概率统计大题题型总结(理)学生版

1、统计概率大题题型总结题型一频率分布直方图与茎叶图例1. （2013广东理17）某车间共有12名工人，随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.1 7 92 0 153 0第17题图（i）根据茎叶图计算样本均值；（n）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；（田）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有名优秀工人的概率.例2. （2013新课标r理）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出t该产品获利润500 元,未售出的产品，每t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图

2、，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130t该农产品，以x （单位:t,100 x 150） 表示下一个销售季度内的市场需求量,t （单位:元）表示下一个销售季度内销商该农产品的 禾i润.（i ）将丁表示为x的函数；（ii）根据直方图估计利润t不少于57000元的概率；（田）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如:若x 100,110），则取x 105，且x105的概率等于需求量落入100,110）的概率）,求利润t的数学期望.变式1.12015高考重庆,理3】重庆市2013年各月的平均气温（°c）

3、数据的茎叶图如下:0123820195 80 3 3 82则这组数据的中位数是（a、19b、20c、21.5d、23变式2.12015高考新课标2,理18(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从a, b两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下:a 地区：62 73 819295 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 8276 89b 地区：73 83 62 5191 46 53 73 64 8293 48 65 8174 56 54 76 65 79(i )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区

4、满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；b地区a地区456789(n)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满思满思非常泓忠记时间c: “a地区用户的满意度等级高于 b地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求c的概率.变式3. (2012辽宁理)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间 的频率分布直方图；即垂0.0u5

5、将日均收看该体育节目时间不低于 40分钟的观众称为 体育迷”.(i)根据已知条件完成下面的2 2列联表，并据此资料你是否认为 体育迷”与性别有关？非体行迷体育迷一 合计男女1055_合计1(r)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的 体育迷”人数为x.若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望e(x)和方差d(x).变式4【2014新课标i理18(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取 500件，测量这 些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：事频率口必一睡10.002| 173

6、1s5195205215 225 235 质量指标值0.0 1 0(i)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2 (同一组数据用该区间的中点值 作代表)；(n)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 z服从正态分布n( , 2),其中近似为样本平均数x,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求 p(187.8 z 212.2);(ii)某用户从该企业购买了 100件这种产品，记x表示这100件产品中质量指标值为于区间 (187.8,212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求ex .附： 150 = 12.2.)=0.6826, p( 2 z2 ) =0.9544.

7、若zn( , 2),则p(题型二抽样问题例【2015高考广东，理17】某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的平均值x和方差s2；(3) 36名

8、工人中年龄在x s与又s之间有多少人？所占的百分比是多少 (精确到0.01%) ?变式(2009天津卷文)为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从a, b,c三个区中抽取7个工厂进行调查，已知 a,b, c区中分别有18, 27, 18个工厂(i )求从a,b,c区中分别抽取的工厂个数；(n)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2个工厂中至少有1个来自a区的概率题型三古典概型有限等可能事件的概率在一次实验中可能出现的结果有 n个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件a包含的结果有m个，那么p (a) = m。这就是等可能事件的判断方法及其

9、概率的计算公式。n高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。例题1【2015高考天津，理16(本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比 赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协 会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.设a为事件 选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求 事件a发生的概率；(ii)设x为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 x的分布列和数学期望.例2【2015高考安徽，理17】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区

10、分， 每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(i )求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(n)已知每检测一件产品需要费用100元，设x表示直到检测出2件次品或者检测出3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求x的分布列和均值(数学期望).变式 1【 2015 高考重庆，理17】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10 个粽子，其中豆沙粽2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3 个。（ 1）求三种粽子各取到 1 个的概率；（ 2）设 x 表示取到的豆沙粽个数，求x 的分布列与数学期望变式 2

11、 （2013天津理） 一个盒子里装有7张卡片 , 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4;白色卡片 3 张 , 编号分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同 ）.（i ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.（n）再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 x,求随机变量x的分布列和数学期望 .题型四 几何概型-无线等可能事件发生的概率例1【2015高考湖北，理71在区间0, 1上随机取两个数x,y,记pi为事件x y 1”的概率,p2为事件|x y | j”的概率，6为事件xy 的概率，则（）a .p1p2p3b.p2p3

