数学物理方法ppt

1、2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇1 数学物理方法 复变函数论2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇2复变函数论n复数n复变函数n导数n解析函数n本章小结2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇3复数n数的扩张（完善化）q自然数q减法不封闭整数q除法不封闭有理数q不完备 实数q方程可解性复数22021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇4复数n复数的表示q代数表示nz = x + iyqx = Real(z), y = Imagine(z)q三角表示nz = r (cos + i sin)qr = |z|, = Arg(z)q指数表示nz =

2、 r exp(i)qexp(i) = cos + i sin2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇5复数q几何表示q关系nx = r cosny = r sinnr = (x2+y2)n= Arctan(y/x)n特点q无序性n复数无大小q矢量性n复数有方向2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇6复数n运算q加减法n(x1+ iy1)(x2+ iy2) = (x1x2) + i(y1y2) q乘除法nr1exp(i1) r2exp(i2) = r1r2 expi(1+2) q幂和开方nr exp(i)n = rn exp(in)nr exp(i)1/n = r1/n

3、 exp(i/n)q复共轭nz = x + iy z* = x iynz = r exp(i) z* = r exp(-i)2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇7复变函数n概念q定义n函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射n实变函数：f:xyn复变函数：f:zwq举例nf(n) = fn = (1+i)n, nNnf(z) = znnf(z) = exp(z)nf(z) = ln(z)2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇8复变函数q更多的例子nw = az2nw = az2 + bz +cnw = 1/(az + b)nw = (az + b)nw

4、 = Ln(az + b)nw = sin znw = Arccos znw = an znnw = an sin(nz) nw = (1-z2/n22)nw = exp(-z2)dz2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇9复变函数复变函数的分类复数数列整式分式有理函数无理函数代数函数超越函数初等函数幂级数傅立叶级数级数无穷乘积无限次运算无限次复合非初等函数复变函数（狭义）复变函数（广义）2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇10复变函数n分析与比较q定义域和值域n相同点：q都是数集n不同点：q实数集是一维的，可以在(直)线上表示；q复数集是二维的，必须在(平)面上

5、表示。n典型例子：q|x|2 是连通的， 1|x|是不连通的；q|z|2是单连通的， 1|z|是复连通的。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇11复变函数q映射n相同点q在形式上：y = f(x), w = f(z)n不同点q在变量上：z = x+iy, w = u+ivq在描述上：实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示；复变函数不能用一个图形完全表示。n联系qu = u(x,y), v = v(x,y)q可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇12复变函数q结构n相同点：q复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。n

6、不同点：q基本实变函数xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)q基本复变函数zn, z1/n,exp(z),ln(z)q原因cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇13复变函数n基本函数q二次函数n定义qw = z2n分析qu + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 qu = x2 -y2 ,qv = 2xyn性质q对称性q无周期性q无界性q单值性-10-50510-10-50510-100-50050100-10-50510-10-5051

7、0-10-50510-200-1000100200-10-505102021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇14复变函数q三次函数n定义qw = z3n分析qu + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 qu = x3 3xy2 ,qv = 3x2y - y3 n性质q对称性q无周期性q无界性q单值性-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-50510-10-50510-10-50510-2000-1000010002000-10-505102021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇15复变函数q指数

8、函数n定义qw = exp(z)n分析qu + iv = exp(x+iy) = exp(x)cosy +i sinyqu = exp(x) cos y ,qv = exp(x) sin yn性质q不对称性q周期性exp(z+2i)= exp(z)q无界性q单值性-2-1012-5-2.502.55-5-2.502.55-2-1012-2-1012-5-2.502.55-4-2024-2-10122021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇16复变函数q对数函数n定义qw = Ln(z)n分析qu + iv = Ln r exp(i) = ln r + i qu = ln r,qv =

