36°sin 24°sin 54°cos 24°cos 54°sin 24°sin(54°24°)sin 30°，故原式正确答案(1)(2)(3)×(4)2cos 57°cos 3°sin 57°sin 3°的值为()a0bcdcos 54°b原式cos(57°3°)cos 60&

4、#176;.3若cos ，是第三象限的角，则sin_.cos ，是第三象限的角，sin ，sinsin cos ××. 合 作 探 究·攻 重 难给角求值问题(1)cos 70°sin 50°cos 200°sin 40°的值为()a bc d(2)若是第二象限角且sin ，则cos(60°)_.(3)求值：(tan 10°). (1)d(2)(1)cos 200°cos(180°20°)cos 20°sin 70°，sin 40°cos 50&

5、#176;，原式cos 70°sin 50°(sin 70°)cos 50°sin(50°70°)sin 120°.(2)是第二象限角且sin ，cos ，cos(60°)cos sin ××.(3)原式(tan 10°tan 60°)·2.规律方法解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相

6、消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求.跟踪训练1化简求值：(1)；(2)sin(75°)cos(45°)cos(15°)解(1)原式sin 30°.(2)设15°，则原式sin(60°)cos(30°)cos cos 0.给值求值、求角问题(1)已知p，q是圆心在坐标原点o的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点p的横坐标为，点q的横坐标为，则cospoq_.(2)已知cos ，sin(

7、)，且，.求：cos(2)的值；的值. 思路探究(1)先由任意角三角函数的定义求xop和xoq的正弦、余弦值，再依据poqxopxoq及两角和的余弦公式求值(2)先求sin ，cos()，依据2()求cos(2)依据()求cos 再求.(1)(1)由题意可得，cosxop，所以sinxop.再根据cosxoq，可得sinxoq，所以cospoqcos(xopxoq)cosxop·cosxoqsinxop·sinxoq××.(2)因为，所以，又sin()0，所以0，所以sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin()

8、5;×.cos cos()cos cos()sin sin()××，又因为，所以.规律方法给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.跟踪训练2已知锐角，满足cos ，sin()，求sin 的值解因为，是锐角，即0，0，所以，因为sin()0，所以cos()，因为cos ，所以sin ，所以sin sin()sin cos()

9、cos sin()××.辅助角公式的应用探究问题1能否将函数ysin xcos x(xr)化为yasin(x)的形式？提示：能ysin xcos xsin.2如何推导asin xbcos xsin(x)公式提示：asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定)(1)sincos_.(2)已知a(，1)，b(sin x，cos x)，xr，f(x)a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间. 思

10、路探究解答此类问题的关键是巧妙构建公式c()、c()、s()、s()的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值(1)(1)原式2.法一：(化正弦)原式222sin2sin.法二：(化余弦)原式222cos2cos.(2)f(x)sin xcos x222sin，t2，值域2,2由2kx2k，得递增区间，kz.母题探究：1.若将例3(2)中a(，1)改为a(1，)，其他条件不变如何解答？解f(x)sin xcos x22cos，t2，值域为2,2，由2kx2k，得递增区间，kz.2若将例3(2)中a(，1)改为a(m，m)其中m0，其他条件不变，应如何解答？解f(x)msin xmcos xms

11、in，t2，值域为m，m，由2kx2k，得递增区间，kz.规律方法辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()将形如asin bcos (a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误. 当 堂 达 标·固 双 基1sin 245°sin 125°sin 155°sin 35°的值是()abc dbsin 245

12、6;sin(155°90°)cos 155°，sin 125°sin(90°35°)cos 35°，原式cos 155°cos 35°sin 155°sin 35°cos(155°35°)cos 120°.2化简cos xsin x等于() a2sin b2cosc2sind2cosdcos xsin x222cos.3cos cos()sin sin()_.cos cos cos()sin sin()cos()cos .4(2018·全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.解析sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，两式相加可得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin().答案5已知，均为锐角，sin ，cos ，求. 解，均为锐角，sin ，c