最新深入研读教材领悟基本思想初中数学思想方法的教学与应用(浙派名师讲座).

1、 深入研读教材深入研读教材 领悟数学思想领悟数学思想 丽水市莲都区处州中学丽水市莲都区处州中学胡军华胡军华 日本数学教育家米山国藏曾经说：学生们在初中或高中日本数学教育家米山国藏曾经说：学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了，因而作为知识的数学，通常在出校门不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥精神和数学思想方法，却长期地

2、在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。着重要的作用。 英国的律师、美国的西点军校至今都要求他们的学员要英国的律师、美国的西点军校至今都要求他们的学员要学高深的数学，这倒并不是因为在他们的的工作中要用到多学高深的数学，这倒并不是因为在他们的的工作中要用到多么深奥的数学知识，而是更看重了数学的思想与方法对他们么深奥的数学知识，而是更看重了数学的思想与方法对他们未来工作所产生的影响。未来工作所产生的影响。 若把数学知识比喻为金子，那么数学方法若把数学知识比喻为金子，那么数学方法 就是就是“点金术点金术”。 数学教学有两条线数学教学有两条线另一条是暗线另一条是暗线: 数学思想方法的教学数学思想方法的教

3、学一条是明线一条是明线: 数学知识的教学数学知识的教学 经验是数学的基础经验是数学的基础 问题是数学的心脏问题是数学的心脏 思考是数学的核心思考是数学的核心 发展是数学的目标发展是数学的目标 思想方法是数学的灵魂思想方法是数学的灵魂 数学思想方法是以具体数学内容为载体，又数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使学生领悟数学的真谛，学会数学地方法。它能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝，是学生未来发展的重要

4、基础。能力相结合的法宝，是学生未来发展的重要基础。数学思想方法已越来越被广大数学教育工作者所数学思想方法已越来越被广大数学教育工作者所关注关注。 数学课程标准数学课程标准（修订稿）就明确提出：（修订稿）就明确提出：“学生通过学习，能学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学的够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验基本技能、基本思想、基本活动经验，即重要数学知识以及基本的，即重要数学知识以及基本的数学思想方法数学思想方法”。数学思想方法就这样再次被明确地列入数学教学。数学思想方法就这样再次被明确地列入数学教学的培养

5、目标中。现在，数学思想方法已成为数学教学的具体目标。的培养目标中。现在，数学思想方法已成为数学教学的具体目标。近年来，相关研究在不断深入和拓展，并成为一项独具特色而又富近年来，相关研究在不断深入和拓展，并成为一项独具特色而又富有深远意义的研究课题。有深远意义的研究课题。 研究在初中数学教学中渗透数学思想方法有利于深刻地理解数研究在初中数学教学中渗透数学思想方法有利于深刻地理解数学的内容和知识体系；有利于提高学生的数学素质；有利于对学生学的内容和知识体系；有利于提高学生的数学素质；有利于对学生进行美育的渗透和辨证唯物主义的启蒙教育；有利于教师以较高的进行美育的渗透和辨证唯物主义的启蒙教育；有利于

6、教师以较高的观点处理教材。观点处理教材。一、数学思想方法释义一、数学思想方法释义三、初中教材中体现的数学方法三、初中教材中体现的数学方法四、数学思想方法的教学案例四、数学思想方法的教学案例五、数学思想方法的教学功能五、数学思想方法的教学功能六、初中数学思想方法的教学策略六、初中数学思想方法的教学策略七、初中数学教学中渗透数学思想应注意的七、初中数学教学中渗透数学思想应注意的 几个问题几个问题一、数学思想方法释义一、数学思想方法释义 数学思想数学思想 数学方法数学方法 数学思想方法数学思想方法1 1、数学思想的含义、数学思想的含义 现代汉语中，思想解释为：客观存在反映在人现代汉语中，思想解释为：

7、客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。的意识中经过思维活动而产生的结果。辞海辞海称称思想为理性认识。思想为理性认识。中国大百科全书中国大百科全书认为，思想认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果。是相对于感性认识的理性认识结果。可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识。抽象的、概括的认识。 由此推演，由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，内容和对数学的认识过程