9、 n性质q对称性q非周期性q无界性q多值性：| 123451234500.511.5212345-2-1012-2-1012-101-2-10122021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇17复变函数q三角函数n定义qw = sin(z)n分析qu + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y)qu = sin(x)ch(y) ,qv = cos(x)sh(y)n性质q对称性q周期性q无界性q单值性-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.55-5-2.502.55-4-2024-20020-5-2.502.552

10、021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇18复变函数的导数n基本概念实变函数复变函数极限连续导数Axfxx)(lim0Azfzz)(lim0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00zfzfzz)( )(lim00 xfxxfxx)( )(lim00zfzzfzz2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇19复变函数的导数n可导条件q分析qC-R条件nux = vy nvx = -uyq充要条件n偏导数 ux ，vy ，vx ，uy 连续n满足C-R条件q意义n可导函数的虚部与实部不是独立的，而是相互紧密联系的。xvixuxviuzzfxxyyxx000lim)(l

11、imyuiyvyiviuzzfyyyyxx000lim)(limzzfzfzzfyyxxyyxx)(lim)( )(lim000002021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇20复变函数的导数n典型情况q初等函数在定义域内都可导；q函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。n导数的计算q法则：n复变函数的求导法则与实变函数完全相同；q例子：n (sin2z) = 2 sin z cos znexp(z2 ) = 2 z exp(z2 )n (z3)” = 6 z2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇21复变函数的导数n导数的意义q微商表示nf(z

12、) = dw/dz q模：n|f(z)|= |dw|/|dz| q幅角：nArgf(z) = Arg(dw) - Arg(dz) 2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇22解析函数n定义q点解析n函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导q区域解析n函数f(z)在区域B上每一点都解析n性质q调和性n解析函数的实部与虚部都是调和函数，n即 u=uxx + uyy = 0, v=vxx + vyy = 0q正交性n解析函数的实部与虚部梯度正交，n即 uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0n或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。202

13、1-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇23解析函数n应用q例1：已知平面电场的电势为u=x2-y2，求电力线方程。q分析：等势面与电力线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。q解：设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得qvx=-uy=2y, vy=ux =2xqdv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)qv = 2xyq注意：电力线方程的一般形式为 f(2xy)=C2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇24解析函数q例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势u(x,y)。q分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表

14、达式，电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。q解：设电势为 u=f(x2+y2)qux=2xf, uxx=2f+4x2f”quy=2yf, uyy=2f+4y2f”quxx+uyy=4f+4(x2+y2)f”=0q令 t = x2+y2, g = f(t) g +t g = 0qg = -ln t +Cqf = 2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇25解析函数q例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流量函数。q分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。q解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得qvx=

15、-uy=2y, vy=ux =2xqdv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)qv = 2xyq注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇26本章小结n复变函数q定义：两个复数集合之间的映射；q特点：定义域和值域为2维；n定义域出现复连通现象；n不能用一个图形完全描述；n极限存在的要求提高；q分析：可以分解成2个二元实函数；n解析函数q满足CR条件；q实部和虚部都是调和函数，相互正交。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇27数学物理方法复变函数的积分2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇2

16、8复变函数的积分n路积分n柯西定理n不定积分n柯西公式n本章小结2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇29路积分n路积分的概念和性质实变函数复变函数定义性质iniixbaxxfdxxfi10)()(liminiizCzzfdzzfi10)()(limbabadxxfcdxxcf)()(CCdzzfcdzzcf)()(bababagdxfdxdxgfCCCgdzfdzdzgfabbadxxfdxxf)()(CCdzzfdzzf)()(dxfdxfdxfbabccadzfdzfdzfCCCC21212021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇30路积分n路积分的计算q思路n化

17、复为实q公式InC f(z) dz = C(u +iv)(dx +idy)n = C(udx-vdy)+iC(udy+vdx)q公式IInC f(z) dz = C(u +iv)(eidr +i r eid)n = C ei(udr-vrd)+i(urd+vdr)2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇31路积分q例题1n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数Czdz从O到B的定积分。解：zdzzdzzdzABOABOA)()()(2010ixdixiyiydii223) 2221(212)2()2(20 xixdxixzdzOBixdxi2)1 (2320221zdzzdzzdzCB

