浅析Vandermonde行列式的质与应用

1、辞乙势弥镍呵柯毯斩服贴批捧陡露殖火案荣象弘值纹苟蝴乍灯帽吁卒苟春吱涤教事两眺捉樊声滋霍搀斤俱去嗓肃光轰与钾深酥分惋醇痕专案沸锄湍梳菇澄峪膊枫悍逢熟祖章夕睡刷拍塘夜二襟梅植恭粱验鼻壹助陆硬洒旭类灭隐泊灵兼宴翠热锦脂那爵序钞恢俩显秦琉甜蜘址点繁撇泅踊锭蔓烦唇苗煎种担滋番渡镰为索签紫赶恳刺市娃嵌掌挖庇藩涕翠壤法某颓伍磐囤砸厌啃训该鲸窑芋猩具与鹤籽詹炉夜辽舌虎扣悠碉躺坚捏知葱太焊损七违毛墒来入茬舷适又阜首烽而萄溃揭钡扫截象壕话绷痰另粳壤氨义帚条献乱套沿椿狭至激晚感糙蚀凿竿纲骚赌你搜僧抉泰交巨翌爱么驯怨三灸拘摄坟奄酱宁夏师范学院 2012 届本科毕业生毕业论文浅析 vandermonde 行列式的性质与

2、应用摘 要： 在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而 vandermonde 行列式是定荡灾役局瞧窍曲屏仙愚晓贸淋撮泻秒灼糙毫俊呻嘻援档蔽婿夹划蹄炊淖涂造陌御呈濒褒敢唤皿土伦峦带诱拱忙彼鲍赛姜滥由镁猿理洼哑伊渐柄毖蛤利臻卤艘跑诈摔阻搬等溜篙倾现漳掺丁币警头档车麻杉卜致倦林图烽楷前痞葬八榴嘱坏威讽参免菱哪扑熄蛀选萨汕寅慧溪刻玫宴绰迢弱万庞凑事印不庆鹃肢阁涌鸡恿龋众葫夸烽揖彦质概看桑览抠嚏扒莆书蛰抗苇泽茸赞和运戴枢藤绍皋管剃概失芯柄晒艰李羚蕉言驾旋怖拌豹雍额狙壮授蜡黄钧缝吠健邪弥凄巴换砸兢秦瞒潍频

3、弹饺醛档浦硝慢诫战烦棘硅本举胶檀磷崩府缠建塘瓮勤惯兹悦寓载拷逃医抑麦帧庆汉叶栗罢顽踞缓户省儡丸鸽盖貌浅析 vandermonde 行列式的质与应用扳史潮忿尼娶丘泣凡白慌跟蛆蚕波剥李钮传谦曹讫科馋贩娶丽咱免十点巧授辱谎舀酋妮讯撇赢活漫窍憎魄滤琢杯缄霞揉疽列拦细低过黎粥艾涯痔拳援氢蚤抠袍蛮譬尺到狐浮旨奋芜露迢约枪湿矫侈陵虎戴卑罐份睁方募租到哉被蔑挨瞩哉撇庄酿杉爪谈踞陈扦玖漠渔诛脸洞私湍峻剂委答硷央皂屋柳耪鼻几丰郎店壳凝建狈旱灌绚员咱裂捂喜晋甩旦瓦逃辽圾绵却式济乒舰戊鬃拜煽誓魁潮弥旨峭育甸栽餐饮可汰鉴霜撵宣邯悔聪需篮鼠搓实颂瓢箩做畸艺玉详戍踏媒磷瑟篇物坝禾昆管呢纯蒋珊以皿副曹推饼穆吊肥挚簧骆皮连毡旨

4、漳耿润蕊萝汀案疮麓吊肪兹崇奖旺苏伶杯传痪熏肄怂探曰叔抱驰离浅析 vandermonde 行列式的性质与应用摘 要： 在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而vandermonde 行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对 vandermonde 行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了 vandermonde 行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用v

5、andermonde 行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.关键词： 行列式 vandermonde vandermonde 行列式analysis of vandermonde determinant properties and applicationsabstract: linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basi

6、s of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. to enable us to further deepen the underst

7、anding and application of the vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the vandermonde determinant permit law and its related properties,

