2.4群的直积[青松学堂]

1、2. 4 群的直积群的直积 (2.4 Direct Product of Group)2.4.1 群的外直积群的外直积(External Direct Product of Group)定义定义:设设G1，G2是两个群，是两个群，G1G2=(a，b)|aG1，bG2，在在G1G2中定义二元运算为乘法中定义二元运算为乘法:(a1，b1)(a2，b2)=(a1a2，b1b2)，则则G1G2关于这种乘法构成群，称关于这种乘法构成群，称G1G2是是G1和和G2的外直积，简称直积。的外直积，简称直积。 更一般地，设更一般地，设G1，G2，Gn是群，考虑是群，考虑G=G1G2Gn=(a1,a2,an)|a

2、iGi, 1in，1学堂A定义二元运算为乘法定义二元运算为乘法(a1,a2,an)(b1,b2,bn)=(a1b1,a2b2,anbn)，则则G关于乘法构成群，关于乘法构成群，G=G1G2Gn为为群群G1，G2，Gn的外直积的外直积。 特别地，如果特别地，如果Gi中的二元运算都采用中的二元运算都采用“+”，则称直，则称直积积为为直和直和，记做，记做:G=G1 G2 Gn注注1. 设设e1，e2 分别是分别是G1，G2的单位元则的单位元则(e1，e2)是是G1G2的单位元；的单位元；注注2. 设设 (a，b) G1G2 ，aG1，bG2 ，则，则 (a，b)-1= (a-1 ，b-1) 。注注3

3、. 当当G1，G2是加群时，外直积常记为是加群时，外直积常记为G=G1 G2 2学堂A例例1. 设设G1=(Z，+)，G2=(Z/(6)，+)，则，则G1 G2 是一个是一个无限群，单位元为无限群，单位元为0=(0， )， (3， )+(5， )=(8， )，任一元都是无限阶元。，任一元都是无限阶元。 例例a=(1， )，则，则 kN，ka=(k， )0。例例2. 设设G=e，a是二阶循环群，则是二阶循环群，则GG含有含有4个元，个元，即即GG=(e，e)，(e，a)，(a，e)，(a，a)由于由于 (e，a)(e，a)=(e，e)， (a，e)(a，e)=(e，e)， (a，a)(a，a)=

4、(e，e)， 故故GG与与Klein四元群同构四元群同构, GG K4 。047533k3学堂A2.4.2 群的直积的性质群的直积的性质(Property of Direct Product of Group)定理定理1 1 设设G = =G1G2，则，则 G是有限群的充要条件是是有限群的充要条件是G1，G2都是有限群都是有限群.而且而且当当G有限时，有限时， |G | = = | G1| | G2 |； G是交换群的充要条件是是交换群的充要条件是G1，G2都是交换都是交换群；群； G1G2 = =G2G1 .定理定理2 2 设设a, b分别是分别是G1, G2的的有限阶元素，则对有限阶元素，

5、则对 (a, b) G1G2，有有(a, b)= (a), ( b).定理定理3 3 设设G1，G2分别是分别是m, n阶循环群，则阶循环群，则G1G2是循是循环群的充要条件是环群的充要条件是(m, n)=1.4学堂A2.4.3 群的直积分解群的直积分解(Direct Product Resolving of Group)一般情况下，一个群能否表示一般情况下，一个群能否表示(分解分解)为两个群的直为两个群的直积呢积呢?定理定理1 设设G是群，是群，A，B是是G的两个子群，满足的两个子群，满足: (1) A，B是是G的不变子群，的不变子群，A,B G; (2) G=AB ; (3) AB=e.则

6、则G AB.5学堂A 证明证明:由由(2)可将可将G表示为表示为 G = ab | aA，bB，而而 AB= (a, b) | aA，bB作映射作映射 f: GAB， ab(a,b) a1b1=a2b2 a1-1a2=b1b2-1AB a1-1a2=b1b2-1=e a1=a2，b1=b2， f 是映射且为是映射且为单射单射，f 也是也是满射满射。 x1=a1b1，x2=a2b2G，由，由(1)(2)及正规子群及正规子群的性质，的性质，A和和B的元素可交换，故有的元素可交换，故有 f(x1x2)=f(a1b1a2b2)=f(a1a2b1b2)=(a1a2，b1b2) = (a1, b1) (a