18、OCBOCi 2232021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇32路积分q例题2n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数C z2dz从O到B的定积分。解：dzzdzzdzzABOABOA222)()()()(220210ixdixiydiy)112 (31i)2()2(2202xixdxixdzzOB33120321)2 ()1 (ixdxidzzdzzdzzCBOCBOC222)112 (31i2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇33路积分q例题3n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数C Re(z) dz从O到B的定积分。解：xdzxdzxdzABOABOA)()(020

19、10ixxdiyd2)2(20 xixxdxdzOBixdxi2)1 (2021xdzxdzxdzCBOCBOCi 222021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇34路积分q例题4n沿图所示的三条曲线分别计算复变函数z-1dz从O到B的定积分。解：iiADdeedzz01idzzdzzdzzdzzCDBCABABCD1111drrdeedrraiia11101iiiADdeedzz21i2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇35柯西定理n积分规律的探究q归纳n如果函数f(z)在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定。q猜想n如果函数f(z)在闭单连通

20、区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 l的路积分有：ldzzf0)(0)(2121LLLLlfdzfdzfdzfdzdzzfn 证明（见教材）2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇36柯西定理n推广q规律n闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于沿所有内边界线逆时针积分之和。q公式 illidzzfdzzf)()(n统一表述 解析函数沿所有边界线正向积分为零； 起点和终点固定时，积分路径在解析区域中连续变形不改变路积分的值。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇37柯西定理n例题q计算积分dzazInL)( n解： 如a不在L内，I = 0 当a在L内

21、时， 如 n 0，I = 0； 如 n 无限次可导。q应用n理论上q模数原理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值；q刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。n计算上q简化路积分的计算。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇43柯西公式n应用举例q例1n问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a = -1解：由柯西公式2|1coshzdzzz)(2)(afidzazzfL1cosh2)1cosh(21cosh2|iidzzzz2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇44柯西公式q例2n问题：计算回路积分 分析：与推广的柯

22、西公式比较， 可知f(z)=sinh(z)，a = 0，n = 1 解：由推广的柯西公式1|2sinhzdzzz)(2)()(1afnidzazzfnLn！）（iiidzzzz20cosh2)0(sinh2sinh1|22021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇45柯西公式q例3n问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较， 可知f(z)= ，a =1|)2(1zdzzzn例4 问题：计算回路积分2|)1(1zdzzz 分析：2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇46本章小结n路积分q复变函数的路积分可分解为2个线积分；q一般情况下，路积分与积分路径有关；n柯西定理q在单

23、连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定；q在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。n柯西公式dzfinzfLnn1)()()(2!)(2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇47数学物理方法幂级数展开2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇48幂级数展开n复级数n幂级数和泰勒展开n双边幂级数和罗朗展开n孤立奇点n本章小结2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇49复级数n复数项级数q形式：i=1 ui q通项：ui 为复数q部分和：sn = n ui q和：s = lim sn q余项：rn = s - sn = u

24、n+1 + un+2 + q收敛：s 存在n0, N(), s.t. nN() = |s-sn|收敛2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇50复级数n收敛性判别法q级数ni=1 uiq比值法n = limk|uk+1/uk|n1，发散。q根值法n = limk|uk|1/kn1，发散。n例： 判断几何级数的敛散性 n=0 a0 qnn解： 1.比值法 = |q| |q|1，发散。 2.根值法=|q|limk|a0|1/k = |q| |q|1，发散。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇51复级数n复函项级数q形式：i=1 ui(z)q通项：ui(z)q部分和函数：