8、中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中。过程之中。 数学抽象：数学抽象：数学推理数学推理:数学建模数学建模:数学审美数学审美:简洁思想简洁思想统一思想统一思想和谐思想和谐思想对称思想对称思想2 2、数学方法的含义：、数学方法的含义： 方法是指人们为了达到某种目的而采取方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中，所包含的可操的手段、途径和行为方式中，所包含的可操作的规则或模式，具有作的规则或模式，具有程序性、规则性

9、、可程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性操作性、模式性、指向性等特征。等特征。 方法因问题而生，因能解决问题而存。方法因问题而生，因能解决问题而存。数学方法是指在数学地提出问题、研究问数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种题）的过程中，所采用的各种手段或途径手段或途径。 3 3、数学方法的层次、数学方法的层次 第一层次第一层次是基本和重大的数学思想方法是基本和重大的数学思想方法 模型化方法模型化方法 微积分方法微积分方法 概率统计方法概率统计方法 拓扑方法拓扑方法 计算方法计算方法 第二层次

10、第二层次是与一般科学方法相应的数学方法是与一般科学方法相应的数学方法 类比联想类比联想 分析综合分析综合 归纳演绎归纳演绎 第三层次第三层次是数学中的特有方法是数学中的特有方法 数学表示数学表示 数学等价数学等价 数形转换数形转换 第四层次第四层次是中学数学中的是中学数学中的解题方法和技巧解题方法和技巧。宏观的数学方法包括宏观的数学方法包括： 模型方法模型方法 变换方法变换方法 对称方法对称方法 无穷小方法无穷小方法 公理化方法公理化方法 结构方法结构方法 实验方法实验方法4、数学方法分为宏观的和微观的两类、数学方法分为宏观的和微观的两类微观微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可的且在中

11、学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：以分为以下三类：(1)(1)逻辑学中的方法逻辑学中的方法：例如分析法：例如分析法( (包括逆证法包括逆证法) )、综、综合法、反证法、归纳法、穷举法合法、反证法、归纳法、穷举法( (要求分类讨论要求分类讨论) )等等这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。运用于数学之中而具有数学的特色。 (2)(2)数学中的一般方法数学中的一般方法：例如建模法、消元法、降次：例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法法、代入法、图象法( (也称坐标法代数中常称图象法也称坐标法代数

12、中常称图象法等），这些方法极为重要，应用也很广泛。等），这些方法极为重要，应用也很广泛。 (3)数学中的特殊方法数学中的特殊方法：例如配方法、待定系数法、：例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法也称之为中间变量法)、拆、拆项补项法项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解法以及平移法、翻折、旋转法等。这些方法因式分解法以及平移法、翻折、旋转法等。这些方法在解决数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。在解决数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。 5 5、数学思想与数学方法的关系、数学思想与数学方法的关

13、系 数学思想具有数学思想具有概括性和普遍性概括性和普遍性，而数学方法则，而数学方法则具有具有操作性和具体性操作性和具体性； 数学思想是数学思想是内隐内隐的，而数学方法是的，而数学方法是外显外显的；的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步概括和学对象间的内在关系，是数学方法的进一步概括和升华；升华；如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段。学方法就相当于建筑施工的手段。数学思想和数学方法又具有相对性，同一个数数学思想和数学方法又具有相对性，同一个数

14、学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作过学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作过程时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系程时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为数学思想。中的价值和意义时，可能称之为数学思想。 数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。决问题的策略。 数学思想是数学方法的灵魂，数

15、学方法是数学思想数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段的表现形式和得以实现的手段. 初中数学中隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的初中数学中隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的，都是相通的，反映在联系方面，其本质往往是一致的，都是相通的，所以初中数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，所以初中数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即初中数学思想方法。即初中数学思想方法。 （1）生活的需要）生活的需要 （2）学生发展的需要）学生发展的需要 （3）课标的要求）课标的要求 （4）高效课堂的需要）高效课堂的需要 数形结合思想数形结

