数学物理方法第七章

1、 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个方面: 1.数学物理方程(又称为泛定方程) 物理量在时空中的变化规律,并把它写成数学形式即为数学物理方程.它反映了同一类物理问题的共性.2. 定解条件(包括初始条件与边界条件) 对具体的实际问题,我们必须考虑体系边界条件的约束与初始状态对具体物理问题演化的影响.它反映了具体物理问题的个性. 在求解一具体物理问题时,我们就需要写出研究的物理量满足的数学物理方程与定解条件,即写出了定解问题,接下来就是求解问题. 7.1 数学物理方程的导出 推导数学物理方程的步骤: 1. 首先要确定研究的物理量u. 2.分折体系中任意一小的部分,根据物理规律,研究

2、它与邻近部分的相互作用,(例如在力学中的隔离体法等)抓住主要矛盾,略去次要因素.(在数学上为略去高阶小量) 3.然后再把物理量u 随时间,空间的变化通过算式表示出来. 即得出数学物理方程. (一) 均匀弦的微小横振动 1)确定弦上点的横向位移为研究的物理量u,它是位置x与时间t 的函数,故u=u(x,t ) 2)把弦看一个连续分布的质点系,取其中xx+x 一段,用隔离体法. u T2 T1 x X X+X Taxuatu变为x当tuxxuxuT变为xutgTTT很小小振 动xuTTTTxxxtt22222222321112222114.03,03.:2.!31sin, 1cos,2,sinsi

3、n1,0coscos (4)式称为一维波动方程,其它的一些波动方程. 2. 均匀杆的纵振动,满足的数学物理方程为(4)式. 3.二维的簿膜振动,例如我们敲的鼓振动满足二维的波动方程: 4.三维的波动方程: utta2u=0 (6) 5.真空中电磁波的波动方程:)5( , 02222222yuxuatu 9,:,8,07,0222222222trfuctu方程为当有外力时BctBEctE (二) 连续性方程 下面我们将考虑物理上守恒量满足的方程. 以电荷守恒为例,对空间任一区域单位时间内区域内电荷的减少量等于表面流出的电量： （1）式称为连续性方程,一般对具体的物理过程其守恒量都满足(1),例如

4、对扩散问题而不牵涉到化学反应,质量守恒,对纯热传导热能守恒. 当有化学反应与热源时, （1)应用到输运现象时应修正为: 为单位体积单位时间内的产生率. ： 1.0:,jt得出dvdtdsdjV2.tj (三) 输运方程 输运现象主要包括：热传导与扩散现象. 对热传导与扩散现象由实验得出的唯象理论是相同的,对扩散问题其物质浓度u(x,y,z,t)与扩散的物质流q之间关系为: q =Du (1) （其中D为常数） 同样对热传导问题其温度分布u(x,y,z,t)与热流q之间关系为: q =k u (2) （其中k为常数） 且在仅是热传导与扩散时,热能与某种物质的质量守恒,把（1）与（2）代入连续性方

5、程可得出输运方程. ut a2u= 0 （3） 历史上在研究235U的链式反应时,通过对中子浓度u产生率与u成正比. 得出中子浓度u满足的方程为: 并由此方程求出了铀的临界体积,且与后来的实际结果相符.ubuaut22 (四 ) Laplace方程 对稳定的输运现象,ut =0 输运方程就变为： u = 0 （1） （1）式为Laplace方程. 另外对静电场的电势u 满足方程为： u =/ （2） （2）为泊松方程, 在没有电荷处=0,泊松方程就变为Laplace方程. 一般也可把Laplace方程看成是齐次的泊松方程. 当有源时输运方程可变为： ut a2u = f(x,y.z.t) （3

6、） (五) 其他的一些数学物理方程 1.理想流体的欧拉方程 2. kdv方程 ut +uux uxxx =0 上述两方程都是非线性方程,而本课程主要讲授线性方程的求解.fpvvtv (六) 三类数学物理方程 1.波动方程波动方程: utta2u=f (r,t ) (1) 一维形式 utta2uxx =f ( x,t ). 其中f(x,t)=F(x,t)/,F(x,t)为单位长度所受外力. 2.输运方程: uta2u=f (r,t ) (2) utta2uxx =f ( x ,t ) 3.泊松方程: u=f (r) (3) 当f (r)=0时,方程退化为Laplace方程: u=0 (4) 7.

7、2 定解条件 1.初始条件 求解方程时需要的初始条件数等于方程中对时间的最高次求导次数. 对波动方程有两个初始条件一般选初始位移 u( r,0)和初始速度 ut ( r ,0).而对输运方程只有一个初始条件一般选初始温度(或浓度)分布u( r,0). 需要注意的是初始条件一定是体系在某时刻的总体分布,(即总体温度分布,体系各处的位移和速度分布)而不是一点情况. 2. 边界条件 在实际物理问题中,我们常会遇到两种情况 1)有界问题 2)无界问题 所谓边界条件就是对有界问题而言的. 最常见的三类边界条件: 第一类边界条件： u( r ,t)| = f （1） 第二类边界条件： u n| = f （

8、2） 第三类边界条件： ( u+Hun)|= f （3） 其中H为常数. 当 f =0时称对应的边界条件为齐次边界条件. 另外在实际物理问题中还有其他类型的边界条件,例如在电磁学中两 介质的界面处物理量满足衔接条件. 7.3 二阶线性偏微分方程的分类 1.二阶线性偏微分方程的形式 对有n个自变量x1 ,x2 ,x3 xn .的二阶线性偏微分方程可表示为 只是x1 ,x2 ,x3 xn的函数.当f = 0时方程称为齐次的,否则为非齐次的.(1)式为线 性方程,满足迭加原理,反之在物理上满足选加原理的物理量, 其满足的数学物理方程也必定是线性的. fcb其中afcuxubxxuaiijniiinj

9、nijiij,1. 01112 2.:1:1112fLu变为cxbxxaL引入算子Lniiinjnijiij 对一般的算子L情况,偏微分方程Lu= f , 当L满足: Lcu1+du2= cLu1+dLu2（3） 式时, 对应方程为线性偏微分方程.其中c,d为任意常数. 对偏微分方程我们还需要考虑定解条件,只有当定解条件也满足(3)式时,整个定解问题才是线性的,并满足迭加原理. 2. 二个自变量的二阶偏微分方程的分类 对二个自变量的二阶偏微分方程形式为当0 时方程为双曲型的二阶偏微分方程.(波动方程) = 0时方程为抛物型的二阶偏微分方程.(输运方程) 0时方程为椭圆型的二阶偏微分方程.(拉氏

10、方程) 3.:,.,:2. 0211221121212221121221221211aaaaadxdy可得特征 线aaa令yyxx令fcuububuauauayxyyxyxx 7.4 行波法(达朗贝尔公式) 一维无界的波动方程当不考虑外力时定解问题为: (5)式为达朗贝尔公式. atxatxtttdaatxatxtxuatxfatxftxu解得u可得atxatx令xuxuxuatu5.2121,4,;3.0:.,:2.|,|1.02120022222 方程解的稳定性 当方程的初始条件有一个很小的偏差时,最终方程解的变化也是很小的.则称方程的解是稳定的. 设方程有两组初始条件 atxatxtttttttdaxxxxtxvtxu两组解之差xxxx当xvxvxuxu121212121220201010212121,:,.|.|.|.|当t 有限,