25、sn(z) = i=1n ui(z) q和函数：s(z) = lim sn(z) q收敛域： z|s(z)存在 n定义：0, N(,z), s.t. nN(,z)|s(z)-sn(z)|0, N(), s.t. nN() |s(z)-sn(z)| n性质：q各项连续和连续，和的积分=各项积分之和； q各项可导和可导，和的导数=各项导数之和2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇52幂级数和泰勒展开n幂级数q形式：ns(z) = k=0 ak(z-b)kq收敛域：nR = limk|ak/ak+1|n = limk|ak+1(z-b)k+1 /ak(z-b)k|=|z-b|/Rn|z

26、-b|R R 1，发散。q一致收敛性：ns(z)dz = k=0 ak(z-b)k dzn s(z) = k=0 ak(z-b)k2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇53幂级数和泰勒展开n泰勒展开q问题：n一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？q泰勒定理：n一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z) = k=0 ak(z-b)kn该幂级数在圆|z-b|=R内收敛；n以b为中心的展开式是唯一的；n系数 ak=f(n)(b)/n!n应用柯西积分公式，系数也可以表示为dbfibfnaLnnn1)()()(21)(!12021-11-7徐州工程学院 数

27、理方法教案 滕绍勇54幂级数和泰勒展开n展开方法q基本方法（用定理）nf(z) = k=0 ak(z-b)k， an=f(n)(b) /n!q例1：n题目：q在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。n解答：qf(z) = exp(z)qf(n)(z) = exp(z)qf(n)(0) = 1qan= 1/n!qf(z) = k=0 zk/k!q该幂级数在圆|z|内收敛；2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇55幂级数和泰勒展开q例2：n题目：q在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。n解答：qf(z) = 1/(1-z)qf(z) = 1/(1-z)2qf”(z)

28、= 2/(1-z)3qf(n)(z) = n!/(1-z)n+1qf(n)(0) = n! qan= 1qf(z) = k=0 zkq该幂级数在圆|z|1内收敛；2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇56幂级数和泰勒展开q发散方法（用性质）n线性组合的展开 = 展开之线性组合。n和函数的积分 = 各项积分之和；n和函数的导数 = 各项导数之和；q例3：n题目：q在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。n解答：qcosh(z) = exp(z)+exp(-x)/2qexp(z) = k=0 zk/k!qexp(-z) = k=0 (-z)k/k!qcosh(z) = k=0

29、 zk/k!+ (-z)k/k!/2 = k=0 z2k/(2k)!q该幂级数在圆|z|内收敛；2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇57幂级数和泰勒展开q例4：n题目：q在b = 0 的邻域上把 f(z)=ln(1-z) 展开。n解答：qln(1-z) = -(1-z)-1dzq(1-z)-1 = k=0 zkqln(1-z) = -k=0 zk dz = - k=0 zk+1/(k+1)q例5：n题目：q在b = 0 的邻域上把 f(z)= (1-z)-2 展开。n解答：q(1-z)-2 = (1-z)-1q(1-z)-1 = k=0 zkq(1-z)-2 = k=0 zk

30、= k=0 k zk-12021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇58双边幂级数和罗朗展开n负幂级数q形式：ns(z) = k=0 ak(z-b)-kq收敛域：nt = 1/|z-b|n|t| = 1/|z-b| R = 1/Rn双边幂级数q形式：ns(z) = k=- ak(z-b) kq分析n双边幂级数 = 正幂级数 + 负幂级数q收敛域：nR|z-b|R2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇59双边幂级数和罗朗展开n罗朗展开q问题：n一个双边幂级数是其收敛环内的解析函数，反之如何？q罗朗定理：n一个在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)可以展开为双边幂级数 f

31、(z) = k= ak(z-b)kn该幂级数在环R1|z-b|0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。n解答：qcosh(z) = k=0 z2k/(2k)!qcosh(z)/z = k=0 z2k-1/(2k)!q例2：n题目：q在|z|0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。n解答：qexp(t) = k=0 tk/k!qexp(1/z) = k=0 z-k/k!2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇61双边幂级数和罗朗展开q例3：n题目：q以b=0为中心把f(z)=1/z(z-1)展开。n分析q因为f(z)有两个单极点z=0和z=1,q所以它以b=0为中心的解析环