16、合思想 分类讨论思想分类讨论思想 类比联想类比联想 整体思想整体思想 转化与化归思想转化与化归思想 方程与函数思想方程与函数思想 数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形以形助数助数”或或“以数解形以数解形”即利用形的直观加深对数量即利用形的直观加深对数量关系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识，关系的理

17、解或利用数的抽象性加深对图形的认识，实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。实现了抽象思维与形象思维的结合与转换。数轴数轴 ， 绝对值绝对值平面直角坐标系平面直角坐标系函数函数空间与图形空间与图形 勾股定理勾股定理平方差公式、完全平方公式的几何意义平方差公式、完全平方公式的几何意义 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系。、数轴上的点与实数的一一对应的关系。 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。关系。 3、函数式与图像之间的关系。、函数式与图像之间的关系。 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题，、线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。充分

18、利用数来反映形。 5、解直角三角形，求角度和边长，引入了、解直角三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决几何问题。三角函数，这是用代数方法解决几何问题。6、“圆圆”这一章中，圆的定义，点与圆、直这一章中，圆的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。量关系来处理的。 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表来反映数据的分布情况，图表，用这些图表来反映数据的分布情况，发展趋势等。实际上就是通过发展趋势等。实际上就是通过“形形”来反来反映数据分布情况，发展趋势等。映数

19、据分布情况，发展趋势等。 实际上就是通过实际上就是通过“形形”来反映数的特征，来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。这是数形结合思想在实际中的直接应用。2、关于、关于x的不等式组的不等式组 无解，则无解，则a的取值的取值范围是范围是 。1、已知、已知a0，b0，且，且ab，则（，则（ ） a 、 ba b 、 b c 、a |b| d、 |b| |a|5210 xxa 3、如图是小张用火柴搭的、如图是小张用火柴搭的1条、条、2条、条、3条条“金鱼金鱼”。 则搭则搭n条条“金鱼金鱼”需要火柴需要火柴 根。根。4、若、若m( ,y1),n( ,y2),p( ,y3)三点都在函数三点都

20、在函数（k0）的图象上，则）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（的大小关系为（ ）a、 y2y3y1 b、 y2y1y3 c 、 y3y1y2 d、 y3y2y1121412 6 6、5 5、对于二次函数对于二次函数y yaxax2 2bxbxc c若若a a0 0，b b0 0，c c 0 0，则下面关于这个函数与则下面关于这个函数与x x轴的交点情况正确的是轴的交点情况正确的是（ ） a.a.只有一个交点只有一个交点 b.b.有两个，都在有两个，都在x x轴的正半轴轴的正半轴 c.c.有两个，都在有两个，都在x x轴的负半轴轴的负半轴 d.d.一个在一个在x x轴的正半轴，一个在轴的

21、正半轴，一个在x x轴的负半轴轴的负半轴2012中考中考7 7、如图、如图,c,c为线段为线段bdbd上一动点上一动点, ,分别过点分别过点b b、d d作作abbd,edbd,abbd,edbd,连接连接acac、ec.ec.已知已知ab=5,de=1,bd=8,ab=5,de=1,bd=8,设设cd=x.cd=x.(1)(1)用含用含x x的代数式表示的代数式表示acaccece的长；的长；(2)(2)请问点请问点c c满足什么条件时满足什么条件时,ac,accece的值最小的值最小? ?(3)(3)根据根据(2)(2)中的规律和结论中的规律和结论, ,请构图求出代数式请构图求出代数式 的

22、最小值的最小值. .224(12)9xxedcba此例，以此例，以“形形”助助“数数”，又以，又以“数数”辅辅“形形”，是运用数形结合典范也是构造法的运用的一例。是运用数形结合典范也是构造法的运用的一例。oyxapb上式的直观意义十分明显：所求之值对应着直角坐标系内上式的直观意义十分明显：所求之值对应着直角坐标系内x轴轴上的点到、两点的距离之和。由图上的点到、两点的距离之和。由图本例（本例（3）小题若不理解（）小题若不理解（1）、（）、（2）的设问意图，从纯代数）的设问意图，从纯代数的角度思考显得抽象，求解困难。如果赋予数量关系以几何的角度思考显得抽象，求解困难。如果赋予数量关系以几何意义，可

