例谈均值不等式的运用条件和技巧

1、学习必备欢迎下载例谈均值不等式的运用条件和技巧运用均值不等式“若a1, a2 ,anR ,则 a1a2an n a1a2 an ,n当且仅当 a1 a2an(n2且 n N ) 时等号成立”求最值是中学数学求最值的基本方法之一，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容，因此必须熟练掌握他的运用条件和运用技巧.一、重视运用过程中的三个条件： “一正、二定、三相等” ，三者缺一不可。1 、注意“正数”例 1、求函数y x1的值域 .x误解：1212 （当且仅当 x1 时取等号），所以值域为 2,.xxxx这里错误在于使用均值定理ab2a

2、b 时忽略了条件： a, bR正确解法： ( a)当 x0时, x12x12(仅当 x1时取等号 ) ；xx(b)当 x0时,x0而 (x)(1)2 (x)( 1)2(仅当 x1时取等号 ) x12xxx所以函数的值域是y y2或y2 .2 、注意“相等”例 2、设 xR ，求函数 y3x1x2 的最小值 .误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有xR , y2x x133 2x x133 2ymin33 2.x 2x2这里的错误是没有考虑等号成立的条件。显然要2xx1，这样的 x 不存在，故导致错x 2.误。此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数正确解法： y3x3x133

3、3x3x13 318( 3x1 时取等号） .22x22 2 x222x2所以 x3 18 , ymin33 18.32例 3、 设 a,b, x, yR,且有 a 2b 23, x2y26,求 axby的最大值 .学习必备欢迎下载误解：axa2x2, byb2y2axby1(a2b2x2y2 )9(1)2222所以 ax by 的最大值为 9.2这里（ 1）取等号的条件是仅当xa, y b ；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值 .正确解法：a2 x2b2 y22axby,(a2b2 )( x2y2 )(axby )2 仅当 axby 时取等，axby所以 axby3632仅当

4、a2b23时取等号 .x2y 26如取 ab6 , xy3,(axby )max3223 、注意“定值”例 4、已知 x2y1, x, yR, 求 x 2 y的最大值 .误解： x 2 y( xx y )3(2x y) 3(当 xy时取等 ), 又 x 2 y1， xy1 ,时 x 2 y1.327327以上过程只能说明当xy1时 x2 y1.但没有任何理由说明 x 2 y1 , 这种似是而非的32727.错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果正确解法：x, yR,x2 y1 x x 4 y1 ( xx 4y ) 31 (2 x2 y) 32，4434327

5、所以仅当x4 y1,即 x2 , y1 时取等号 ,x2 y最大值为 2 .x2y3627二、常用的处理方法和技巧1、拆项：为了创设使用不等式的条件，有时需将一些项作适当的变形，拆为多项之积，从而达到凑积或和为定值的目的。为了使等号成立，常遵循“平均分拆”的原则.例 5、求函数 y2x23 ( x0)的最小值 .x解： y 2x 233332x 2333 3 36 (2x23 时取等号） ，2x2x2x2x22x所以仅当 x3 6 ， ymin3 336 .22学习必备欢迎下载（求和的最值，所以凑积为定值，因此拆3 为相同两项，同时使得含变量的因子x 的次数和为零）x2 、裂项：常用于分式形式

6、，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时用此方法。例 6、设 x1 ，求函数( x5)( x 2)yx 1解： y( x 1) 4( x 1)1x1的最小值 .x4511x2( x 1)45 9( x 14取等号）x1x1所以仅当 x1时 , ymin9 .（先尽可能的让分子变量项和分母相同，然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。即使得含变量的因子 x 1的次数和为零，同时取到等号）3 、添项：求和的最小值时，为了使积为定值，需添加某个项.例 7、求函数 y3x216的最小值 .2 x 2解：2162162 x2623(2x )(2x2 )8 36y 3(2 x )当且

7、仅当 3(2x2 )216取等号x2所以当 x432, ymin8 363（求和的最值， 尽可凑积为定值， 因此添加6，再减法 6，即使得含变量的因子2 x 2 的次数和为零，同时取到等号） .例 8、若 x0, y0,且 191, 则 xy .的最小值 .xy解： x y( xy)( 19 )19y9x10 2y9x16( y9x 时取等号）xyxyxyxy学习必备欢迎下载y9 x所以仅当xyx4y 的最小值为 16.19y时 x12x1y 所求变量出现在分子，已知条件变量在分母， 为此添上191（即乘 1 即乘），变为求和的最xy值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子y 的次数和为零，同时

8、取到等号 x注意：例8 这种解法也叫用“ 1”的技巧 .4、凑系数：为了求积的最大值，常将因式放入根号内，同乘或同除以某个正数，使含变量的各因子之和为常数 .例 9、求函数 yx 2 1x 2 (0x1)的最大值 .4 x2x 2 (1 x2 )x 2x 21 x2解 : y x2 1 x 2x4 (1 x2 )4( 22)3232239（仅当 x 21x2 时取等号）因此仅当x6 , ymax23.239（把变量都放在同一条件下的根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相同且系数和为零，且取到等号）例 10、已知 0x2, 求函数 y6x(4x2 ) 的最大值 .解： 0 x 2,

9、y0 y36x2 (4x2 ) 2182x2(4x 2 )(4x 2 )2x2(4 x2 ) (4 x2 )332 3(2x242取等号）1833x因此仅当 x23, ymax32 3.33（求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同 ,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）5 、分子变量常数化：常用于分式形式，且分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数小时用此方法 .例 11、设求函数y3x 2的最大值 .3x4学习必备欢迎下载解：由题3x 233y344xx4xxx 222x2而 xR ,xx433x x43( x 4取等号）22 x22 2 x22 x2所以仅当 x2, ymax1 .（分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解）6 、取倒数：已知变量出现在