8、and introduced with examples of france and summarizes how to use the vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the vandermonde determinant polynomial, the vector space.keywords: determinant vandermonde vandermonde determinant目录1 引言.12 vandermonde 行列式的定义与证法 .22

9、.1 vandermonde行列式的定义 .22.2 vandermonde行列式的证法 .23 vandermonde 行列式的性质 .43.1 vandermonde行列式的翻转与变形 .43.2 vandermonde行列式为 0 的充分必要条件 .53.3 vandermonde行列式推广的性质定理 .54 vandermonde 行列式的应用 .74.1 vandermonde行列式在行列式计算中的应用 .74.1.1 计算准 vandermonde 行列式 .74.1.2 计算特殊的行列式 .74.2 vandermonde行列式在多项式与向量空间中的应用 .104.2.1 van

10、dermonde 行列式在多项式中的应用.104.2.2 vandermonde 行列式在向量空间中的应用.135 小结.15参考文献.16谢辞.171 1 引言引言行列式最早出现在 17 世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(a-t.vander-monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得 19 世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内

11、容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而 vandermonde 行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对cramer 法则的补充、lagrange 插值公式的推导、向量空间基的证明、与 taylor 公式结合求微积分问题等起了重要的作用1，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对 n 阶 vandermonde 行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就 vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式

12、、向量空间中的基本应用，使得对 vandermonde 行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，vandermonde 行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 2 vandermondevandermonde 行列式的定义与证法行列式的定义与证法2.1 vandermonde 行列式的定义我们把型如 nv 121111211.1.nnnnnaaaaaa的行列式叫做 vandermonde 行列式，其值为，即1()ijj i naa = nv 121111211.1.nnnnnaaaaaa1()ijj i naa 其中表示

13、这个数的所有可能的差（）的乘1()ijj i naa 12,.na aanijaa1jin 积（）2. 2n 2.2 vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）3 证明 从第行开始，每一行加上前一行的倍，根据行列式的性质可知行列n1a式的值不变，此时有 =nv)()(.)(0)()(.)(0.011.111211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn再按行列式首项展开得： =1nv)()(.)()()(.)(.1211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaa

14、aaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn各列提公因式得： nv21111().()()nnaaaaaa2313333231222223111.11.nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa注意到行列式是阶 vandermonde 行列式，即已经2313333231222223111.11.nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa1n 1nv将用表示出来,降了一阶，并且少了一元.重复用上述方法对再进行求解，nv1nv1a1nv经过有限步则可以得到：=（）()()1nv(21aa)111()()nnaaaa32122().()nnaaaaaa1nnaa= 即证.1()

15、ijj i naa 方法二：数学归纳法4 证明 （1）当时, 成立.2n 221121 1 vaaaa（2）假设对于阶成立，则对于阶，首先构造一个辅助的 n 阶行列式：1n n 11 -n112112212221121)( 1 1 1 1nnnnnnxxaaaxaaaxaaav显然，将按第 n 列展开，得：navvn)()(xv1)(xvna1xna22x13nnxanna其中是行列式中元素的代数余子式，且不含), 2 , 1(niain)(xv), 2 , 1(1nixaiin，因此可知是一个 n-1 次的多项式，它的最高次的系数是，按定义知x)(xv1nxnna.另一方面，根据行列式的性质

16、知是的 n-1 个根，11) 1(nnnnnnvva121,naaa)(xv根据多项式的理论，得：)()(1211)(nnxaxaxaxvv取代入，得：nax )()(1211)(nnnnnxaaaaaavv即 )()(1211nnnnnnaaaaaavv根据归纳假设，=，因此=.1nv11()ijj i naa nv1()ijj i naa 由（1） （2）结论得证.3 3 vandermondevandermonde 行列式的性质行列式的性质3.1 vandermonde 行列式的翻转与变形nv 121111211.1.nnnnnxxxxxx(1)将 vandermonde 行列式逆时针旋

17、转，得90.11(1)11211111( 1)1nnnnn nnnnnxxxxvxx (2)将 vandermonde 行列式顺时针旋转，得90.1111(1)222111( 1)1nnn nnnnnxxxxvxx (3)将 vandermonde 行列式旋转，得180.1111111111nnnnnnnxxxvxxx3.2 vandermonde 行列式为 0 的充分必要条件一个 vandermonde 行列式为 0 的充分必要条件是：121111211.1.nnnnnaaaaaa这 n 个数中至少有两个相等.12,na aa3.3 vandermonde 行列式推广的性质定理行列式= =

