简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用

1、-作者xxxx-日期xxxx简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用【精品文档】简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用摘要：在解圆锥曲线题，尤其是在比较复杂的、涉及多条曲线时，求交点、求方程往往成为令人头疼的事情，本文介绍高中数学竞赛常用的一种工具曲线系来解题，并借几道习题来探究其实用性。关键词：圆锥曲线，曲线系一、介绍曲线系（本文只讨论二次曲线系）首先，方程 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的是一条二次曲线，包括高中涉及的圆、椭圆、双曲线、抛物线，另补充一种情况：两条直线我们知道 方程 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 表示的是两条直线那么 方程 （A1x+B1y+

2、C1）（A2x+B2y+C2）=0 将表示这两条直线 并且方程展开后为一个二次式。原因很简单， 所有满足上述两条直线的点的坐标都满足这个方程，故它表示的是这两条直线，特别的，当时，表示的是两条平行线。我们设两个二次曲线方程 C1=0 C2=0有方程 C1+C2=0 表示所有经过C1与C2交点的二次曲线同样，不难解释，首先这是一个二次的方程，表示一条二次曲线，其次所有同时满足C1=0 C2=0的点都符合上式。利用这一个关系，当我们已知该曲线方程为 S=0时我们可以得到 C1+C2=S 利用左右的系数对比便可以解出问题。二、例题分析首先我们先以一道竞赛题来感受曲线系的威力：（1993年全国高中数学

3、联赛）设0<a<b，过两定点A（a，0）B（b，0）分别引直线l与m，与抛物线y2=x有四个不同交点，当这四个点共圆时，求l与m交点P的轨迹。分析：以常规思路，先设出点P坐标 P（x0,y0） 然后找出“四点公园”的等价条件，用含有x0、y0的方程表示，便能解出P点轨迹。但是，其中不可避免的要不断进行求直线方程、求交点坐标的过程，并且要把“四点共圆”应用出来，其中运算量较大。我们考虑用系来避开这些麻烦。解：设P（x0，y0）由A（a，0）B（b，0）写出 直线PA、PB方程PA PB 则二次曲线 PA·PB ·=0又由 抛物线方程 y2-x=0得 过四个点的二次

4、曲线系方程为 ·+（y2-x）=0又由已知，四点共圆，其四点必满足方程 S： （x-x1）2+(y-y1)2-r2=0 (x1、y1、r为常数)则我们得到 ·+（y2-x）=（x-x1）2+(y-y1)2-r2对比两侧 xy项的系数 可得 （）=0得 x0=即为点P轨迹 我们成功避开了求交点的繁杂过程，巧妙应用了“四点共圆”的已知条件。需要注意的是，在对比系数是，有 x2、y2、xy、x、y，以及常数项六项的系数可以对比，但我们只要找出其中最有用的即可。本例中，由于圆方程的特点：没有xy项，故用之。下面来看一下2014年石家庄市高三一模的圆锥曲线试题，椭圆C：， e=，过右

5、焦点F且垂直于长轴的弦长为1，1）求椭圆方程C2）设C的左右顶点A，B，点P为直线x=1上一动点，PA、PB交C于M、N，证明：直线MN过一定点。解：1），过程略2） 设 P（1，a） PA PB 则 PA·PB （3y-ax-2a）（y+ax-2a）=0则过A 、B、 M、N四点的二次曲线系方程为 观察M、N、A、B四点，我们发现，它们也是另一条二次曲线上的点：AB·MN，即x轴与直线MN! 注意 x轴的直线方程为 y=0！故，我们只需设出MN方程 y=kx+b 由上述曲线系方程我们得到我们只要分别找出k、b即可，对比系数我们得到 故MN：， 恒过点（4,0） 证毕。在这

6、道题目中，我们同样省去了联立方程求点、展开计算的过程，这也是我们选择曲线系的最重要的原因。 通过以上两例，读者可能已经发现，应用曲线系的过程中，交点的重要性不可忽略，所有的曲线都是围绕着交点找到并写出的。三、总结下面我们总结以下应用曲线方程的条件与常用步骤：1）必须出现或者能够出现两条或两条以上的二次曲线（特别注意出现两条相交直线）；2）存在多个交点，是应用曲线系的关键3）调整中C1、C2、C3 的位置，通过恰当的系数对比来求出未知量。应用曲线系时特别注意以下几点：1）方程与交点的存在是等价的2）熟悉不同曲线方程的特点，有选择、有针对的对比系数3）曲线系应用的限制较多，只适用于部分（特别是一些

7、证明）题目，要掌握对不同题目有不同方法，不可固执。四、 最后，以一个著名定理的推广结束本文蝴蝶定理： 在O中，弦AB的中点为M，过M任作两条弦CD、EF，DE、CF分别交AB与P、Q则有MP=MQ下面证明，在椭圆、双曲线、抛物线中存在相同结论：在一个椭圆中，弦AB平行于长轴，过弦中点M任作两弦CD、EF，CE、DF分别交AB于P，Q，则PM=QM证明：以M为坐标原点，如图建立坐标系，设 CD： y=k1x EF：y=k2x则 CD·EF ： （y-k1x）（y-k2x）=0设椭圆为 C：得到曲线CE·DF：令y=0，得P，Q点横坐标x1x2满足由韦达定理可得 x1+x2=0即PM=Q