32、有两个q0|z| 1和1|z|，需要分别展开n解答：q在环域0|z| 1中q f(z) = 1/z(z-1)= -1/z(1-z) = -1/z k=0 zkq = -k=0 zk-1q在环域 1|z|中q f(z) = 1/z(z-1) = 1/z2(1-z-1) = 1/z2k=0 z-k q = k=0 z-k-22021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇62孤立奇点n概念q奇点：n定义：函数的非解析点；n举例：csc(z)在z=n, csc(1/z)在z=0，1/n ；n判断：初等函数在其定义域内解析；q孤立奇点：n定义：存在解析邻域的奇点；n举例：csc(z)在z=n为孤立

33、奇点, csc(1/z)在z=0为非孤立奇点；n特点：本身无定义，对周围有影响；n判断：只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点；2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇63孤立奇点n分类q原则：n根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类；q分类：n极限为有限值，称为可去奇点，例如 sinz/z；n极限为(n阶)无穷大，称为(n阶)极点，例如 1/zn； n极限不存在，称为本性奇点，例如 exp(1/z) ；q性质n 奇点 邻域罗朗展开式n可去奇点： 无负幂项；n(n阶)极点： 有限个负幂项， (最高为n次) ；n本性奇点： 无限多个负幂项；2021-11-7徐州工程学院 数理方

34、法教案 滕绍勇64本章小结n双边幂级数q形式：s(z) = k=- ak(z-b)kq性质：在环域内一致收敛n罗朗展开q条件：在环R1|z-b|R2内解析的函数f(z)q定理：可以展开为双边幂级数 f(z) = k= ak(z-b)kn孤立奇点q可去奇点：极限有限， 邻域展开式无负幂项；q(n阶)极点：极限无穷， 邻域展开式有有限个负幂项；q本性奇点：极限不存在，邻域展开式有无限多个负幂项。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇65数学物理方法留数定理2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇66留数定理n留数定理n留数定理的应用n本章小结2021-11-7徐州工程学院

35、 数理方法教案 滕绍勇67留数定理n留数q引入n问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？n方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇点邻域积分之和。q定性定义n复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果； 当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下； 当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值；q定量定义dzzfizfzz|00)(21)( sRe2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇68留数定理n留数的计算q一般情况n孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数；nRes f(z0) = a-1q证明0 ( )()nnnfzazz 00

36、|1Re s ()( )2zzfzfz dzi 00|1 ()2innnzzazzdz 11i2i21 aa2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇69留数定理q极点情况nm阶极点的留数由下面的公式确定m11010100010 (z- )( )()()()()mmmmmzf zaaz za z za z za z z n证明)()()1(1lim)( sRe11zfbzdzdmbfmmmbz！m-1m2010010m-1d!(1)! (z-)( )0(1)!()()dz1!2!mmzf zmaazzazz1101010010( )()()()()mmmmf zaz zaz za z

37、 zaa z z 2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇70留数定理q单极点情况n单极点的留数由下面的公式确定0Re s ()lim()( )zbfzzbfz 如果f(z)为分式，即f(z)=P(z)/Q(z), P(z0)0，则有00()( )Re s ()lim( )zbzzP zfzQ z000() ( )()lim( )()zbzzP zP zQzQz2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇71留数定理q例1n问题：计算函数 f(z) = z2 exp(1/z) 的留数。n解：f(z)有一个孤立奇点z=0, 是本性奇点，在该点罗朗展开220011( )!kkk

38、kfzzzzkk11Re s (0)3!fan例2 问题：计算函数 f(z) = sin(z)/(z-1)2 的留数。 解：f(z)有一个孤立奇点z=1, 是2阶极点，应用公式)()1(!11lim)1( sRe21zfzdzdfz1cossin!11lim1zdzdz2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇72留数定理q例3n问题：计算函数 f(z) = exp(z)/z(z-1) 的留数。n解：f(z)有两个孤立奇点z=0,1, 都是1阶极点，应用公式)()1(lim)1( sRe1zfzfzezzz/)exp(lim1)(lim)0( sRe0zfzfz1)1/()exp(l