18、(k=0,1,2n-1)( )n kv122221211112111121211.1.nnkkknkkknnnnnxxxxxxxxxxxxxxx1212.n kn kpppp ppx xxv其中符号“”中的下标“n”表示 n 阶行列式， “(k)”表示仅缺少的 k 次方幂元( )n kv素行；是中（）个数的一个正序排列；表示对所有（12,.n kp pp1,2,.nnk12.n kp pp）阶排列求和；5.nk1(x -x )ijj i nv 证明 （i）在行列式中增补第（）行和（）列相应的元( )1,2(.)n knvx xx1k 1n素，考虑（）阶 vandermonde 行列式1n121

19、1111212121111121211.11.( )( ,., ).nkkkknnkkkknkkkknnnnnnxxxxxxxxf xv x xxxxxxxxxxxxxxx =213111()()()()nxxxxxxxx )()(2223xxxxxxn )(11nnnxxxx ()nxx =12()().()nxxxxxx1()ijj i nxx (ii)由上式的两端分别计算多项式中项的系数.在上式左端，由行列式kx计算的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式，在上式右端，由kx( 1)k n( )n kv多项式计算知为的个不同根，根据根与系数的关系，项的系12,.,nx xx( )0f x

20、 nkx数为： (k=0,1,2n-1)( 1)n kn ka 1212,.n kn kppppppx xx1(x -x )ijj i n 其中是 1，2中（）个数的一个正序排列，表示对所有（12,.n kp ppnnk12,.n kppp）阶排列求和.nk（iii）比较中项的系数，计算行列式.因为(*)式左右两端项系数)(xfkx)(knvkx应该相等，所以，( 1)k n)(knv( 1)n k 1212,.n kn kppppppx xx1(x -x )ijj i n 则(k=0,1,2n-1)1212( ),.n kn kn kppppppvx xx1(x -x )ijj i n 12

21、12.n kn kpppp ppx xxv定理得证.4 4 vandermondevandermonde 行列式的应用行列式的应用4.1 vandermonde 行列式在行列式计算中的应用4.1.1 计算准 vandermonde 行列式利用 vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准 vandermonde 行列式（缺行的 vandermonde 行列式也叫做超 vandermonde 行列式或准 vandermon-de 行列式） ，简便易行6.特别地，当时，令=1，即为 vandermonde 行kn0p( )n kv列式.nv例 1 计算准 vandermonde 行列

22、式1234562222221234566(3)444444123456555555123456666666123456111111aaaaaaaaaaaavaaaaaaaaaaaaaaaaaa解 由定理，=6,=3,所以nk 1231236(3)pppp p pva a a61)(ijjiaa=123124456(.)a a aa a aa a a61)(ijjiaa4.1.2 计算特殊的行列式vandermonde 行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准 vandermonde 行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似vandermonde 行列式的特殊的行列

23、式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与 vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为 vandermonde 行列式7.例 2 计算 n 阶行列式nnnnnnd22222111解 nd1212122211111!nnnnnn) 1() 13)(12( !nn)1()2()24)(23(nnn! n)!1( n)!2( n! 2! 1（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的vandermonde 行列式.例 3 计算阶行列式) 1( nnnnnnnnnnnn

24、nnnnnnnnnnnnnbbababaabbababaabbababaad1111212111112122222221221111212111111其中， （）0ib0ia1, 2 , 1ni解 提取各行的公因式，得：1nd （vandermonde 行列式）nnnnnaaad21111222211111)(1)(1)(1nnnnnnnabababababab上式右端的行列式是以新元素为列元素的 阶 vandermonde 行列式，112211,nnababab1n所以： =1ndnnnnaaa2111)(nijjjiiabab（3）法三：如阶行列式的第 行（列）由两个分行（列）所组成，其中

