高考数学总复习6.5热点专题数列的热点问题演练提升同步测评文新人教B版1013

1、 1 6.5 6.5 热点专题热点专题数列的热点问题数列的热点问题 1已知数列an的前n项和为sn，且对任意的nn n* *有ansnn. (1)设bnan1，求证：数列bn是等比数列； (2)设c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通项公式 【解析】 (1)证明 由a1s11 及a1s1得a112. 又由ansnn及an1sn1n1 得an1anan11，2an1an1. 2(an11)an1，即 2bn1bn. 数列bn是b1a1112为首项，12为公比的等比数列 (2)由(1)知 2an1an1，2anan11(n2) 2an12ananan1(n2)， 即 2cn1cn(n2)，

2、又c1a112，2a2a11，a234. c2341214，即c212c1. 数列cn是首项为12，公比为12的等比数列 cn1212n112n. 2 (2016青岛模拟)已知数列an是等差数列，sn为an的前n项和， 且a1028，s892；数列bn对任意nn n* *，总有b1b2b3bn1bn3n1 成立 (1)求数列an，bn的通项公式； (2)记cnanbn2n，求数列cn的前n项和tn. 【解析】 (1)设等差数列an的公差为d， 则a10a19d28，s88a1872d92， 解得a11，d3，所以an13(n1)3n2. 因为b1b2b3bn1bn3n1， 所以b1b2b3bn

3、13n2(n2)， 两式相除得bn3n13n2(n2) 2 因为当n1 时，b14 适合上式， 所以bn3n13n2(nn n* *) (2)由(1)知cnanbn2n3n12n， 则tn4272210233n12n， 12tn42272310243n22n3n12n1， 所以12tn232232332n3n12n1， 从而12tn2314112n11123n12n1， 即tn73n72n. 3数列an满足a11，an12an(nn n* *)，sn为其前n项和数列bn为等差数列，且满足b1a1，b4s3. (1)求数列an，bn的通项公式； (2)设cn1bnlog2a2n2，数列cn的前n

4、项和为tn，证明：13tn12. 【解析】 (1)由题意知，an是首项为 1，公比为 2 的等比数列， ana12n12n1. sn2n1. 设等差数列bn的公差为d，则b1a11，b413d7， d2，bn1(n1)22n1. (2)证明 log2a2n2log222n12n1， cn1bnlog2a2n21（2n1）（2n1） 1212n112n1， tn12113131512n112n1 12112n1n2n1. nn n* *，tn12112n112， 3 当n2 时，tntn1n2n1n12n11（2n1）（2n1）0， 数列tn是一个递增数列，tnt113. 综上所述，13tn12

5、. 4已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为sn，点(n，sn)(nn n* *)均在函数yf(x)的图象上 (1)求数列an的通项公式； (2)设bn3anan1，试求数列bn的前n项和tn. 【解析】 (1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)， 则f(x)2axb. 由于f(x)6x2，得a3，b2， 所以f(x)3x22x. 又因为点(n，sn)，(nn n* *)均在函数yf(x)的图象上， 所以sn3n22n. 当n2 时，ansnsn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5. 当n1 时，a1s1312211615， 所以，a

6、n6n5(nn n* *) (2)由(1)得bn3anan13（6n5）6（n1）5 1216n516n1， 故tn121171711316n516n1 12116n13n6n1. 5设数列an的前n项和为sn，且满足sn2an3(nn n* *)，设数列bn满足b1a1，bn2bn1bn12(n2) (1)求数列an，bn的通项公式； (2)设cnnan，求数列cn的前n项和tn. 【解析】 (1)sn2an3(nn n* *)，当n2 时，sn12an13，两式相减得 3an2an1，即anan123. 4 又当n1 时，a12a13， a11， 数列an是首项为 1，公比为23的等比数列

7、，且an23n1. 当n2 时，bn2bn1bn12，两边取倒数得1bn1bn112， 1bn1bn112，b1a11，数列 1bn是首项为 1，公差为12的等差数列，且1bn1(n1)12n12， bn2n1. (2)由(1)可知cnnann32n1， tn123233224323(n1)32n2n32n1， 32tn3223223323(n1)32n1n32n 得12tn13232232n1n32n2(2n)32n， tn42(n2)32n. 6数列an的前n项和为sn，sn2nn，等差数列bn的各项为正实数，其前n项和为tn，且t315，又a1b1，a2b2，a3b31 成等比数列 (1)求数列an，bn的通项公式； (2)若cnanbn，当n2 时，求数列cn的前n项和an. 【解析】 (1)当n1 时，a1211； 当n2 时，ansnsn12nn2n1(n1)2n11，此式对n1 不成立， an1，n1，2n11，n2. 又由t315，可得b1b2b315，b25. 设数列bn的公差为d，由a1b1，a2b2，a3b31 成等比数列可得 6d，6，7d成等比数列，(6d)(7d)36d2 或d3(舍) 从而可得bnb2(n2)d5(n2)22n1. (2)cnanbn3，n1