39、im0zzz 又解：也可以用单极点的简化公式00000()exp()Re s ()()21P zzfzQzz2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇73留数定理n留数定理q定理n设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点z1, z2,zn外解析，在对应的闭区域上除z1, z2,zn外连续，则1( )2Res ()njjLf z dzif z n应用步骤 确定回路L内的孤立奇点； 判断留数定理的条件是否满足； 计算各孤立奇点的留数； 代入定理。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇74留数定理的应用n基本应用q例题1：计算下列回路积分1|,221|izzdzIz

40、解：奇点为24422iz211zi1| , 1|zz)1(2)1(2221)(sRe2iziiizzf221122)(sRe2iizfiI212021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇75留数定理的应用n实变函数的定积分q基本思想n变形法：变线段为封闭曲线；n辅助线法：加辅助线使线段封闭。q类型一n被积函数是三角函数的有理式dxxxRI)sin,(cos20)(sin),(cos121121zzxzzxeziix)/(lnizdzdxzxiizdzizzzzRIz)2,2(111|2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇76留数定理的应用izdzizzIz2/1111|）

41、（解：作变量变换212n例题2：计算下列定积分1|,sin11dxxIixez）（12221|zizdzz2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇77留数定理的应用q类型二n被积函数是有理分式的广义积分dxxfI)( 其中： 分母在实轴上没有零点； 分母比分子高两次或以上。 则：)(sRe20ImjzzfiIj证明：2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇78留数定理的应用izzifiz612)4/(1)(sRe2解：被积函数是有理式，分母比分子高4次，在实轴无零点， 满足定理的条件。 上半平面内有单极点z=i和z=2i，对应的留数分别为：6)12161(2iiiIn例

42、题3：计算下列定积分dxxxI)4)(1(122izzifiz1212)1/(1)2(sRe222021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇79留数定理的应用q类型二的推广 In被积函数是有理分式的广义积分dxxfI)( 其中： 分母在实轴上有一阶零点； 分母比分子高两次或以上。 则： )(sRe)(sRe20Im210ImzzzfzfiI2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇80留数定理的应用iiiizzifiz20)12()12(412)1/(1)2(sRe2解：被积函数是有理式，分母比分子高3次，在实轴有一阶零点，满足定理的推广条件。 上半平面有单极点z=2i，实轴

43、有单极点z=1，对应留数：10)51212012(2iiiIn例题4：计算下列定积分511)4/(1)1(sRe12zzfdxxxI)1)(4(122021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇81留数定理的应用q类型二的推广 IIn被积函数是广义积分0,)(mdxexfIimx 其中：f(x)为有理式 分母在实轴上没有零点； 分母比分子高一次或以上。 则：)( sRe20ImjjimzjzezfiI证明：2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇82留数定理的应用解：上面的积分可以化为标准形式mmeeiiI5510)101(2Re21n例题5：计算下列定积分dxxmxI25c

44、os20mizimzeizeif551012)5(sRe被积函数满足定理的条件，上半平面内有单极点z=5i，对应的留数为：dxxedxxmxIimx2225Re2125cos212021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇83留数定理的应用q类型二的推广IIIn被积函数是广义积分0,)(mdxexfIimx 其中：f(x)为有理式 分母在实轴上有一阶零点； 分母比分子高一次或以上。 则： iI2例题6：计算下列定积分dxxmxI2sin2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇84本章小结n概念q留数：回路积分留下的数；n计算q单极点：q一般极点：q一般孤立奇点：n应用q直接

45、应用n计算回路积分；q间接应用n计算三角有理式的积分；n计算有理式的广义积分及其推广。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇85数学物理方法傅立叶变换2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇86傅立叶变换n傅立叶级数n傅立叶变换n狄拉克函数n本章小结2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇87傅立叶级数n三角级数q定义n由周期为2的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数1021)sincos(nnnnxbnxaan基本函数族 组成：1，cos(nx)，sin(nx) 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；mnmxdxnxmxdxnx，0sin

