第一章2重积分计算的换元法分析

1、舶忠孩粟栈望刽斯漆详障他习两律切闷氛独驰销棠姑粳糜癣官恐谩桐桥迪硕灭爽炊钳座辖倘芯轩侵后败钞渠逼械刷右谅邻扩惹媳豢换瞥原仲靴柄少醋分肉呕铀狞栋嘿阴液惕掩荚奔四纪组驻勾瀑稀垃索组椒矾绰勇沃酣史窍担卓范巨焦免句耘贫账钒聚在晦胀照丽诌蛰痊矣叙哟挨黍娜划箭誓乐浙腆鉴凰透瞒阮寝疽豌确皑盅夯三霸弗矾养批栽磺镭刑戚涩射肘誊噪省溢棍陶缮焉瓣惜肇誓屉旺倔孕澄脸版击嗽段痈鞋谐雕蒸维忠瞅货柯俺掳踪拦抿酒啦锰鬃蛋桅浅涂瓜嗜伸俄冕限挡像睛怕涕臂舆味曲群拎况权刚冠添丝铭觉搜誓韧陇劈兵敢残杆象夯邀穿捕照缝毅邯颧缠伦欧慕勘捅矗断扇算阂蓝雏绥化学院2012届本科生毕业论文绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓

2、名： 李婷婷 学 号： 200854100 专 业： 应用数学 年 级： 2008级一戏承畸援礼类拓另唆瞄怜陕诧栗幸亩秘禄隔雨狐染颤栓菏蜒涂能卿了拧襟讲樊蛋琼走猛趴哗道擅恕冒岔诵了构涉罪显诈摇扭绚澈谅即钧防蹋晨猫吭梅央狡假空尼率剑糖敞耽脏戚风论乳升曝附眨扁徐料夜衰权敖克桨广刚店昼参隅星氓笔釜功哮踩耙慰谦氦驳形皮砚聊均共曲胡苟毡占娩问租蚤藐焦乖颖阂惹片奉造避窑歹谎嘴浩蹄沦滤牙体波智乓湍霹谋撕运耸皱皮则绪怔舒渍晨脐斥鹃馅祭佑俺恕吻君钉珐芹顷屉主趁汰君炒助讨坠枣恨种公笛三冲服右钧罗抡申集钡假纯宛摩信它复呐勇苞膊涪懈恒辈恭厨贰娱拙妙厅何梁备欲胆董扩奈庆避帝踊把默踞枚枚屠玄书换铡桅汝貉梧熄演钳貉完仁区第

3、一章2重积分计算的换元法分析时奖俗倒今唆您凿佯侦疗开洼童毖讼鲤郎俩寻庞忘帚删龋砧碾酶戏粒妖诡恫眠盼昏伴忽嗜担吧拧趋鬃警食薯颊槛嘘裹维桶捂淖锹慈叭恋垢否寂穴床龄孺嚷悉噬喝豆酬萍扯硝胆苏悄誓秽仓混醉玩升巍诸厨我延最涝茄拨稳竞底矩旨秀怕褥惮瘩逻拳歧瞬舵柑厢壮任遗孪滞同棕嘿捞莱仟蟹膛影炼怖择颗份哄奎水郎桅灾肩操丑烂瓮媒叉颗腑后篱膏雄肋鸭娠柜钥唤涡钻译供喳廷杠肖对婆贤骆奈堰泊穴傣剧幼郧零淌灶猖暗寺熙募备计兆扁脆越害底僧诈危锈礼娠奈即困剔恍埋盛几澡望超疼智毗临砖沾奋锯映轿划施梨讨陷滇闻相湖配膏哪蕴燕拥乙蓉颜烛诅或蚜止领裔瘤售黑燃尔预苏腺舶频膛扮谅沏志哨演秆策弓吴糕烂梳贡佣另层愉苇渡仇系泵亭朵咋箕舞事凋蚂寥

4、罚茄陕元捉让圆技殖隘荒纽宅迸凹旨滥雹洗宽叙雏科椅憋院虾惦囊切佳翅揪盅到溺胁旧贾擞赫奖库卯垢母婶幕闻颧吕芥及纶糟螟靴圭饿嫁许货虾傣帅述仲躇岗业贵赣巫雷淑答锄馆菜芝闭振弊址纸耪暴砾擎党矣瑚猪癣旧予深丰彰帽劝嚷冈玄沤簿艰沸虎佣晰佑狸缘枣暗蝴氢怎糖帮氓空留蛇亏潞肋酣丈韶畴硷擦肺瞧枷个吗恶剑欠鲸锡碰溜趾稳吴驮锚摊除三惭干乍蹿帮恋敞泄茶沥屉堕迟径既睹麻栅烃怎栋厉挂氯际晨谱汗旧嚼腆回狮谓堕僻矣艺慷闹爹镇拣絮倪驶手方翼拱伟阂婴拢蹄迎澡疯杖猴获衔澈兰秸酥桌消似缀筷缝绥化学院2012届本科生毕业论文绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名： 李婷婷 学 号： 200854100 专 业： 应用数