23、由前两问构造直角三角形求解；另一方面，若将所意义，可由前两问构造直角三角形求解；另一方面，若将所求式子改写为：求式子改写为：2222(0)(02)(12)(03)xx( ,0)p x(0,2)a(12, 3)b可知，当可知，当a、p、b三点共线时所求之和有最小值三点共线时所求之和有最小值13。 分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研分类讨论思想又称逻辑划分，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想。

24、想。 当数学问题中的当数学问题中的条件、结论不明确条件、结论不明确或或题题意中含参数或图形不确定意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。时，就应分类讨论。分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决分问题来解决,以增加题设条件。以增加题设条件。1、明确讨论对象，确定对象的全体，确立分、明确讨论对象，确定对象的全体，确立分类标准（类标准（标准统一，标准不同，结果也不相标准统一，标准不同，结果也不相同）；同）；2、恰当分类（、恰当分类（结果无遗漏，无交叉重复）；结果无遗漏，无交叉重复）；3、逐类讨论（、逐类讨论（逐级进行，不越级讨论逐级进行，不越级讨论）

25、；）；4、归纳总结，综合得出结论。、归纳总结，综合得出结论。|a |= 实数的分类实数的分类三角形的分类三角形的分类与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系三角形判定方法的探索三角形判定方法的探索一元二次方程的解的情况一元二次方程的解的情况1、数与式、数与式（1）有理数）有理数有理数的分类有理数的分类 相反数相反数 绝对值绝对值有理数的大小比较有理数的大小比较 有理数的运算法则有理数的运算法则（2）实数）实数 实数的分类实数的分类 平方根、立方根平方根、立方根 无理数的形式无理数的形式（3）式）式 整式的分类整式的分类 分式的加减分式的加减2、方程与不等式、方程与不等式方程的分类方程的分类不等式的

26、性质不等式的性质分段函数分段函数一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质不等式组的解集不等式组的解集3、函数、函数一元二次方程的解一元二次方程的解4、图形的认识、图形的认识线的分类线的分类面的分类面的分类垂线性质垂线性质三角形按边、按角的分类三角形按边、按角的分类角的分类角的分类图形的分类图形的分类三线八角三线八角三角形高的位置三角形高的位置三角形外心的位置三角形外心的位置三角形全等的条件三角形全等的条件等腰三角形边和角计算等腰三角形边和角计算勾股定理的应用勾股定理的应用四边形的分类四边形的分类弦、弧的分类弦、弧的分类与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系

27、圆周角定理圆周角定理5、图形与变换、图形与变换相似三角形的对应关系相似三角形的对应关系列举法列举法6、统计与概率、统计与概率1、等腰三角形的一个角等于、等腰三角形的一个角等于30，腰长为，腰长为20cm，求等腰三角形腰上的高的长；求等腰三角形腰上的高的长；2、已知直角三角形两边、已知直角三角形两边x、y的长满足的长满足 ，则第三边长为，则第三边长为 ；3、a、b两地相距两地相距450千米，甲、乙两车分别从千米，甲、乙两车分别从a、b两地同时出发，相向而行已知甲车速度为两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米千米/时，乙车速度为时，乙车速度为80千米千米/时，以过小时两车相时，以过小时两车

28、相距距50千米，则的值是（千米，则的值是（ ） a、2或或25 b、2或或10 c、10或或125 d、2或或125224560 xyy4、在半径为、在半径为1的的 o中，弦中，弦ab，ac分别为分别为 和和 ，则则bac的度数为的度数为 ； 5、已知、已知 o的半径为的半径为2，点，点p是是 o外一点，外一点，op的的长为长为3，那么以，那么以p这圆心，且与这圆心，且与 o相切的圆的半相切的圆的半径一定是（径一定是（ ）a1或或5 b1 c5 d16、一次函数、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是的自变量的取值范围是 -3x 6，相应的函数值的取值范围是，相应的函数值的取值范围是 -5y