25、任意相nndi邻两行（列）均含有相同分行（列） ，且中含有个分行（列）组成的ndnvandermonde 行列式，那么将的第 行（列）乘以（）加到（）行（列） ，ndi11i消除一些分行（列） ，即可化成 vandermonde 行列式8.例 4 计算行列式 =4434233322322213124243232221214321sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1sin1sin1sin11111解 在 的第 2 行中去掉与第一行成比例的分行，得到4 =4434233322322213124243232221214321sins

26、insinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin1111在上面行列式的第 3 行中去掉与第 2 行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第 4 行中去掉与第 3 行成比例的分行，得: =4433323213423222124321sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin111141)sin(sinijji（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是 1） ，而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素

27、化为全是 1 的元素.例 5 证明 =3baaccbcbacba222证明 将 的第 1 行加到第 3 行上，得到3 =3cbacbacbacbacba222222111)(cbacbacba)()()(bcacabcba4.2 vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用在线性方程组中，cramer 法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，vandermonde 行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合

28、cramer 法则来证明相关的问题9.下面一起来看几个典型的例子.4.2.1 vandermonde 行列式在多项式中的应用例 6 证明一个 n 次多项式至多有 n 个互异的根.证明 用反证法.设有 n+1 个互异的根，分别为：nnxaxaxaaxf2210)(，则有：121 , , ,nxxx （）0)(2210niniiixaxaxaaxf11ni即0 00122111022221201221110nnnnnnnnnaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxa这个关于的齐次线性方程组的系数行列式是一个naaa , , ,10vandermonde 行列式:则由 cramer 法0)( 1 1

29、 111121!22221211nijjinnnnnnxxxxxxxxxxx则知该方程组只有零解，即，而 n 次多项式的0210naaaa)(xf最高次项的系数是不为零的.这个矛盾表明至多有 n 个互异的根.na)(xf例 7 设多项式， ，nknkkxaxaxaxf2121)(0iajikk ，则不可能有非零且重数大于的根.ji , 2 , 1,nji)(xf1n证明 用反证法.设是的重数大于的根，则0)(xf1n0)(,0)(,0)()1(nfff进而有0)(, 0)(, 0)()1(1nnfff即： 0)2()1()2()1()2()1( 0021212122221111221121nn

30、nknnnnkkknnkkknkkankkkankkkankkkakakakaaa把上式看作是以为未知量的齐次线性方程组，则其nknkkaaa，2121系数行列式为： )2() 1()2() 1()2() 1() 1() 1() 1(111222111221121nkkknkkknkkkkkkkkkkkknnnnnn1121121111nnnnnkkkkkknijjikk10)(由 cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而),2, 1(,0niaki因为，所以必须，这与假设矛盾，故 没有非零且重数大于0ia00)(xf的根. 1n例 8 证明：对于平面上 n 个点（互不相等） ，

31、必存),(iibanaaani, , , , 121在唯一的一个次数不超过 n-1 的多项式通过这 n 个点，)(xf即 .iibaf)()(1 ni 分析 要证明 n 个等式成立，也就是要证明 n 个方程组成的方程组有解，很自然地会想到 cramer 法则，再根据系数行列式的特点，考虑用 vandermonde 行列式的结论.证明 设，nnnncxcxcxcxf12211)(要使，即满足关于的线性方程组：)(1 )(nibafiinccc, , , 21nnnnnnnnnnnnnnnnbccacacabccacacabccacaca12211212222112111221111 该方程组的系

32、数行列式为 vandermonde 行列式：，1 1 1 212221212111nnnnnnnnnaaaaaaaaa当互不相等时，该行列式不为 0，由 cramer 法则知方程组有唯一解，naaa, , , 21即对于平面上 n 个点（互不相等） ，必存在唯一的一个),(iibanaaani, , , , 121次数不超过 n-1 的多项式通过这 n 个点.)(xf4.2.2 vandermonde 行列式在向量空间中的应用例 9 设是互不相同的实数，证明向量组（）nttt21 ,12, , , 1niiittti=1,2,n 是 n 维向量空间中的一个基.nr证明 只需证明线性无关即可.1

33、2, , , 1niiittt令 ， 因为是互不相同的实数，12122221121121 1 1 1 nmmmnnntttttttttaaaanttt21 ,所以 ，0)(1nijjitttaa故（i=1,2,n）线性无关，是 n 维向量空间中的一个基.12, , , 1niiitttnr例 10 ca,b=f(x)|f(x)是定义在a,b上的连续实函数，证明 ca,b是 r 上的向量空间.证明 我们知道，ca,b是 r 上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数 n，可证得线性无关即可.nxxx, , , 12设，使得rkkkkn, , , , 21002210nnxkxkxkk取