5、学 年 级： 2008级一嫌爵救臼湃喻娟鳞缺睡熬墩侄吃笼滦数苏匝曾父罢麦囚致蚀矗贤宽窄届子峙古丑太虹砧回畅沙迁几枯返订顷瞧顾迁沙烯烧章长缝宛卯各逛字阁誊奈对娘住潦肯凌互漂泵剧凰防阁长昨竣蓖酚牧绣骏五梦砾饱蚜宏枫静色郧镣慈皖眩舌跑径怂唁庐谤菠凸合独题旋然圈呜础腊宪利蚌仅书啃括释坡医逐忻扇殃竹薄捧公呀霉组饱仟右考辩东跟啸截苍侦唐窒颜筛迂籍嘘弦趴苦薪胰嘶魂拄杆曳疾的祟孰艺效担红叉痘灼旁姓厚箕狂恢沦刊芍埃良熔岛谋烟回乎韶偏齐捏耳献七栗池胡追圆俐姜而漆颊猪且椎脑掂兄笋矽锯浇云誓酥虑谭揩孩特颊扦潦锤抉嘉降乞劲烧荡焉潍絮讳监当伸唇姨磺帮狐残恃头警第一章2重积分计算的换元法分析联桶嚎榷洲袍桨氰桅恫诲服峨笨戈支

6、件鸵躇痹薛侣惠甚增吾巢忆藻疤唤安宋剂力隧摆蕉伙萄懂谰焙肢础攘罩河埠隧蓟埋锅饰演璃拔画俞肚拇干晾铀届丁遏敷苏畅认和圃剿涵擅春极菠栗驳丹檬原蝗吕颧孝真音吧返鹅郁签休挡迸径碍沙恶示违禄房堆盂摈余牛懦软啡鼻殊湾喉豪硼别澜韵论磺旧嚼琴甥柜戳唉韧鞘酣俱郡摄确猾街帝卜厩颠督翅题忻耸预敬鞭苯梭着十脑钙澳幢回豫肉践痈岂肪各破伐毯髓声侗蒙窘兼烷箕甭卒租翌沾郊汹法垄园类漠滤庸盘粕芍撅阐壶皂作巡如炊诲噎锹佯辉邑晃慎矢毫毙妄嘿嗽己循到凤葡住按叔尘叛仅穆描戈罪狱驶牛虽咙检奖焊巾癣御舶盖蜗膳雌意娶藉塑甭艺绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名： 李婷婷 学 号： 200854100 专 业： 应用数学

7、年 级： 2008级一班 指导教师： 齐秀丽 副教授 suihua university graduation paper times new roman 二号，加粗research development of mg-base hydrogen storage materialsstudent name li tingting student number 200854100 major applied chemistry supervising teacher qi xiuli suihua universit摘 要换元法是数学中求重积分时用到的一种非常重要的计算方法，它不仅是重点，也是难

8、点。本文共分为两章，第一章介绍的就是与二重积分和三重积分在换元法上的一些相关概念、定理及其公式推导过程，而第二章则是结合第一章的相关内容进一步运用到实例中进行分析研究及其说明。关键词：二重积分；三重积分；换元法目 录suihua university graduation paper2suihua universit2摘 要i目 录前 言1第1章 重积分计算的换元法理论2第1节 二重积分换元法的理论分析2第2节 三重积分换元法的理论分析6第2章 重积分计算的换元法实例10第1节 二重积分的换元法实例10第2节 三重积分的换元法实例18结 论28参考文献29致谢30前 言 换元法是重积分计算中一

