大学数学用基础

1、大学数学应用基础大学数学应用基础 实用高等数学实用高等数学第四节第四节 常用经济函数及其经济分析中的导数常用经济函数及其经济分析中的导数一一.成本函数与收入函数成本函数与收入函数二二.边际成本、边际收入、边际利润边际成本、边际收入、边际利润首页首页上页上页下页下页 生产某种产品的数量为生产某种产品的数量为q时的总成本时的总成本（所需的全部费用）（所需的全部费用）首页首页上页上页下页下页 在企业的经营活动中，经营者的经营效益取决于该企业的成本支出、收入以及二者关于产量的变化率诸因素本讲主要研究导数在成本函数和收入函数中的应用1）定义域：一切非负实数一切非负实数 2）总成本分：固定成本固定成本（如

2、厂房、设备、保险费、 管理人员工资、广告费等） 可变成本可变成本（原材料费、能源消耗费、 工人工资、包装费等）.3)成本函数是单调增加函数，因为生产的产品 更新换代越多，成本越高.( )c q1.成本函数成本函数 ：一、成本函数与收入函数一、成本函数与收入函数首页首页上页上页下页下页4) 图像特点： a图像构成:有时 图像由彼此孤立的点组成；（如图3-11）,因为产量q只能是整数，如汽车或电视机等。 ( )cc q而有时 的图像可能是一条连续曲线（如图3-12）因为产量q可以连续变化，如糖、煤、水、电等.( )cc qb图像升降特点:总成本函数的图像叫总成本曲线,它从左往右是上升的,与c轴的交

3、点的纵坐标(纵截距)为 (固定成本)0c首页首页上页上页下页下页 企业售出某种产品的数量为企业售出某种产品的数量为q q时所获得时所获得的全部收入的全部收入2.收入函数收入函数 ：( )r q( )r q( )r q1 1） 为单调增加函数因售出量为单调增加函数因售出量q q越多，收入越多，收入 越大。越大。prpq2) 如果价格 是常数，那么收入=价格数量，即： 。3)图像特点：通过原点的直线，如图3-13但在现实经济生活中，实际上，当产量q的值增大时，产品可能充斥市场，从而造成价格下落，r的图像如图3-14 首页首页上页上页下页下页 生产一定数量的产品的总收入与总成本之差就叫做它的总利润,

4、记作l，利润=收入-成本，即l=r-c 3.利润函数利润函数 ：( )l q首页首页上页上页下页下页二、边际成本、边际收入、边际利润函数二、边际成本、边际收入、边际利润函数案例：哪家公司更精明：案例：哪家公司更精明：从长沙开往邵阳的长途车即将出发无论哪个公司的车，票价均为75元个匆匆赶来的乘客见一家国有公司的车上尚有空位,要求以50元上车,被拒绝了.他又找到一家也有空位的私人公司的车,售票员二话没说,收了50元允许他上车了.哪家公司的行为更理性呢? 分析：分析：私人公司允许这名乘客用50元享受75元的运输服务，当然亏了，但如果用边际分析法分析，私人公司的确比国有公司精明。 “边际”这个词可以理

5、解为“增加的”的意思，“边际量”也就是“增量”的意思。说得确切一些，自变量的增量为1个单位时，因变量的增量就是边际量例如,生产要素(自变量)增加1个单位,产量(因变量)的增量为2个单位,首页首页上页上页下页下页因变量改变的这2个单位就是边际产量.边际分析法就是分析自变量变动1个单位时,因变量会变动多少的方法. 在本案例中,当我们考虑是否让这名乘客以50元的票价上车时,实际上我们应该考虑的是边际成本边际成本和边际收入边际收入这两个概念.边际成本是增加1名乘客(自变量)所增加的成本.在本案例中,增加这1名乘客,所需磨损的汽车、汽油费、工作人员工资和过路费等无需增加，对汽车来说多拉1个人少拉1个人都

6、一样，所增加的成本仅仅是发给这个乘客的食物和饮料，假设这些东西值10元，边际成本也就是10元边际收入是增加1名乘客（自变量）所增加的收入在这个案例中，增加这一名乘客增加收入50元,边际收入就是50元.因为边际收入大于边际成本,所以让这名乘客上车是合算的. 首页首页上页上页下页下页归纳归纳: 边际边际是指自变量增加1个单位时,因变量的增量(即边际量边际量). 边际分析法边际分析法就是分析自变量变动1个单位时,因变量会变动多少的方法.用数学方法描述如下:设函数 可导.根据导数和微分的定义,有 ( )f x0( )limxyfxx 因此，当 很小时，有 。于是 x( )yfxx()( )( )yf

7、xxf xfxx 特别地， 1x 当 时，有 。 ( ) 1( )yfxfx ( )yf x( )fx这就是说，当自变量增加1个单位时,函数的增量近似地等于其导数值.因此,通常我们把函数 的导数 称为边际函数边际函数. 首页首页上页上页下页下页222|3|12xxyx3yx2x 例如，例如，函数 ，在点 处的边际函数值为 ，2x xy它表示当 时， 改变个单位， 改变12个单位1.边际成本边际成本( )cc qq( )c qq总成本函数 （ 为产量）的导数 ，称为产量为 单位时的边际成本( )c qq( )c q 经济意义：边际成本 表示当产量为 时，再生产个单位产品时总成本将改变 个单位 .