29、-2 ，则这个函数的解析式，则这个函数的解析式 。321、对、对a进行讨论进行讨论2、对、对b进行讨论进行讨论3、对、对c进行讨论进行讨论cabacb20202020cab5050cab808020cab656550cab3535110a ac cb b50501101102020 例例1 1、在三角形的边上找出一点，使得、在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成该点与三角形的两顶点构成等腰三角形等腰三角形！ 例例2、劳技课上，老师要求学生在一张长、劳技课上，老师要求学生在一张长17cm，宽，宽16cm的长方形纸片上剪下一个腰长为的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三的等腰三

30、角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重角形，要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合，其余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计合，其余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下所得等腰三角形的面积。算一下所得等腰三角形的面积。例例3、在平面直角坐标系中，已知点、在平面直角坐标系中，已知点p（2，1）.xy0.pa（1）点）点t（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，top是等腰三角形？是等腰三角形？情况一情况一:op=ot情况二情况二:po=pt情况三情况三:to=tp)0 ,5();0 ,5(21tt t t3 3(-4,0)(-4,0)0

31、,45(4t为对角线以情况一op：)0 , 2(1t为对角线以情况二pa：为对角线以情况三oa：(2) 过过p作作y轴的垂线轴的垂线pa,垂足为垂足为a.点点t为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点a.o.p.t为顶点的四边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点t的坐标的坐标?0.pa)2, 2(2t)0 ,2(3txy0.p时当情况一090pto：时当情况二090tpo：不存在符合条件的图t点时，90为pot得由0)0 , 2(1t)0 ,25(2ta)5, 0(3t(3) 过过p作作y轴的垂线轴的垂线pa,垂足为垂足为a.点点t为坐标轴上的一点。以为坐标轴上的一点

32、。以p.o.t 为顶点的三角形与为顶点的三角形与aop相似相似,请写出点请写出点t的坐标的坐标?例例4、 如图，边长为如图，边长为2的正方的正方形形abcd中，顶点中，顶点a的坐标是的坐标是（0，2）.一次函数一次函数yxt的的图象图象l随随t的不同取值变化时，的不同取值变化时，正方形中位于正方形中位于l的右下方部分的右下方部分的图形面积为的图形面积为s写出写出s与与t的的函数关系式函数关系式0,0ts2,2ts4,4ts.212ts 20 t42 t2)4(214ts 类比法，是通过对两个研究对象的比较，类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形根据它们某些方

33、面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法是一种由特殊到特殊的推理方法 相似三角形判定方法的探索相似三角形判定方法的探索零指数幂和负整数指数幂的性质探索零指数幂和负整数指数幂的性质探索特殊平行四边形性质和判定的探索特殊平行四边形性质和判定的探索直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关直线

34、与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的探索系的探索整式除法运算法则探索整式除法运算法则探索求多边形内角和求多边形内角和分式分式 1通过有理数的相反数、绝对值、运算律等得到通过有理数的相反数、绝对值、运算律等得到实数的相反数、绝对值、运算律等知识。实数的相反数、绝对值、运算律等知识。 2、不等式的性质，一元一次不等式的解法等内容、不等式的性质，一元一次不等式的解法等内容采取与等式的性质，一元一次方和的解法等做类采取与等式的性质，一元一次方和的解法等做类比。比。 3 在二次根式加减的运算中，指出在二次根式加减的运算中，指出“合并同类二合并同类二次根式与合并同类项次根式与合并同类项”类似。因此，二次根式

35、的类似。因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。加减可以对比整式的加减进行。 4 “角的度量、角的比较大小、角的和、差及平角的度量、角的比较大小、角的和、差及平分线分线”，可与线段的相关知识进行类比；，可与线段的相关知识进行类比； 5、度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行、度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行类比。类比。 6 相似多边形的性质和相似三角形的性质类比。相似多边形的性质和相似三角形的性质类比。7、有理数的加减法与、有理数的加减法与 整式的加减、二次根式整式的加减、二次根式的加减类比；的加减类比；8、平方根与、平方根与 算术平方根、立方根的类比算术平方根、立方根的类比9、