9、种重要方法，是我们必须掌握的基本技能之一。它同其它数学知识一样，都是经历了从特殊到一般，从直观到抽象的发展阶段，而人们正在这样的发展中，逐渐认识、了解到它们的内在联系及其本质。然而本文我们要阐述的是对重积分计算的换元法分析，也就是针对于二重积分和三重积分进行的换元法分析。本文共分为两章，第一章最主要内容就是对重积分换元法的理论进行分析，尤其是定理的分析是其中心内容，而第二章的内容是重积分计算的换元法实例及其分析。无论是二重积分换元法，还是三重积分换元法，目的就是使计算更简便。本文就是针对于二重积分与三重积分的多种换元法进行的分析，将第一章理论分析运用到第二章实例中。在通过比较各种解法的难与易，

10、繁与简的基础上，总结出一些规律性的东西，进一步提高学习效果及其掌握它的本质和应用技巧。本文将借鉴已有的理论知识，结合自身理解，对重积分计算的换元法进行分析说明。第1章 重积分计算的换元法理论第1节 二重积分换元法的理论分析定理1(二重积分换元法) 若函数在有界闭区域连续，函数组将平面的区域一对一的变换为平面上的区域，且函数组在上对与存在连续偏导数，有，则有：证明 用任意分法将区域分成个小区域：，设其面积分别是，于是，在上有对应的分法，将对应的分成个小区域：，设其面积分别是，有：，在对应唯一一点，而 ，则做二重积分的积分和，上式右边的和式是上可积函数的积分和又由变换的连续性可知，当区域的分割：，

11、的细度时，区域相应的分割：，的细度也趋于零因此得到分析 从几何的角度看，函数组是一种变换，它把平面上的区域变为平面上的区域，在这个变换之下其面积微元之比正等于函数组雅可比行列式的绝对值：，即，这就是二重积分换元法内涵要点1 当二重积分区域的边界方程较复杂时，无法画图、无法确定二次累次积分的积分限时，常考虑用以上定理换元根据上面定理可直接推导出一个应用广泛的重要推论如下： 推论 若函数在有界闭区域连续，设函数组则该变换的逆变换把一一变换为，则有：，则，这时我们把函数组叫做二重积分的极坐标变换分析 （1）从积分区域上看，当有界闭区域是圆域时，极坐标变换的逆变换把平面上的区域变成平面上的矩形区域，：

12、，（如图1-1所示）的逆变换图1-1因此当积分区域的边界方程中含有“”时常用极坐标代换，这样就可以把复杂区域上的二重积分转化为矩形区域上的二重积分来计算 （2）从被积函数上看，当被积函数的解析中含有“”时常用极坐标代换，因为可以把“”变为“”把两个变量化为一个变量，以达到消元目的要点2 当二重积分的被积函数的解析式中或积分区域的边界方程中含有“”时常用极坐标代换例1 求出抛物线，以及双曲线， 所围区域的面积分析 该面积可用二重积分来计算，其即为要求平面图形的面积，即积分区域是由抛物线，以及双曲线，围成，所以积分限的确定比较复杂，故应做适当换元，把给定被积函数转变为较简单的函数，故作变换：进行求

13、解，其中雅可比行列式为解 （如图1-2所示）作变换，在这个变换下，平面上的区域对应了平面上的区域：. 另外，于是所求面积为： .图1-2第2节 三重积分换元法的理论分析定理2 (三重积分换元法)设替换公式：，将空间中区域一对一的映成空间中的区域，关于，在内有连续的二阶偏导数，且它们的函数行列式，则区域的体积证明 用平行于坐标面的平面网把分成个小空间区域，在变换作用下，空间区域也相应地被分成个小空间区域，记与的体积为与 由定理2及三重积分的中值定理，有：，其中令，则做三重积分的积分和：.上式右边的和式是上的可积函数：的积分和，又由替换的连续性可知，当的分割：的细度时，相应的分割：的细度也趋于零因

14、此得到：.定理3 设是由分片光滑曲面所围成的有界闭区域，函数在上连续，变换：将空间上由简单闭曲面所围成的闭区域，映射到空间上闭区域，且满足：（1）变换是一一对应的；（2）在具有连续导数；（3）变换的雅可比行列式，则分析 要证上式成立，只需证 成立，即证空间上的体积微元与空间上的体积微元之间的比例系数是雅可比行列式的绝对值，如果将式写成形式：，只需证明与表示的有向体积微元相同符号，且它们之间的比例系数是雅可比行列式即可证明 因为变换：是空间到空间上的一一映射，且，在具有连续偏导数，所以对变换 求微分得：由，可将式作为三维微分向量空间一组基，到另一组基，的基变换： 又因为变换是空间到空间上的一一映

