数学预备知识——约定求和法

1、数学补充知识数学补充知识约定求和法约定求和法 一、笛卡儿直角坐标系一、笛卡儿直角坐标系 二、约定求和法二、约定求和法三、克罗尼克尔符号三、克罗尼克尔符号四、置换符号（四、置换符号（Levi-Civita符号）符号）一、笛卡儿直角坐标系一、笛卡儿直角坐标系 由坐标原点与三条不共面的标架直线构成的坐标由坐标原点与三条不共面的标架直线构成的坐标系称直线坐标系，在直线坐标系中，如果各标架上单系称直线坐标系，在直线坐标系中，如果各标架上单位尺度取的不同，称为仿射坐标系；如果单位尺度相位尺度取的不同，称为仿射坐标系；如果单位尺度相同，则称为笛卡儿坐标系。如果标架直线互相垂直，同，则称为笛卡儿坐标系。如果标

2、架直线互相垂直，称为笛卡儿直角坐标系，否则称为笛卡儿斜角坐标系。称为笛卡儿直角坐标系，否则称为笛卡儿斜角坐标系。 通常以通常以 表示笛卡儿直角坐标系的坐标，表示笛卡儿直角坐标系的坐标，以以 分别表示三个坐标的单位矢量。分别表示三个坐标的单位矢量。 ix i1 2 3, ,123i i i, 二、约定求和法二、约定求和法 如果在同一项中，某个指标重复出现两次，如果在同一项中，某个指标重复出现两次，就表示要对这个指标从就表示要对这个指标从1到到3求和，例如在求和，例如在 中，中，指标指标 重复出现两次，其含义是：重复出现两次，其含义是： 称为约定求和指标，约定求和指标在展开式中不称为约定求和指标，

3、约定求和指标在展开式中不再出现，因此也称为再出现，因此也称为“哑指标哑指标”，显然哑指标的，显然哑指标的字母可以更换，因为字母可以更换，因为 与与 的含义是相同的含义是相同的。的。iiBAi332211BABABABAiiiiBAjjBA332211xAxAxAxAiiijijBA22222121131312121111BABABABABABAijij3333323231312323BABABABAij例例1：例例2：写出：写出 的展开式的展开式在上式中在上式中 和和 都是哑指标，展开式如下：都是哑指标，展开式如下： 例3：写出的 展开式在上式中 是哑指标，不参加约定求和，称为自由指标，上式的

4、展开式如下：全部写出来：ijjA Bjiijji11i22i33A B = A B + A B + A Bi, j=1,2,31jj111122133A B = A B + A B + A B2jj211222233A B = A B +A B +A B3jj311322333A B = A B + A B + A B三、克罗尼克尔符号三、克罗尼克尔符号1、定义：、定义： 例例1：在笛卡儿直角坐标系中：在笛卡儿直角坐标系中例例2：单位矩阵可表示为：单位矩阵可表示为：jijiij, 1,0jiijijjiii)(100010001333231232221131211ijI采用约定求和法和克罗尼克

5、尔符号将给我们以后采用约定求和法和克罗尼克尔符号将给我们以后的书写和运算带来很大的方便的书写和运算带来很大的方便。 2、几个常用的性质和运算、几个常用的性质和运算1)2)3)4)四、置换符号（四、置换符号（Levi-Civita符号）符号） 332211iiimimAAijmjimBBijmjimijk预备知识：反序数预备知识：反序数 在一个自然数的排列中，比较任何两个数，如果在一个自然数的排列中，比较任何两个数，如果大的排在小的左边，就叫做存在一个反序，一个排列大的排在小的左边，就叫做存在一个反序，一个排列中存在的反序的总数叫做该排列的反序数。中存在的反序的总数叫做该排列的反序数。如：自然数

6、按从小到大排列如：自然数按从小到大排列1，2，3，n n的反序数的反序数为零为零。例：求下列排列的反序数，从而决定它们的奇偶性：例：求下列排列的反序数，从而决定它们的奇偶性：（1）1347265； 121n n；（3）13521 2462nn；（2）注：反序数为偶数的称偶排列，反序数为奇数注：反序数为偶数的称偶排列，反序数为奇数 的称奇排列。的称奇排列。解：解：(1) (1347265)=0+1+1+3+0+1=6 偶(2) ( (1)21(1)(2)1(1)2n nnnn n(3) ()0 12(1)n 1、定义、定义：其中：其中：其余其余21个全部为零。个全部为零。2、几个例子：（采用、几

7、个例子：（采用Levi-Civita符号可使书写和运符号可使书写和运算简化）算简化）例例1：用置换符号表示三阶行列式的值：用置换符号表示三阶行列式的值0,112 31,12 3ijkijkijkijk当 、 、 中有两个相同者，当 、 、 为， ， 的偶排列当 、 、 为， ， 的奇排列, ,1,2,3i j k 1312231123121332113211121321222311 22 3312 23 3113 21 3213 22 3111 23 3212 21 33313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa例例2：用置换符号表示：用置换符号

8、表示 ，借用例借用例1的结果的结果: 123123ijkijkijkijka a aa a a, ,1,2,3i j k BA121231233iiABAAABBBi则：则：如：如：又如：又如：()iijkjkA BA B2332)(prprzpypprpryzkjijki321321321uuuxxxiiiuijkijkixu)()()kiijkjuux3. 和和 的关系的关系1）2）ijijkkjikjikjiijk333222111krkqkpjrjqjpiriqippqrijka)若若 ,则有：则有：b)若若 ， ,则有：则有：c)若若 ， , ,则有：则有：pi kqjrkrjqiq

9、rijkpqrijkpi qj krkrkrkjjrkrjjijrijk23pi qj rk 62kkijkijk例例1：求：求解：解：例例2：证明：证明:证明：因为证明：因为所以所以)(CBAkjiijkkjijkiiiCBACBACBACBA)()()(CBABCACBA)()()(iiiiimmninnmjjminjnimnmjkmnkijnmjkmnijknmkmnjijkkjijkiCBABCACBABCACBACBACBACBACBACBACBACBA)()()()()()()()()()AB CA C BA B C 例例3：求证：求证：证明：证明： （ 不动，先对不动，先对 取和）取和）:（若（若 不动，先对不动，先对 取和）则有：取和）则有：)()()(BACACBCBA()()iiiijkjkAB CAB CAB Cj, k i)()()()(ACBCABCABCABCABjjkijikjkiijkjkji,)()()()(BACBACBACBACCBACBACBAkkjikijkjiijkkkjijkiii例例4：求证：求证： ，式中，式中 ，且，且 常矢量常矢量 。证明：证明：2