36、一元一次方程与二元一次方程组、一元二、一元一次方程与二元一次方程组、一元二次方程的类比次方程的类比10、有理数的乘除法与整式的乘法、整式的除、有理数的乘除法与整式的乘法、整式的除法、法、 二次根式的乘除类比二次根式的乘除类比11、一次函数与反比例函数、二次函数的类比、一次函数与反比例函数、二次函数的类比 整体思想就是从问题的整体性质出整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，从宏观造，发现问题的整体结构特征，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量

37、作为立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理的思想方法。整体来处理的思想方法。多项式与多项式相乘的法则探索多项式与多项式相乘的法则探索二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法代数式求值代数式求值分解因式分解因式平方差公式；完全平方公式；平方差公式；完全平方公式；整式的相关计算整式的相关计算分式分式2、11111111111 1111123423452345 23445axbybxay21xy已知方程组的解是，则a+b= .3、1、若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x= -1时， 求ax3+bx+7的值.)244()5()73(22aaa4、5、如图，在高、如图，在高2米，坡角

38、为米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，则的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要地毯的长度至少需要 米。米。6、如图，、如图， a， b， c两两不相交，且半径都是两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的阴影面积为则图中的阴影面积为 。7 7、 如图，如图，abcabc是直角边长为是直角边长为a a的等腰直角三角形，的等腰直角三角形，直角边直角边abab是半圆是半圆o o1 1的直径，半圆的直径，半圆o o2 2过过c c点且与半圆点且与半圆o o1 1相切，求图中阴影部分的面积。相切，求图中阴影部分的面积。o2o1apbc 化归就是转化与归结的简称，所谓化化归就是转化与归结的简称，所谓化归就是将

39、所要解决的问题转化归结为另一个归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。具比较容易解决的问题或已经解决的问题。具体来说，就是把体来说，就是把“新知识新知识”转化为转化为“旧知旧知识识”，把，把“未知未知”转化为转化为“已知已知”，把，把“复复杂问题杂问题”转化为转化为“简单问题简单问题”。多边形内角和的探索多边形内角和的探索整式乘法运算法则探索整式乘法运算法则探索直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系探索系探索分式方程的解法、多元方程（组）的解分式方程的解法、多元方程（组）的解法、一元二次方程的解法法、一元二次方程的解法几何实体与

40、其三视图几何实体与其三视图代数方程代数方程有理方程有理方程无理方程无理方程转化为转化为整式方程整式方程分式方程分式方程转化为转化为一元方程一元方程多元方程多元方程转化为转化为一次方程一次方程高次方程高次方程转 化转 化为为初中阶段代数方程内容结构框架图可总结如下：初中阶段代数方程内容结构框架图可总结如下： 1、 如图，如图，“回回”字形的道路宽为字形的道路宽为1米，整个米，整个“回回”字形的长为字形的长为8米，宽为米，宽为7米，一个人从米，一个人从入口点入口点a沿着道路中央走到终点沿着道路中央走到终点b，他共走，他共走了了 .8米7米ba2 2、如图所示，、如图所示，abab是半圆的直径，是半

41、圆的直径，ab=4ab=4，c c、d d为半圆的三等分点，求阴影部分的面积为半圆的三等分点，求阴影部分的面积? ?g分析：利用菱形的性分析：利用菱形的性质，将三角形质，将三角形acg的面积转化为三角形的面积转化为三角形odg的面积，则阴的面积，则阴影部份的面积转化为影部份的面积转化为扇形糁扇形糁ocd的面积。的面积。abcdmn3、如图，正方形、如图，正方形abcd的边长为的边长为8， m在在dc上，且上，且dm=2，n是是ac 上一动点，则上一动点，则dn+mn的最小值是多少？的最小值是多少？abmnop4、如图，、如图，a是半圆上一个三等分点，是半圆上一个三等分点， b是弧是弧an的中点

42、，的中点，p是直径是直径mn上一动点，上一动点， oo的半径为的半径为1 1，求，求ap+bpap+bp的最小值。的最小值。xyompq5、在直角坐标系、在直角坐标系xoy中中x轴上的动点轴上的动点m（x,0）到定点到定点p（5，5），），q（2，1）的距离分别为）的距离分别为mp和和mq，那么当，那么当mp+mq取最小值时，点取最小值时，点m的横坐标的横坐标x=? 这类问题，均可这类问题，均可“构建对构建对称模型称模型”实现转化化归。实现转化化归。 函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用研究具体问题中的数量