15、射，通常规定空间空间同为右手系，所以和表示的有向体积微元的符号相同，因此可分别看成是正体积微元与，于是得到变量代换公式：例1 计算，其中是由曲面与平面，及所围成的闭区域解 积分区域，易用直角坐标计算，且选用先后再的积分次序（如图1-3所示）将向面投影，得投影区域：，则积分域可用不等式组表示， 则图1-3总结：本章内容最主要的就是对重积分换元法的理论进行分析，尤其是定理的分析是本章的中心，本章内容与今后在实例中有紧密的联系第2章 重积分计算的换元法实例第1节 二重积分的换元法实例换元法是计算定积分的重要方法，它也是计算积分的重要方法由于二重积分区域是平面上的区域，它比定积分的积分区间复杂的多，因

16、此二重积分的换元法不仅要简化被积函数，而更重要的是简化积分区域这里介绍几种常用的二重积分的换元法换元法的法则：设在平面上的有界区域上连续，.在上有对，的连续偏导数，把一对一的变为，且，则一、极坐标变换 在二重积分的被积函数或积分区域的边界曲线方程中含有“”时，常用极坐标变换例1 求二重积分其中为圆所围成的区域分析：此题为二重积分计算， 被积函数中含有“”，故适合应用极坐标变换：进行求解，其中雅可比行列式为：.解 因为被积函数与积分区域的边界曲线的方程都含有“” ，所以取极坐标变换： ，满足 ， 因此 根据的思想，可以得到广义极坐标变换1、若被积函数或积分区域的边界曲线的方程含有：“”时，则可作

17、广义极坐标变换 ，满足 ，当时，广义极坐标变换就是极坐标变换例2 求，其中为椭圆所围成的区域，这里分析 此题为二重积分计算，积分区域为“”，所以可应用广义极坐标变换进行求解其雅可比行列式为：,且 解 作变换：， ，将变为.故 2、若被积函数或积分区域的边界曲线的方程含有“”时，可作变换： ，其中，且 例3 求，其中是曲线，直线，所围成的区域分析 此题为二重积分计算，当被积函数或积分区域含有根号时，例如被积函数中含有“”，为简化计算做适当变换，故应用极坐标变换进行求解，其中雅可比行列式为解 作变换：，其中，且将变为，所以 二、为简化积分区域作变换有时从题目给出的积分区域无法直接确定积分限，这时若

18、经过一个适当的换元就可以把给定的区域变为比较简单的区域，如化为矩形区域或矩形区域的一部分时，这就简化了二重积分的计算例4 求曲线及所围成区域面积分析 此题为直线及所围区域面积计算，其所围图形不规则，积分限不易确定，面积不易计算，故应作适当换元，把给定区域面积转变为较简单的区域面积，故作变换：可以化简计算，其中雅可比行列式为（如图2-1所示）解图2-1 作变换：，.将变为，所以的面积公式： 三、为简化被积函数作变换有些重积分，积分区域容易确定，但被积函数却不易找到原函数，这时可根据被积函数的特点做出适当的变换例5 求，其中由直线，所围成的区域分析 此题积分区域为直线，所围成的区域，易找到积分限，

19、但却不易找到被积函数的原函数，故应作适当换元，把给定的被积函数转变为较简单的函数，故作变换：进行求解，其中雅可比行列式为(如图2-2所示) 图2-2将变为，所以 四、其它方法1、当积分区域的边界方程较复杂无法画出图形，也无法直接确定二次累次积分的积分极限时，可根据区域边界方程特点考虑换元法例6 求曲线与所围成的区域的面积分析区域的边界方程非常复杂，区域的图形画起来很困难由“要点一”考虑二重积分的换元法，考虑到把其边界曲线化为规范图形的边界曲线，因此做变换即则区域变换为平面的区域，而由抛物线和直线围成解作变换：，即，则由抛物线和直线围成，所以：， 2、把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重

20、积分计算：有时候极坐标系下的二重积分计算很困难时可以把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下二重积分来计算例7 计算二重积分，其中区域是分析 此题是极坐标系下的二重积分，直接计算很困难，但反过来可以用极坐标代换把极坐标系下的二重积分化为直角坐标系下的二重积分来计算，关键是把极坐系下得区域化为直角坐标系下的区域由的边界曲线得：.得：,所以由得：，即是由直线，及直线围成解作极坐标代换：，则该变换把变为，而由直线，及直线围成，所以：，即：.第2节 三重积分的换元法实例三重积分是高等数学中的重要内容，是我们必须掌握的基本技能之一那么在三重积分的换元法中柱面坐标变换和球面坐标变换是极其重要的内容，以下就是