12、pic .p 3plp 2d .p 3p 2p1变式1【2015高考福建，理13如图，点a的坐标为1,0 ，点c的坐标为2,4 ，函数f x x2 ,若在矩形abcd内随机取一点，则此点取自阴影部 分的概率等于.、. 一 一 一 0 x 2 .变式2 （2012年图考（北京理）设不等式组表示的平面区d.在区0 y 2域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是（）d.b.题型五相互独立事件发生概率计算事件a （或b）是否发生对事件b （或a）发生的概率没有影响，则 a、b叫做相互独立 事件，它们同时发生的事件为 a bo用概率的乘法公式p a b p a p b计算。例1 （20

13、13辽宁数学理）现有10道题，其中6道甲类题,4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.求张同学至少取到1道乙类题的概率； 3 .,（ii）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 -，答对5每道乙类题的概率都是4 ,且各题答对与否相互独立 用x表示张同学答对题的个数，求x5的分布列和数学期望例2 (2013山东理)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结1 2束,除第五局甲队获胜的概率是-外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是2，假设各局比赛2 3结果相互独立.(i)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜禾i的概率；(r)若比赛结果为3:0或3

14、:1，则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2，则胜利方得2 分、对方得1分.求乙队得分x的分布列及数学期望.变式1 (2012年高考(山东理)先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3,4命中得1分，没有命中得0分;向乙靶射击两次，每次命中的概率为2 ,每命中一次得2分，没 3有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(i )求该射手恰好命中一次得的概率；(r)求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex .变式2 （2012重庆理）（本小题满分13分,（1 ）小问5分,（h）小问8分.）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获

15、胜，一直到有人获胜或每人都已 投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1，乙每次投篮投中的概率为1，且各次投篮互 不影响.（i）求甲获胜的概率；（n）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望题型六 n次独立重复试验的概率 -二项分布若在n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做 n次独立重复试验。若在1次试验中事件a发生的概率为p,则在n次独立惩处试验中，事件 a恰好发生k次的概率为pn k cnkpk 1 p n k。高考结合实际应用问题考查 n次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率的计算方法和化 归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。例1【2015高考

16、湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖， 每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸 出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1个红球，则获二等奖；若 没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为x,求x的分布列 和数学期望.例2【2014辽宁理18(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天

17、里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；(2)用x表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x的分布列，期望e(x)及方差d(x).变式1 (2012四川理)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 (简称系统)a和b,系统a和 b在任意时刻发生故障的概率分别为 2和p .10(i )若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49 ,求p的值；50(h)设系统a在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求 的概率分布列及数学期望e .题型七离散型随变量概率分布列设离散型随机变量的分布列为x1x2xipp1p2pi它有下面性质：pi 0(

18、i 1,2,)pl p2 pi 1,即总概率为1 ；期望 e xirxipi；方差 d (% e )2pi(x e )2pi离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.例题1 (2010天津理)某射手每次射击击中目标的概率是 2 ,且各次射击的结果互不影响。3(i )假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率(h)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；(田)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击 中，若有2次连续击中，而另外1次未击中

19、，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分, 记 为射手射击3次后的总的分数，求 的分布列。题型八 标准正态分布例(2013年高考湖北卷 (理) )假设每天从甲地去乙地的旅客人数x 是服从正态分布n 800,502的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900 的概率为p0 .(i)求p0的值;(参考数据：若x : n , 2 ,有p x0.6826p 2 x 20.9544, p 3 x 30.9974.)(ii)某客运公司用a.b两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一 次,a.b两种车辆的载客量分别为 36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆

20、和2400 元/辆 .公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队,并要求b 型车不多于a 型车 7辆.若每天要以不小于p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备a型车.b型车各多少辆？变式 1【 2015 高考湖北，理4】设x : n ( 1 ,图所示下列结论中正确的是( )a p(y 2) p(y 1)c.对任意正数t, p(x t) p(y t)12) ， y: n( 2, 22) ，这两个正态分布密度曲线如b p(x 2) p(x 1)d 对任意正数t ， p(x t) p(y t)变式212015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）

21、服从正态分布n 0,32 ,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）68.26% ,(d) 31.74%（附：若随机变量己服从正态分布n , 2 ，则pp 2295.44%。）（a） 4.56%（b） 13.59%（c） 27.18%题型九线性回归分析 例1【2014年全国新课标h （理19）】（本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（i ）求y关于t的线性回归方程；（ii）利用（i）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.nti t y y附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b j, ? y bt2ti t例2【2014年重庆卷（理03）】已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 x 3,亍3.5,则由观测的数据得线性回归方程可能为（）a$ 0.4x 2.3b.$ 2x 2.4 c.y 2x 9.5d.§0.3x 4.4变式