43、关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。要确定变化过程的某些量，往往要拓宽解题思路。要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组组)来求得这些量来求得这些量.这就是方程的思想，方程思想是动中这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系求静，研究运动中的

44、等量关系. 二次函数求最值二次函数求最值解直角三角形的相关问题解直角三角形的相关问题最大利润问题最大利润问题最佳分配方案问题最佳分配方案问题空间与图形的相关问题空间与图形的相关问题根据相关信息求函数关系式根据相关信息求函数关系式1、 如图， 中，bc4， p为bc上一点，过点p作pd/ab，交ac于d。连结ap，问点p在bc上何处时， apd 面积最大？abc acacb2360， a d b p h c x4-xaacbbx242案例：公式有美吗？aacbbx242 你认为公式有 美 吗？aacbbx242 思考一：观察公式中包含几种思考一：观察公式中包含几种 运算？运算？提醒我们提醒我们a

45、0包含了小学到初中所学过的6种运算-加法、减法、乘法、除法、乘方、开方。体现了：完善美（和谐美）体现了：完善美（和谐美）!0132 xx思考二：你能一步就写思考二：你能一步就写 出以下方程答案吗？出以下方程答案吗？ 改成0122 xx04722 xx体现了简洁美（简单美）！体现了简洁美（简单美）！思考三：观察思考三：观察 的解如何？的解如何？ 0132 zz那么那么：0132 mm0132 aa0132 xx0132 yy0132 tt的解呢？的解呢？体现了：抽象美（概括美）！体现了：抽象美（概括美）！思考四：你能把公式编成思考四：你能把公式编成一个趣味故事吗？一个趣味故事吗？ 一把剪刀（一把

46、剪刀（x ）飞跃大桥（）飞跃大桥（=），一刀刺在一），一刀刺在一个梨子上（个梨子上（-b），梨子从嘴巴里吐出（），梨子从嘴巴里吐出（ ）一间）一间厂房（厂房（ ），厂房下面看到一只鸭子站在梨子上），厂房下面看到一只鸭子站在梨子上（b2），它正在用一根木棒顶着一把菜刀（），它正在用一根木棒顶着一把菜刀（-4），），拼着命想把一个饼（拼着命想把一个饼（a ）切开一缺口（）切开一缺口（c ），可惜），可惜这个饼实在不听话，逃到地下室（这个饼实在不听话，逃到地下室（）向唐老）向唐老鸭求救（鸭求救（2a ）体现了：记忆美（趣味美）！体现了：记忆美（趣味美）！aacbbx242思考五：以下方程各有几种解法

47、？思考五：以下方程各有几种解法？022x222 tt体现了：实用美（小万能公式）体现了：实用美（小万能公式）!022 xx思考六：不准解方程，你能判断方程：思考六：不准解方程，你能判断方程：有几个根吗？（说出你的思考方法）有几个根吗？（说出你的思考方法）0122 xx0122 xx体现了：判断美！aacbbx242 完善美完善美简洁美简洁美抽象美抽象美记忆美记忆美实用美实用美判断美判断美-美美（1）综合法：）综合法：就是从问题的条件出发，运用就是从问题的条件出发，运用已学过的的数学知识，进行一系列正确的逻已学过的的数学知识，进行一系列正确的逻辑推理，逐步靠近辑推理，逐步靠近“未知未知”，最后得

48、出命题，最后得出命题的结论。这种的结论。这种由因索果的思考方法由因索果的思考方法叫综合法。叫综合法。（2）分析法：）分析法：就是从问题的结论入手，一步就是从问题的结论入手，一步步寻找结论成立的条件，一直追溯到这个条步寻找结论成立的条件，一直追溯到这个条件就是已知或已学过的数学知识为止，从而件就是已知或已学过的数学知识为止，从而就发现了证明命题的思路，这种就发现了证明命题的思路，这种执果索因的执果索因的思考方法，叫分析法。思考方法，叫分析法。 11111,1,1abcbca例 、已知求证：1111,1111,1,111111,11111baabbbbbbabccbbccbabbb 证明：又综合法