8、边际需求边际需求 ( )qq pp( )q pp 需求函数 （ 为价格）的导数 ，称为价格为 单位时的边际需求首页首页上页上页下页下页( )q pp( )q p 经济意义：边际需求 表示当价格为 时，价格再上涨个单位，需求量将改变个 单位边际收入（收益）边际收入（收益）( )rr qq( )r qq 总收入函数 （ 为产量）的导数 ，称为产量为 单位时的边际收入( )r qq( )r q 经济意义：边际收入 表示当销售量为 时，再多销售个单位产品时总收入将改变个 单位 边际利润边际利润( )ll qq( )l qq 总利润函数 （ 为产量）的导数 ，称为产量为 单位时的边际利润 由于总利润为总

9、收入与总成本之差，即有首页首页上页上页下页下页( )( )( )l qr qc q上式两边求导，得( )( )( )l qr qc q即边际利润等于边际收入与边际成本之差即边际利润等于边际收入与边际成本之差( )l qq( )l q 经济意义：边际利润 表示当产量为 时，再生产个单位产品时总利润将改变个 单位首页首页上页上页下页下页最大利润最大利润( )rr q( )cc q 问题：已知总收入函数 及总成本函数 ，如何求出最大利润？ 对利润函数 在给定的区间上求最值而最大（或最小）利润有可能在区间端点和区间内部取得但是，若事先能断言最大（或最小）利润只能在区间内部取得，且利润函数l在区间内部只

10、有唯一的驻点，则可断言，最大（或最小）利润在该点取得lrc这表明在生产这表明在生产1千升基础上再多生产千升基础上再多生产1升，需成本升，需成本1元；在生产元；在生产4千升基础上再多生产千升基础上再多生产1升，仅需成本升，仅需成本075元，这表明：产量越高，成本越低元，这表明：产量越高，成本越低首页首页上页上页下页下页【例【例1】某商品产量为某商品产量为 （千升）时的成本函数（千升）时的成本函数为为 （千元），其中（千元），其中 ，求求 时的边际成本，并给以适当的经济解时的边际成本，并给以适当的经济解释释x( )34c xx05x1,4x 3( )2mccxx解：解： 边际成本函数边际成本函数1

11、x 1.5mc 4x 0.75mc 当当 时，时， ；当；当 时，时，首页首页上页上页下页下页( )l xx2( )2505l xxx10,25,30 x 例例2 2 某企业生产一种产品，每天的总利润 （元）与产量 （吨）之间的函数关系为 ，求 时的边际利润，并给以适当的经济解释解解 边际利润函数 ( )250 10mll xx25x (25)0l 当 时， （元）；它表明在每天生产25吨的基础上，再多生产1吨，总利润没有变化，这1吨产量并没有产生利润10 x (10)150l 当 时， （元）；它表明在每天生产10吨的基础上，再多生产1吨，总利润将增加150元 当 时， （元）；它表明在每天

12、生产30吨的基础上，再多生产1吨，总利润将要减少50元 30 x (30)50l 从本题可以看出：并非生产的产品数量越多，利润就越高首页首页上页上页下页下页【例【例3】设总收入和总成本设总收入和总成本(以元为单位以元为单位)分别由下分别由下列两式给出：列两式给出：其中其中 求获得最大利润时求获得最大利润时 的数量，的数量，怎样的生产水平将获得最小利润？怎样的生产水平将获得最小利润？ 2( )50.003,( )300 1.1r qqq c qq01000qq2( )50.003(300 1.1 )l qqqq2( )3.90.003300l qqq( )3.90.006l qq( )0l q650q 所以所以 时有最大利润，时有最大利润， 时有最小利润时有最小利润 650q 0q (650)967.59l(0)300l (1000)600l( )( )( )l qr qc q解解: 因为总利润因为总利润 ，所以，所以即即:所以所以令令，得，得因为因为首页首页上页上页下页下页课外作业：课外作业：p89 习题习题3-4 1、3题题 p89 习题3-4 2题 课堂练习课堂练习 ： cx2( )900100 xcc x.某产品总成本 （元）为产量 （个）的函数 求生产10