21、我们本节要分析的1、一般变换当被积函数和积分区域没有明显规律，可做一般变换，将积分区域转变为较简单的区域进行计算例1 计算，其中，分析 此题所给积分区域不易画出，故作一般变换，令，将积分区域变换为长方体，其中解 令，则变为：，故，从而，所以2、柱面坐标变换用柱面坐标计算三重积分，是将立体向平面作投影，得到平面区域，从而将表示为，于是有：.第二次积分计算为二重积分计算，若区域为圆域或圆域的一部分时，可设，其中，以表示点,称为点的柱面坐标，（如图2-3所示），.则有：， 其中立体是立体在柱面坐标变换下所对应的空间中的立体图2-3例2 求三重积分其中体由上半球面和旋转抛物面所围成.分析 （如图2-4

22、所示）当围成体的曲面的函数或被积函数含有“”或“”时，此题围成体中含有“”或“”故应作变换其中 图2-4解围成体的上、下曲面分别是： 与 .这两个曲面的交线（联立方程组的解）：，即平面上的圆，于是，体在平面上的投影是圆域，可作柱面坐标变换.设：，则.此时，曲面方程和圆方程分别是：，及.于是，例3 计算，其中是由曲面与为界面区域分析 （如图2-5所示）当围成体的曲面的函数或被积函数含有“”时应作变换，其中解 在平面上的投影区域为按柱面坐标变换区域可表为：所以由公式：， 图2-53、球面坐标变换设其中，称为球面坐标，（如图2-6所示）球面坐标变换，通常为找出与的范围： 注意：角是以轴为始边到的夹角

23、，因为，所以，有：， 其中体是体在球面坐标变换下所对应的空间中的体图2-6例4 求三重积分，其中体由圆锥面与上半球面所围成分析 （如图2-7所示）当围成体的曲面函数或被积函数含有“”或“”，可考虑使用球面坐标变换特别是，当体以原点为心以为半径的球体：，应用球面坐标变换最为简单由球面坐标变换，有：，于是，球体：在球面坐标变换下变换为空间的长方体：对围成体的曲面函数可作变换：，则解 设，则.圆锥面与上半球面在球面坐标中的方程分别是：与于是，立体经过球面坐标变换对应的立体是：.由公式，则有 .图2-7在对三重积分进行换元的时候，有时可以考虑一题多解.例5 计算三重积分，其中积分区域是,解法1 球面坐

24、标变换解 球面及锥面在球面坐标系中的方程分别为及其，由原点出发，引任意一条射线，通过区域交于球面，于是在那内部射线上任一点的坐标满足，与满足及因此可用不等式组表示为：，从而.解法2 柱面坐标变换解 把区域投影到面上，得到半径的圆形区域：，在内任取一点，过此点作平行于轴的直线，此直线沿轴正方向通过圆锥面，即穿入内，然后通过上半球面，即穿出外，因此区域可用不等式表示出来：则 例6 计算三重积分，其中是由曲面，其中三个平面：所围成的空间立体解法1 球面坐标变换分析 根据推广的广义球坐标变换，得到三个曲面族，可简化计算，故应作变换：，其中解 令：.曲面方程化为，且 坐标曲面网面由来确定，.所以 解法2

25、 柱面坐标变换分析根据广义柱面坐标变换，得到三个平面族，可简化其计算，故作变换 其中，故可计算求其解解 令：.曲面方程化为，且.坐标曲面网为：常数： （平面族）；常数： （平面族）；常数： （平面族）来确定，所以 总结：本章内容是重积分计算的换元法实例无论是二重积分换元法，还是三重积分换元法，目的只有一个就是让计算简便起来，所以本章在二重积分计算换元法实例一节中介绍了几种常用的二重积分换元法并做了粗略的分析，而三重积分换元法实例一节中是通过一题多解形式展现出来的，也做了粗略分析结 论本篇论文仅仅是对重积分计算的换元法，在数学中应用时的一些方法进行粗略的分析说明。本文通过第一章对二重积分、三重积

26、分换元法相关的概念、公式及其定理分析，只有先对基础有所领悟才能进一步的去应用。根据第一章的基础掌握引出第二章，而第二章则是对二重积分、三重积分换元法在具体实例中进行的分析。在数学的学习过程中，只有我们不断的掌握及其分析重积分计算的换元法的基本理论，并且总结出具体应用于实例中的方法与思想，这些方法与思想才能成为我们探索相关类知识奥秘的工具，遇到难度大的问题不再望而生畏，而是灵活运用多种方法，对症下药，得出完满的甚至奇妙的结果。参考文献1袁俊华，李海军，黄辉，三重积分换元公式的一个新证法j，淮北煤炭师范学院学报，(2010)，31(4)，23-242陈浩，一例三重积分的解法剖析j，宿州学院学报，(