7、2, b2) = f(x1)f(x2) 保运算保运算G AB6学堂A推论推论: 设群设群G有有n个个不变子群不变子群Gi G ，i=1，2，n，使使G的每一元均可的每一元均可唯一地表示唯一地表示为为G1，G2，Gn的的元的积，则元的积，则G G1G2Gn。注注:推论中的推论中的两个条件两个条件 (1) G1，G2，Gn是是G的不变子群的不变子群; (2) G的每一元均可唯一地表示的每一元均可唯一地表示G1, G2，Gn的元的积，的元的积，等价于以下三个条件等价于以下三个条件: (1) G=G1G2Gn (2) (3) aiGi，ajGj，ij，有，有aiaj=ajai1 nijjjiGGe7学

8、堂A 更一般地，我们有更一般地，我们有定理定理2. G G1G2Gn Gi G, i=1,2,n, 使使Gi Gi，且，且(1) G=G1 G2 Gn =a1 a2an |ai Gi ，1in(2) Gi (G1 Gi-1 Gi+1 Gn)=e， i=1,2,n, 推论推论: G G1G2Gn Gi G， i=1,2,n, 使使 Gi G，且，且(1) aG，a=a1 a2 an ，ai Gi 唯一表示唯一表示(2) ai Gi ，aj Gj ，ij ai aj = aj ai8学堂A2.4.4 群的内直积群的内直积(Internal Direct Product of Group)定义定义:

9、设设G1，G2是群是群G的两个正规子群，满足条件的两个正规子群，满足条件G=G1G2，G1G2=e，则则称称G是是G1和和G2的内直积。的内直积。定理定理1设设G1，G2是群是群G的两个子群，则的两个子群，则G是是G1和和G2的内直的内直积积的充要条件是的充要条件是G满足下列条件满足下列条件群群G中的每个元素都可唯一地表示成中的每个元素都可唯一地表示成hk的形式，其中的形式，其中 h G1， k G2 ;群群G1中的每个元素与群中的每个元素与群G2中的任意元素可交换，中的任意元素可交换， hk = kh.定理定理2设设G是正规子群是正规子群G1，G2的的内直积内直积，则，则G G1G2；反之反

10、之,若若G = =G1G2，则存在，则存在群群G的两个正规子群的两个正规子群G1，G2，且，且Gi与与Gi同构，使得同构，使得G是是G1与与G2的的的的内直积。内直积。9学堂A2.4.5 群分解为不可分解子群的直积群分解为不可分解子群的直积(Group being Resolved Direct Product of Unresolved Subgroup)定义定义: 设设G=G1G2Gn，其中，其中Gi G，1in，映射映射 fi : GG fi (x) = xi , x=x1x2xixnG，xiGi 而且而且 fi 具有如下性质具有如下性质: (1) fi 是是G的的自同态自同态: fi

11、(xy)=fi (x) fi (y); (2) fi 是是幂等的幂等的: fi2 = fi ; (3) fi 是是正交的正交的: 对对 xG，则，则 ij 有有 fi fj =0 (4) fi 是是正规的正规的: 任意自同构任意自同构Ca，有，有 fi Ca= Ca fi。则称则称 fi 为为G的的投影投影.10学堂A注注. 两个投影两个投影 fi，fj 称为称为正交的正交的，若，若fi fj =0，f1，fn 称为称为正交投影组正交投影组，若，若ij 有有fi fj =0定义定义:群群G叫做叫做可分解可分解的，若存在的，若存在真正规子群真正规子群G1，G2，使使G=G1G2，否则称否则称G是

12、不可分解的。是不可分解的。定理定理1 群群G可分解可分解 存在投影存在投影 f 0, (为恒等映射为恒等映射) 定理定理2. 若群若群Ge满足正规子群的降链条件，则满足正规子群的降链条件，则G存在不等于存在不等于e的的正规子群正规子群H1，Hr，使，使G=H1H2Hr，且且 Hi 都是都是不可分解不可分解的。的。11学堂A2.4.6 有限群的直积分解有限群的直积分解(Direct Product Resolving of Limited Group) 定义定义:设设n是正整数，是正整数，pi 是素数，若是素数，若n=p11p22 prr =n1n2nr，则称则称 ni (1ir)为为n的的初等因子初等因子。若。若ni|ni+1，i=1，2，r-1，则称则称ni为为n的的不变因子不变因子。 定理定理3 设设G是是有限可换群有限可换群，|G|=n，则，则G可分解为如可分解为如下下循环群的直积循环群的直积，