46、sin0coscos0sincosmxdxnx2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇88傅立叶级数n傅立叶展开q傅立叶展开定理：n周期为2的函数f(x) 可以展开为三角级数，n展开式系数为nxdxxfbnxdxxfannsin)(1,cos)(1n狄利克雷收敛定理 收敛条件 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； 在一个周期内至多只有有限个极值点。 收敛结果 当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。 2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇89傅立叶级数q展开举例n对称函数q对奇函数： 对偶函数： 0sin)(2,

47、 0nxdxxfbann0,cos)(20nnbnxdxxfa函数展开式sgn(x)(4/) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +) x 2 (sin x sin2x/2 + sin3x/3 sin4x/4 + sin5x/5 +) |x| /2 (4/)(cos x + cos3x/32 + cos5x/52 + ) 典型周期函数(周期为2)2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇90傅立叶级数q傅立叶展开的意义：n理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；n应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。n例如：对称方波的傅立叶展开0, 4/0, 4/

48、)(xxxfmnmnxnxS112) 12sin()()()(limxfxSmm2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇91-3-2-1123-1-0.50.51S1-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S2-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S3-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75f2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇92-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S6-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S12-3-

49、2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75S24-3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75f2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇93傅立叶级数q重要推广n推广1：q问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开： q方法：对基本公式作变换xt/L，1021)sincos()(nLtnnLtnnbaatf,cos)(1LLLtnndttfLaLLLtnndttfLbsin)(12021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇94傅立叶级数n推广2q问题：把定义在 -L, L 上的函数 f(t)展开；q方法：先把它延拓为周期函数(即把它

50、当成是一个周期 为2L的函数的一部分)， 再按推广1展开；q注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。q延拓前q q延拓后2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇95傅立叶级数n推广3q问题：把定义在 0, L 上的函数 f(x)展开；q方法：先把它延拓为-L, L上的奇函数或偶函数， 再按推广2把它延拓为周期函数， 最后按推广1展开；q注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(x)一致。q公式：0,10,1|)sgn(|)(|)sgn()(|)(|)(xxxxxxfxxfxfxfoe2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇96傅立叶级数q展开的复数形式n展开公式

51、：基本函数族：正交性：展开系数：nLxnnicxf)exp()(ZniLxn，)exp(mnLxmLxnLLLdxii,2)exp()exp(dxxfiLcLxnLLn)()exp(212021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇97傅里叶生平傅里叶生平n1768年生于法国年生于法国n1807年提出年提出“任何周任何周期信号都可用正弦函期信号都可用正弦函数的级数表示数的级数表示”n1822年发表年发表“热的分热的分析理论析理论”，首次提出，首次提出“任何非周期信号都任何非周期信号都可用正弦函数的积分可用正弦函数的积分表示表示”2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇98傅立

52、叶变换n非周期函数的傅立叶展开q问题：n把定义在（，）中的非周期函数 f (x)展开；q思路：n把该函数定义在（L，L）中的部分展开，再令L；q实施：n展开公式nLxnnicxf)exp()(展开系数：dxxfiLcLxnLLn)(exp(21）n困难 展开系数 cn 为无穷小； 幂指数 nx/L 不确定。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇99傅立叶变换q解决方法：n把 n/L 作为新变量，即定义n = n/L ；n把 cnL/作为新的展开系数，即定义F(n)=cnL/.q公式的新形式：n展开公式：nnnnxiFxf)exp()()(展开系数：dxxfxiFnLLn)()ex

53、p(21)(n取极限： 傅立叶变换：dxxfxiF)()exp(21)(傅立叶积分：dxiFxf)exp()()(2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇100傅立叶变换q例题1n矩形函数的定义为 求矩形脉冲 x (t) = rect(t/2T1)的傅立叶变换。 解：2121|, 0|, 1)(recttttdttxtiX)()exp(21)(1sin)exp(2111TdttiTT2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇101傅立叶变换n例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解： 先求出 f (t) 的傅立叶变换dttftiF