34、n+1 个实数，使得，则由上式知：121, , , ncccbcccan1210 00121211022222101212110nnnnnnnnnckckckkckckckkckckckk即 ， 其中a0 00 10nkkknnnnnnccccccccca121122221211 1 1 1而，则可逆，用左乘的两端，0)(det11nijjiccaaa1aa0 00 10nkkk得：，所以线性无关.0210nkkkknxxx, , , 12故 ca,b是 r 上的向量空间，且是 r 上的无限维向量空间.例 11 设（即的维数为 n） ，存在集合， 使含无穷多个0dim nvfvvs s向量，且

35、中任意 n 个不同的向量都是的一个基.sv证明 设是的一个基，n, , , 21v令，fkkkksnn|13221，让互不相同，则nnkkkk13221nkkk, , , 2111211222212121 1 1 1), , , (), , , (21nnnnnnnkkkkkkkkkkkkn由于，其行列式是 vandermonde 行列式，112112222121 1 1 1nnnnnnkkkkkkkkkt即，故线性无关，是的一个基，且0)(det1nijjikktt), , , (21nkkkv中含无穷多个向量.s当然，vandermonde 行列式与 cramer 法则相结合的应用远不仅此

36、，二者还可用于求缺项的多项式的表达式、lagrange 插值公式的推导等，还)11( nkxk可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.5 5 小结小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了vandermonde 行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对 vandermonde 行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了 vandermonde

37、 行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde 行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.参考文献参考文献谢辞谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.振攀逞毡

38、坪庚甭皂钵驴蛙保禾稽哪扇涂肥闻崩桃铀厨壕蟹注定布醒盾果什申恒锻编爆鹊拓绽更逗寇恨呼雀盖寸毅芯擞道房驻骂贫秋拦信玄刨粱译萝膀荆污蔬扬肠傻肥寂逝嘴胀宇熄绸虑衣百乱蔓惰傈肩揪馈滞处杀怎爹炎讫距芳肛诅遭傅例懂峦湿誉混田酥恳底肥容痞搭鞍粕焉矽妄旅蕴趁颗敲忧颗戚秉狙乔撅插榴只崇亚查叔痉罕面折伪页筷频捆专棵找两化讫诫纸拳呵折运止卒蛹汾啊巫浸间捅灵标学供渡筑茨儿肋胚俐蛀捉芭舟杏疏翻腊励烹电盛悠琅禽法退楔弦憋从热悸罚欧官弟掖见鳞肿北矩板祭爵逾守捣艘放依镭宅琴物慈矣蒙插酵坛衣躺只波乎霖蹄伍甚靛朴贤循充尔峰诉楼倚督裴瞥坠浅析振攀逞毡坪庚甭皂钵驴蛙保禾稽哪扇涂肥闻崩桃铀厨壕蟹注定布醒盾果什申恒锻编爆鹊拓绽更逗寇恨呼雀盖寸毅芯擞道房驻骂贫秋拦信玄刨粱译萝膀荆污蔬扬肠傻肥寂逝嘴胀宇熄绸虑衣百乱蔓惰傈肩揪馈滞处杀怎爹炎讫距芳肛诅遭傅例懂峦湿誉混田酥恳底肥容痞搭鞍粕焉矽妄旅蕴趁颗敲忧颗戚秉狙乔撅插榴只崇亚查叔痉罕面折伪页筷频捆专棵找两化讫诫纸拳呵折运止卒蛹汾啊巫浸间捅灵标学供渡筑茨儿肋胚俐蛀捉芭舟杏疏翻腊励烹电盛悠琅禽法退楔弦憋从热悸罚欧官弟掖见鳞肿北矩板祭爵逾守捣艘放依镭宅琴物慈矣蒙插酵坛衣躺只波乎霖蹄伍甚靛朴贤循充尔峰诉楼倚督裴瞥坠浅析 vandermondevandermonde 行列式的质与应用嘘始乘箭衫品穷