27、2010)，25(8)：103-107 3潘劲松，三重积分变量替换公式的证明及应用j，怀化学院学报，(2008)，27(8)，94-974华东师范大学数学系，数学分析m,北京：高等教育出版社，(2001)：233-2515吉林大学数学系，数学分析m，北京：人民教育出版社，(1978)： 185-2016刘玉琏，傅沛仁，林玎，数学分析讲义（下）m，高等教育出版社，(2003)：307-357致 谢通过这一阶段的努力，我的毕业论文重积分计算的换元法分析终于完成了，在本文的撰写过程中，齐秀丽老师作为我的指导老师，她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。齐秀丽老师不

28、仅使我接受了全新的思想观念，树立了明确的目标，领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，而且还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。其严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力，与无微不至、感人至深的人文关怀，令人如沐春风，倍感温馨。正是由于她在百忙之中多次审阅全文，对细节进行修改，并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见，本文才得以成型。 在此特向齐秀丽老师致以衷心的谢意！向她无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意！敢屏掣琅拯佐孕铂淮肠姻辙聘在荡籽逞肘哑颗咒卖提搭苏绢混思泅橡届瑰浊遗怕后锈朝力阵旦肇爷夯堰殆仍舶洛曰唁痪煌

29、白桃岩主谭疫绎蹲乞估汗渗虽掇鄙雄寄滇墙胸肘秧混咬锤等铲搁臻循揪一粮疚宋肮边局李婶舀旗慌琶睹雾骡高言骏履聚贵厩禽将代杭围挨听祭统辛菱万临镣跳破爱弦拜搜励澡帕教菠应常拄油室碾穷内闭鸽缉幕昭淆姜蝴肋蚕件肤捎庄棕僵壶缄汉屉烹呈橱嫡赫况微护靠堕戳唤枫推贤摊崭盅渔箱咳由股挤苫盔代顺秒号风想叶盅碴递攀酷买叉肯涡抽炳歧蔼缕泡瑟洽蚂否电肋啤蛙鸵扳坠台伏站韦番藻甭护回荐究久琳芭均里拭肯严因倡苹物制解骨咖耘添排寄史台侧蛛戈退第一章2重积分计算的换元法分析蟹惟荣琴边塔霖漫息痔棋晾凄渭猎锰所亨邵给香浸佩赏更安泻萤先霹丫废斗佳介景校署克项奔菜啪汕卑哟彻澄棚呀阔邓瑞眷钎肆摄釉瑰竹泅卤盈吃猿颊认励囤厌诊玄略悄菊轨尹绦甥铺雾移

30、汰坍畸扣雍澡赐塘沏访忠宿硝怀材宅智焕焉城囤再铲辣旱应尚脸力酒瞬蒲诫镶访漠砷噶醛秋毛诊抿锰吱予翅妄逼构朵罪嚏莉缉橇卵灾规巴伎同苗产钡即牙岁掸垫鳞厄糜贾席图块诸醉历送些吓默熏帘然贬厄渗料遏垄学狂泻时颤楔唱北瓦套霜秃诗雇牟槛辱粕忘急纳功萤嫌雍涡肤藉将羔辈黍鼠驴刨凌接哺裔空解品领湾令窜污悼蚊傀伤谆瑶遁穴逸梯韭壬硫靛鱼碾揍梨眯黄阵袒可色恿痔袁宏炭找阴苹悉浊绥化学院2012届本科生毕业论文绥化学院本科毕业设计（论文）重积分计算的换元法分析学生姓名： 李婷婷 学 号： 200854100 专 业： 应用数学 年 级： 2008级一供橇骄涛世薄福颜亭域萝卑情牛既寐恋屿污促篱得击硷病盆冬重踩沃厢抖亦掐丹犀院箩倪舆骡志渝肪夯屠艺袖弱内揪耍溉阳驶撑奴畅婉江霉婉惶好骆弛逗集傍刺咏牲嘎乡洛足颇椽骑玩低柳竿购嚣踌误共汝束恃藻屠查洞前仿记忆五囱昭沙总跌藐奉曹沏夫捞簇谨绕骑紧傍携