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1、二轮复习之特征方程法求递推数列的通项公式(基础篇)适用学科高中数学适用年级高三适用区域人教版课时时长(分钟)60知识点常见数列通项公式的求法(构造法、特征法等)教学目标1、 让学生数列的掌握各种不同数列的通项的求法2、 特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。教学重点构造法、特征法等教学难点构造法、特征法等教学过程 一、高考解读各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。二、复习预习一、等差数列的通

2、项公式:an= 或an= ;说明:等差数列(通常可称为数列)的单调性:为递增数列,为常数列, 为递减数列。等差中项的概念:定义:如果,成等差数列,那么叫做与的等差中项。其中 ,成等差数列。等差数列的前和的求和公式 ;二、等比数列通项公式:an= 或an= ;3、前n项和公式:Sn = (q=1) = ,(q1)三、知识讲解考点1 (一阶线性递推式)设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解

3、通项公式.下面以定理形式进行阐述.考点2 设上述递推关系式的特征方程的根为,则当时,为常数列,即,其中是以为公比的等比数列,即.证明:因为由特征方程得作换元则当时,数列是以为公比的等比数列,故当时,为0数列,故(证毕)四、例题精析例题1 已知数列中,求.【规范解答】设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,所以.【总结与思考】递推公式为(其中p,q均为常数,)。解法:把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例题2 设数列:,求.【规范解答】设,将代入递推式,得()则,又,故代入()得【总结与思考】(1)若为的二次式,则可设;(

4、2)本题也可由 ,()两式相减得转化为求之.例题3 已知数列中,,,求。【规范解答】在两边乘以得:令,则,应用例7解法得:所以【总结与思考】引入辅助数列(其中),得:再应用类型3的方法解决。例题4 已知数列中,,,求。【规范解答】由可转化为即或这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即又,所以。【总结与思考】 递推公式为(其中p,q均为常数)。解法:先把原递推公式转化为其中s,t满足,再应用前面类型3的方法求解。例题5 已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数迭加法)由,得,且。则数列是以为首

5、项,为公比的等比数列,于是。把代入,得,。把以上各式相加,得。解法二(特征根法):数列:, 的特征方程是:。,。又由,于是故【总结与思考】对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。课程小结设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递

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