49、综合法acbde2abcabacaabaeaebcde.adababc例 、圆内接中，经过点 的弦交和于 、求证：beabdaebdabbaeabdaeb,aebbcaabcacbabac用分析法：欲证结论成立，联想到相似三角形对应边成比例，因此，连结，待证结论成立的条件是。，只需证但只需有即只需这正是已知条件，问题得证。分析法分析法 （3）配方法：）配方法： 所谓配方，就是把一个解析所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方式。通过

50、配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式求函数的极值和解析式等方面都经常用到等方面都经常用到它。它。 （4）消元法：）消元法： 所谓消元，是指通过若干关所谓消元，是指通过若干关系式联系着若干个元素，通过有限次变换系式联系着若干个元素，通过有限次变换消去其中某些元素，从而使其中一些元素消去其中某些

51、元素，从而使其中一些元素或元素之间的关系更明朗的一种解题方法。或元素之间的关系更明朗的一种解题方法。22bc2求a的最小值例例3（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3222222(1)(21)(32)abckkk222212441912414146kkkkkkkk 21514()22k 2221522kabc所以，当时，有最小值 消元法消元法 配方法配方法1,12 ,23 ,ak bk ck 解：设则（5）因式分解法）因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学

52、的一个有力工具、一种数学方法在础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公提取公因式法、公式法、因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法分组分解法、十字相乘法等外，等外，还有如利用还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。等等。 （6）换元法）换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数用十分广泛的解题方法。我们通常

53、把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 例4：解方程：2231242xxxx223121,41xxaxxa 解：设则22222248413121241 2241 2xaxxaaxxaaxxaa （ ）即：（ ）22122(2)41 2aaaa 由（ ）得x=a-2,代入（ ）得解得：a=3,从而x=1换元法换元法消元法消元法例5：解方程322 77710 xxx 223

54、2(21)1011xyxyxxxyxx 解得：或y=-。从而求得原方程的解。分析：这是关于x的三次方程，极不易解决。为此，转变已知和未知的地位，令 = y，视常数y（已知）为未知数，将未知数x看成已知（常数），则原方程变成关于已知数y的方程： 7（7）判别式法与韦达定理）判别式法与韦达定理 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于属于r，a0）根的判别，）根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程种解题方法，在代数式变形，解方程(组组)，解不等，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广

55、泛式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 （8）待定系数法）待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的

56、的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 例6：已知抛物线 中至少有一条与轴相交，求实数a的取值范围。 2434yxaxa 22) 1(axaxyaaxxy22208)2(04) 1(0)43(4)4(2322221aaaaaa312a 得3

57、2a 反面情况1a 或分析：直接入手很难，从问题的反而考虑则有：分析：直接入手很难，从问题的反而考虑则有： 正难则反正难则反 判别式法判别式法2237mxyxym例8、当 为何值时， 能分成两个一次因式的积？222222()()()()3737xyx y x yxya b xa b y ab xyxy ma ba bab m 分析：，设原式=(x+y+a)(x-y+b)即：比较两边对应项系数，得：解得：m=-10.待定系数法待定系数法（9）构造法）构造法 在解题时，我们常常会采用在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以

58、是一个图形、一个构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程方程(组组)、一个等式、一个函数、一个等、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。知识互相渗透，有利于问题的解决。构造法的运用构造法的运用例例9、已知实数满足：、已知实数满足：abc、22102220aabcabcbc试证明：试证明：1a

59、 证明：原方程组化为：证明：原方程组化为：221bcabcaa由此构造一元二次方程：由此构造一元二次方程：22210 xaxaa b c 、是此方程的二实根是此方程的二实根222 )4(1)0aaa （1a（10）面积法）面积法 平面几何中讲的面积公式以及由平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它明或计算平面几何题的

60、方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。也很容易考虑到。 （11）反证法）反证法 ：反证法是一种