54、)()exp(21)(ThhdttiTTsin)exp(21代入傅立叶积分公式，得dtiThtf)exp(sin)(2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇102tetf)(221)(Fn例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换傅立叶变换2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇103傅立叶变换n傅立叶变换的意义q数学意义n从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；nf(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F()称为象函数。q应用意义n把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的自变量为频率，函数值为对应的振幅。q物理意义n把一般运动分解为简谐运动的叠加；n

55、把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。q物理实现n分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；n记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇104傅立叶变换n傅立叶变换的性质q一般假定nf(x) F()， g(x) G()q奇偶虚实性nf(x)为偶函数，F()=f(x)cos(x)dx/(2)为实函数；nf(x)为奇函数，F()=-if(x)sin(x)dx/(2)为虚函数q线性性质nk f(x) k F()；nf(x)+g(x) F()+ G() q分析性质nf (x) iF()；)()(1Fdxxfix2021-11-7徐州工

56、程学院 数理方法教案 滕绍勇105傅立叶变换q位移性质nf(x-a) exp(-ia)F() ；nexp(ix)f(x) F(-)q相似性质nf(ax) F(/a)/a；nf(x/b)/b F(b) 。q卷积性质nf(x)*g(x)f()g(x-)d 2F()G()；nf(x)g(x) F()*G() F()G(-)dq对称性质n正变换与逆变换具有某种对称性；n适当调整定义中的系数后，可以使对称性更加明显。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇106傅立叶变换q应用举例)/(sin)(rect21x)/(sin)(rect21hxh/sin)( rect21ix )/(sin)(

57、rect21iaeaxdxxx)(rect)(rect)(rect)(rect)/(sin2) 2/(rect|)|1 (2212xx2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇107傅立叶变换q验证) 2/(rect|)|1 ()(rect)(rect)(rect)(rectxxdxxx01,10,1|,|212121212121xxxxxxdxxxexi) 2/(rect|)|1 (21dxxxdxxexi)1 (cos1|)|1 (211011)/(sin222122021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇108傅立叶变换n推广q推广1n问题：把定义在 0, ) 上的函

58、数 f(t)展开；n方法：先把它延拓为(-,)上的奇函数或偶函数， 再按公式进行傅立叶变换；n注意：q偶函数满足条件f(0)=0，形式为 f(|t|)；q奇函数满足条件f(0)=0，形式为 sgn(t)f(|t|).n结果：所得到的傅立叶积分仅在原定义范围中与f(t)一致。dxtftiF)()exp(21)(dtiFtf)exp()()(2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇109傅立叶变换q推广2n问题：多元函数的傅立叶变换n公式：dxdyyxfekkFykxkiyxyx),()2(1),()(2yxykxkiyxdkdkekkFyxfyx)(),(),( jkikkj yi

59、xryx,令kdekFrfrki)()(rdrfekFrki)()2(1)(22021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇110傅立叶变换q推广3n傅立叶变换的收敛条件:|F()|f(x)|dx 0 为双曲型，如波动方程； = 0 为抛物线型，如热传导方程； 0 为椭圆型，如稳定场方程。02yyyxyxxcuauauau062yxxyxxuuyuuyuuuyxyxxsin5202yyxyxxxuuuuuuuyyxyxxsin23判断：2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇143叠加原理n原理：q线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自满足的方程的相应的线

60、性叠加正好是原来的方程q如：L u1 = f1q L u2 = f2q则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2n应用：q齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；q非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；q两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇144定解问题n问题的提出n定解条件q初始条件q边界条件n定解问题q初值问题q边值问题q混合问题2021-11-7徐州工程学院 数理方法教案 滕绍勇145定解问题的提出n方程 u(t) = 0q能不能求解？解是什么？